2009届高三应知应会讲义（附加部分）

南京市2009届高三应知应会讲义 附加题部分
坐标系与参数方程
南京九中震旦校区 徐永忠编写
一、考试说明要求：
序号 内容 要求
A B C
1 坐标系的有关概念 √
2 简单图形的极坐标方程 √
3 极坐标方程与直角坐标方程的互化 √
4 参数方程 √
5 直线、圆和椭圆的参数方程 √
6 参数方程与普通方程的互化 √
7 参数方程的简单应用 √
二、应知应会知识和方法：
1．和的极坐标方程分别为．
（1）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过，交点的直线的直角坐标方程．
解（1）的直角坐标方程为；的直角坐标方程为．
（2）．
2．求直线被圆截得的弦长．
解 2．
3．在极坐标系中，直线的方程为，求点到直线的距离．
解 2．
说明 设计极坐标的问题，一般采取首先将极坐标转化为直角坐标，得出结论后再转化为极坐标．
4．已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：．
（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）判断直线和圆的位置关系．
解（1）直线的普通方程为； ⊙的直角坐标方程为．
（2）直线和⊙相交．
5．已知椭圆的极坐标方程为，点，为其左，右焦点，直线的参数方程为．
（1）求直线和曲线的普通方程；
（2）求点，到直线的距离之和.
解（1）直线普通方程为；曲线的普通方程为．
（2）
6．已知点为椭圆上的任一点，求的最大值．
解 ．
说明 重点掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，特别是将极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程；理解记忆几个简单图形的极坐标方程以及直线、圆及椭圆的参数方程，并会简单应用圆、椭圆的参数方程解题．
第 1 页 共 2 页南京市2009届高三应知应会讲义 附加题部分
不等式选讲
南京市金陵中学 张松年编写
一、考试说明要求：
内 容 要 求
A B C
不等式的基本性质 √
含有绝对值的不等式的求解 √
不等式的证明（比较法、综合法、分析法） √
算术—几何不等式、柯西不等式及排序不等式 √
利用不等式求最大（小）值 √
数学归纳法与不等式 √
二、应知应会知识和方法：
1．解不等式|x＋2|＋|x－1|≥5．
解法一 利用“去绝对值，转化为不等式组”．
原不等式可化为或或
即或或
即x≤－3，或x≥2，所以，原不等式的解集是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
解法二 利用“绝对值的几何意义”．
因为|x＋2|＋|x－1|≥5表示数轴上到－2，1分别对应的点A，B的距离之和不小于5的点P对应的数，而点A，B之间的任意一点M到A，B的距离之和为|1－(－2)|＝3＜5，所以P在A，B之外，若P在A的左侧，则P到A的距离增加1，则P到A，B的距离之和增加2，所以|x－2|＋|x－1|≥5的解为x≤－2－或x≥1＋，即x≤－3或x≥2，所以原不等式的解集是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
变题1 解不等式|2x＋2|＋|x－1|≥5．
变题2 求使不等式|x＋2|＋|x－1|≥a的解集非空的实数a的取值范围．
2．证明不等式(x2＋)(y2＋)≥9．
证明 利用柯西不等式得(x2＋)(y2＋)＝(x2＋)(＋y2)≥(x·＋·y)2＝32＝9，
当且仅当xy＝，即x2y2＝2时取等号．
说明 本题也可以先乘出来，再利用均值不等式求解．必须注意，涉及应用柯西不等式，只要求二元．
3．设a，b，c为正实数，求证：．
证明 因为为正实数，由平均不等式可得，
即 ，所以，
而，所以 ．
4．已知2x＋3y＝13，求x2＋y2的最小值．
解 因为2x＋3y＝13，所以利用柯西不等式得(x2＋y2)(22＋32)≥(2x＋3y)2，
即13(x2＋y2)≥132，即x2＋y2≥13，当且仅当即时取等号，
即x2＋y2的最小值为13．
5．设x，y为正数，且2x＋3y＝10，求＋的最小值以及取得最小值时x，y的值．
解法1 因为x，y为正数，且2x＋3y＝10，所以利用柯西不等式得
(2x＋3y)(＋)≥(＋)2＝49，
即 ＋≥，
当且仅当 eq \b\lc\{(\a\al(2x·＝3y·，,2x＋3y＝10，))即 eq \b\lc\{(\a\al(x＝，,y＝))时，等号成立．所以，当x＝，y＝时，＋取得最小值．
解法2 因为x，y为正数，且2x＋3y＝10，所以
＋＝＋＝＋＝＋＋＋≥＋2eq \r(·)＝＋2×＝，
当且仅当 eq \b\lc\{(\a\al(＝，,2x＋3y＝10，))即 eq \b\lc\{(\a\al(x＝，,y＝))时，＋＝．
所以，当x＝，y＝时，＋取得最小值．
6．函数y＝eq \F(,2x＋5)的最大值是_________________.
