数学人教A版（2019）必修第二册6.2.4向量的数量积 课件（共31张ppt）

(共31张PPT)
6.2.4向量的数量积
向量的夹角：
已知两个非零向量，，
如图，是平面上的任意一点，作 ，
,则叫做向量与的夹角.
二、新知探究
探究1 向量的夹角
θ
注意：1.向量的夹角可表示为<>；
2.向量夹角范围是.
特殊情况
与同向
与垂直，记作
与反向
二、新知探究
探究1 向量的夹角
思考：快问快答，请同学们快速说出下列两个向量间的夹角。
0°
140°
90°
60°
180°
二、新知探究
问题3：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果该如何表述？
两个向量的大小及其夹角余弦的乘积
　　功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
探究2 向量的数量积
是
二、新知探究
向量的数量积：
已知两个非零向量与，它们的夹角为
我们把数量叫做向量的数量积（或内积）
记作
即
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即
对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度以及夹角有关.
探究2 向量的数量积
二、新知探究
3. 注意公式变形，知三求一：
注意事项：
1. 向量的数量积是一种新的运算，与实数不同；
2. 在书写数量积时， 之间用实心圆点“·”连接，
不能写成“ × ”,更不能省略
探究2 向量的数量积
当0°≤θ ＜ 90°时 , 为正；
当90°＜θ ≤180°时， 为负；
当θ =90°时，为零.
即时小练
练1.如图已知，， 与的夹角，求
解：
数量积符号由cos 的符号所决定
探究2 向量的数量积
即时小练
练2.如图已知，， ，求与的夹角
解：，
得
探究2 向量的数量积
因为，所以
投影与投影向量：
如图，设和是两个非零向量， ， ，
我们考虑如下的变换：
过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，
垂足分别为，得到，
我们称上述变换为向量向向量投影，
叫做向量在向量上的投影向量
二、新知探究
探究3 投影向量
A
B
三、课堂练习
过点A作直线OB的垂线，垂足为M1 , 则叫做向量在向量上的投影向量
同向
反向
O
θ
M1
O
θ
M1
探究3 投影向量
二、新知探究
问题4： 设与方向相同的单位向量为， 与的夹角为，那么与, ,之间有怎样的关系？
显然，与共线，于是
同向
O
θ
M1
反向
O
θ
M1
探究3 投影向量
(1)当为锐角时，
(2)当为钝角时，
==
==
二、新知探究
（4）当为直角时，
（3）当时，
（5）当时，
O
M1
O
θ
O
θ
显然，与共线，于是
，
所以
，
所以
，
所以
对于任意的
即时小练
练3.在已知，为单位向量,当向量，的夹角等于时
(1)求向量在向量上的投影；(2)求向量在向量上的投影向量
解：由定义可得，向量在向量上的投影为
（1）向量在向量上的投影：
求投影的两种方法：
（在上的投影）
①
②
（2）向量在向量上的投影向量：
即时小练
练3.已知，，则在方向上的投影向量是？
解：向量在向量上的投影为
所以向量在向量上的投影向量为：
为向量的单位向量，即
所以向量在向量上的投影向量为：= = =
三、课堂小结
1、向量的夹角
2、向量的数量积
3.投影向量
定义：作 ， ,则叫做向量与的夹角.
注意：①向量的夹角是两向量共起点时所夹的角
②向量夹角范围是
我们把数量叫做向量的数量积（或内积）
O
θ
M1
叫做向量在向量上的投影向量
对于任意的
知识梳理
知识梳理
课堂精讲
课堂精讲
课堂精炼
a+b
a-b
矩形对角线长相等
a-b
a+b
菱形对角线垂直
知识梳理
向量
求模常用公式和性质
．
3、两向量模与它们的和与差的模的几何关系
课堂精讲
求向量模，一般利用|a|2=a · a
进行转化，从而方便进行向量间的代数运算
2
2
几何法
课堂精讲
课堂精炼
课堂精炼
知识梳理
．
课堂精讲
准确掌握平面向量数量积的运算律
由a2＝b2 →|a|＝|b|
不一定有a=b或a=-b
课堂精讲
课堂精讲
课堂精讲
本题应由c⊥d→c·d＝0.
入手，整理出关于m的方程，而求出m。