解 因令t＝，则x＝t2－2，t≥0，且y＝＝．
当t＝0时，y＝0．当t＞0时，y＝eq \F(1,2t＋)≤eq \F(1,2eq \R(,2t×))＝eq \F(,4)，
当且仅当2t＝，即t＝eq \F(,2)时取等号．
故x＝－时，y＝eq \F(,2x＋5)取到最大值eq \F(,4)．
7．用数学归纳法证明：当n是不小于5的自然数时，总有2n＞n2成立．
证明（1）当n＝5时，25＞52,结论成立．
（2）假设当n＝k(k∈N*，k≥5)时，结论成立，即2k＞k2，
那么当n＝k＋1时，左边＝2k＋1＝22k＞2k2＝(k＋1)2＋(k2－2k－1)
＝(k＋1)2＋(k－1－)(k－1＋)＞(k＋1)2＝右边．
所以也就是说,当n＝k＋1时，结论也成立．
所以由（1）、（2）可知，不等式2n＞n2对n∈N*，n≥5时恒成立．
8．已知f(x)＝x2－x＋c，设x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2．求证：
(1)|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|； (2)|f(x1)－f(x2)|＜； (3)|f(x1)－f(x2)|≤．
解 (1)|f(x2)－f(x1)|＝|x－x1＋c－(x－x2＋c)|＝|x－x－(x1－x2)|
＝|(x1－x2)(x1＋x2)－(x1－x2)|＝|x1－x2||x1＋x2－1|．
因为x1，x2∈(0，1)，所以x1＋x2－1∈(－1，1)，从而|x1＋x2－1|＜1．
又x1≠x2，所以|x1－x2|≠0．
所以 |f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|．
(2)因为f(x)＝x2－x＋c＝(x－)2＋c－，
所以，当x∈(0，1)时，－＋c≤f(x)＜c，
所以，当x1，x2∈(0，1)时，－＋c≤f(x1)＜c，－＋c≤f(x2)＜c，
所以 －＜f(x1)－f(x2)＜，从而|f(x1)－f(x2)|＜．
备选题：
9．设a、b、c均为实数，求证：++≥++．
证明　　∵a、b、c均为实数，
∴（＋）≥≥，当a=b时等号成立；……………………4分
（＋）≥≥，当b=c时等号成立；……………………6分
（＋）≥≥．……………………8分
三个不等式相加即得++≥++，
当且仅当a=b=c时等号成立.
第 3 页 共 3 页南京市2009届高三应知应会讲义 附加题部分
复合函数导数、定积分
南京市第十三中学 周 德 编写
一、考试说明要求：
内 容 要求
A B C
导数及其应用 简单的复合函数的导数 √
定积分 √
二、应知应会知识和方法：
1．已知x＞0，比较2x与ln(2x＋1)的大小．
解 2x＞ln(2x＋1)．
说明 利用函数f(x)＝2x－ln(2x＋1)的导数，研究其单调性，进而说明其恒大于0．
2．已知函数f(x)＝sinx，x∈[0，π]的图象如图所示，求图中阴影部分的面积．
解 3．
3．计算抛物线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成的图形的面积．
解 如图，由解得x1＝0，x2＝3．
因此，所求图形的面积是S＝dx
＝(－x3＋x2)|＝．
4．若(2x－)n展开式中，各项二项式系数之和为64，求eq \i\in(1,n,(2x－) eq \s\up10())dx的值．
解 由条件得n＝6．所以eq \i\in(1,n,(2x－) eq \s\up10())dx＝eq \i\in(1,6,(2x－)2)dx＝eq \i\in(1,6,(4x2－4＋))dx＝(x3－4x－)|＝．
5．如图，用图“以直代曲”的方法计算直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝ax2(a＞0)围成的阴影图形的面积．
解 （1）分割——把区间[0，1]等分成n个小区间：[0，]，[，]，…，[，]，…，[，]．
（2）以直代曲——△Si≈f()△x＝a eq \b\bc\(() eq \s\up10(2)．
（3）作和——因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以以n个小矩形面积之和就是曲边三角形面积S的近似值，
即S＝△S1＋△S2＋…＋△Sn＝△Si≈n(n＋1)(2n＋1)＝(1＋)(2＋)．
（4）逼近——当分割无限变细，即△x无限趋近于0（亦即n趋向于＋∞）时，(1＋)(2＋)无限趋近于S，而当n趋向于＋∞时，(1＋)(2＋)无限趋近于．由此可知S＝．
1
x＝1
y＝ax2(a＞0)
O
y
x
O
y
x
eq \F(3,2)π
y＝x2－2x＋3
y＝x＋3
3
O
y
x
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第 2 页 共 2 页南京市2009届高三应知应会讲义 附加题部分
矩阵与变换
南京市金陵中学 丁萍编写
一、考试说明要求：
内 容 要求
A B C
矩阵的有关概念 √
二阶矩阵与平面向量 √
常见的平面变换 √
矩阵的复合与矩阵的乘法 √
二阶逆矩阵 √
二阶矩阵的特征值和特征向量 √
二阶矩阵的简单应用 √
二、应知应会知识和方法：
1．已知△ABC，A(－1，0)，B(3，0)，C(2，1)，对它先作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°．
（1）分别求两次变换所对应的矩阵M1，M2；
（2）求点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标．
解 （1）M1＝，M2＝；
（2）因为M＝M2 M1＝ ＝ ，所以M ＝ ＝ ．
故点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标是(1，2)．
说明 考查常见的平面变换及二阶矩阵与平面向量的乘法、矩阵的乘法，并且理解连续两次变换所对应二阶矩阵相乘的顺序．
2．二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．
（1）求矩阵M；
（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．
解 （1）设M=，则有=，=，
所以且 解得，所以M=．
（2）任取直线l上一点P(x，y)经矩阵M变换后为点P’(x’，y’)．
因为，所以又m：，
所以直线l的方程(x+2y)－(3x+4y)=4，即x+y+2=0．
说明：考查利用二阶矩阵与平面向量乘法的知识求二阶矩阵的方法；考查求一条曲线经过二阶矩阵变换后的曲线方程的方法．
3．设矩阵A＝（a≠0）．（1）求A2 ，A3；（2）猜想An（n∈N*）；（3）证明：An（n∈N*）的特征值是与n无关的常数，并求出此常数．
解 （1）A2＝，A3＝；
（2）An＝（n∈N*）；
（3）设An的特征值为λ，则由f (λ)＝＝0，得(λ－1)2＝0，
所以λ＝１，它是与n无关的常数．
说明：考查矩阵复合的概念及特征多项式的知识．
4．已知二阶矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A．
解 设A=，由题知=，=3．
即，解之得： 所以A=．
说明 考查特征值和特征向量的概念，掌握用待定系数法求二阶矩阵的方法．
5．运用旋转变换矩阵．求曲线xy＝3绕原点顺时针旋转45°角后所得的曲线方程．
解 绕原点顺时针旋转45°的变换矩阵为，即．
任取曲线上一点P(x，y)绕原点顺时针旋转45°角后所得点P’(x’，y’)．
则＝ ＝，
所以 解得
代入xy＝3得，x’2－y’2＝6．
故曲线的方程为x2－y2＝6．
说明 考查常见的旋转变换，掌握求一曲线经过二阶矩阵变换后的曲线方程的方法．
6．（1）求矩阵A=的逆矩阵； （2）利用逆矩阵知识解方程组．
解（1）设逆矩阵为，则由，
得 ，解得 ， 所以 ．
(2)，即．
说明 考查逆变换与逆矩阵的概念，掌握用逆矩阵的知识求解方程组的方法．
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第 1 页 共 3 页南京市2009届高三应知应会讲义 附加题部分
概率统计
南师附中 徐昌根编写
一、考试说明要求：
序号 内 容 要求
A B C
1 离散型随机变量及其分布列 √
2 超几何分布 √
3 条件概率及相互独立事件 √
4 n次独立重复试验的模型及二项分布 √
5 离散型随机变量的均值和方差 √
二、应知应会知识和方法：
1． 在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张券中任抽2张，求：
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价值Y(元)的概率分布表．
解（1）顾客中奖的概率．
（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值Y 的概率分布如表：
Y（元） 16 12 10 6 0
P
说明 考查古典概型基础上的离散型随机变量及其分布列．
2．在未来3天中，某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中，
（1）至少有2天预报准确的概率是多少？
（2）至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少？
解（1）至少有2天预报准确的概率即为恰有2天和恰有3天预报准确的概率，即C·0.82·0.2+C·0.83=0.896． 所以至少有2天预报准确的概率为0.896．
（2）至少有一个连续2天预报准确，即为恰有一个连续2天预报准确或3天预报准确的概率为2·0.82·0.2+0.83=0.768．所以至少有一个连续2天预报准确的概率为0.768．
说明 考查n次独立重复试验的模型及概率计算．
3．盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的（用过的球即为旧的），从盒中任取3个使用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数记为X，求X的概率分布．
解 X的所有可能取值为3，4，5，6.
P（X=3）==；P（X=4）==；P（X=5）==；P（X=6）==．
所以X的概率分布如表：
X 3 4 5 6
P
说明 考查古典概型基础上的离散型随机变量及其分布列．
4．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（2）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的概率分布和期望．
解 任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且，．
（1）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是：
，
所以该人参加过培训的概率是．
解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是：
该人参加过两项培训的概率是．
所以该人参加过培训的概率是．
（2）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X服从二项分布，，，即X的概率分布如表：
X 0 1 2 3
P 0.001 0.027 0. 243 0.729
X的期望是．
（或的期望是）
说明 考查相互独立事件同时发生的概率，n次独立重复试验的模型及二项分布．
5．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的概率分布．
解（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．
则互斥，且．
故．
于是． 解得（舍去）．
（2）X的可能取值为．
若该批产品共100件，由（1）知其二等品有件，故
，， ．
所以X的概率分布如表．
X 0 1 2
P
说明 考查n次独立重复试验的模型，离散型随机变量的分布列．
6．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望，方差为．
（1）求n，p的值并写出的分布列；
（2）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．
解（1）由，，解得，从而，．
的分布列为：
0 1 2 3 4 5 6
（2）记“需要补种沙柳”为事件A，则 得
或 ．
所以需要补种沙柳的概率为．
7．设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）．
（1）求方程有实根的概率；
（2）求的分布列和数学期望；
（3）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率．
解 （1）由题意知：设基本事件空间为，记“方程没有实根”为事件，“方程有且仅有一个实根”为事件，“方程有两个相异实数”为事件，则，
，，
，
所以是的基本事件总数为36个，中的基本事件总数为17个，中的基本事件总数为个，中的基本事件总数为17个．
又因为是互斥事件，故所求概率．
（2）由题意，的可能取值为，
则，，，
故的分布列为：
所以的数学期望．
（3）记“先后两次出现的点数有中5”为事件，“方程有实数”为事件，由上面分析得，，所以．
说明 考查离散型随机变量的分布列与均值，条件概率．
8．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．
（1）求的分布列；
（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
解（1）由题设知，的可能取值有6，2，1，－2，则有
，，
， ．
所以的分布列见下表：
－2 1 2 6
0.02 0.1 0.25 0.63
（2）的数学期望为：
，
即1件产品的平均利润是4.34万元．
（3）设技术革新后的三等品率为x, 二等品率为y, 则的可能取值为6，2，1，－2，的分布列见下表：
－2 1 2 6
0.01 x y 0.7
又 0.01+x+y+0.7=1，得x+y =0.29. 于是技术革新后1件产品的平均利润为
．
由题设知1件产品的平均利润不小于4.73万元，即，所以，解得．故要使1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多为．
说明 考查概率分布、数学期望，以及解简单的不等式等基础知识．
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第 1 页 共 5 页南京市2009届高三应知应会讲义 附加题部分
排列、组合、二项式定理
南京市第十三中学 周 德 编写
一、考试说明要求：
内容 要求
A B C
计数原理 分类加法计数原理、分步乘法计数原理 √
排列与组合 √
二项式定理 √
二、应知应会知识和方法：
1．图1中从A到B接通时，有多少条不同的线路？图2中从A到B接通，有多少条不同的线路？
解 23－1＝7种；(2×2－1)×(2×2－1)＝9种．
2．从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有多少个(用数字作答)？
解 “××5”类型的有4×A＝16个；“××0”类型的有A＝20，共36个．
3．某小组共有13人，其中男生8人，女生5人，从中选出3人，要求至多有2名男生，则不同的选法共有多少种？
解 C－C＝230．
4．如果(x3＋)n的展开式中只有第6项的系数最大，求展开式中的常数项．
解 n＝10，T6＝C＝252．
5．已知C9n＋1＋C9n＋…＋C92＋C9是11的倍数(n∈N)，求n的集合．
解 原式＝10n＋1－1＝(11－1)n＋1－1，正奇数．
6．（1）求证：kC＝nC； （2）化简：C＋2C＋3C＋…＋(n＋1)C．
解 略．
1
图2
4
3
2
1
3
2
B
A
图1
A
B
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第 1 页 共 1 页南京市2009届高三应知应会讲义 附加题部分
空间向量与立体几何
江苏教育学院附属高级中学 宋数山编写
一、考试说明要求：
序号 内 容 要求
A B C
1 空间向量的有关概念 √
2 空间向量共线、共面的充分必要条件 √
3 空间向量的线性运算 √
4 空间向量的坐标表示 √
5 空间向量的数量积 √
6 空间向量的共线与垂直 √
7 直线的方向向量与平面的法向量 √
8 空间向量的应用 √
二、应知应会知识和方法：
1．已知E、F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求：
（1）A1D与EF所成角的大小；
（2）A1E与平面B1FB所成角的余弦值；
（3）平面B1FE与平面B1B D所成的锐二面角的余弦值．
说明 正方体是最简单、特殊的空间几何体，建立空间直角坐标系，运用空间向量的夹角与线线角大小的联系解决线与线所成角；运用平面的法向量与直线的方向向量的夹角解决线与面所成角；运用两个平面的法向量夹角的关系解决二面角的大小．要注意，平面的法向量常常通过待定系数法求出，但有时平面的法向量可通过图形直接找到，从而减少计算量．
2．如图，四边形ABCD是正方形，PB平面ABCD，MA∥PB，PB＝AB＝2MA．
（1）求直线BD与平面PCD所成的角的大小；
（2）求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小．
解 （1）直线BD与平面PCD所成的角是；
（2）平面PMD与平面ABCD所成的二面角
（锐角）大小是arctan eq \f(,2)．
3．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
（1）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC．
说明 ①当棱锥有一条侧棱与底面垂直时，便于建立空间直角坐标．求线与线所成角转化为直线的方向向量的夹角，这两者并不等同，要注意其联系与区别；②掌握利用向量的点乘为0来说明直线垂直，进而证明线面或面面垂直．
4．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，顶点D1在底面ABCD上的射影O是CD的中点，侧棱与底面所成的角为60．求二面角C－AD1－O的大小．
解 二面角C－AD1－O的大小为 arcsin eq \f(,8)．
说明 ①建立空间坐标系之前，必须交代或证明图中三条交于一点且两两垂直的三条射线，不能只凭感觉．
P
A
B
C
D
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第 1 页 共 2 页各位老师，你好！
南京市2009届高三数学应知应会过关检测讲义是全市高三中心组的老师根据《2009年考试说明》认真编写的一份讲义。在这份讲义中，试图将考试说明中所涉及的重要知识和重要方法归类，并以比较简单的题呈现出来。因此，请各位老师在拿到这份题后，认真组织学生在规定的时间内完成，以使每一个学生都能对高中数学的主体有一个相对比较清晰的认识。特别是对基础比较薄弱的学生，通过他们做这些题，老师讲这些题，帮助学生再一次回忆一下主要知识（题背后），对提高他们的数学成绩应该有帮助。在使用的过程中，尽量按单元使用，若觉得量不够，可以根据学生的实际情况做补充．
由于时间紧，各位编写者在编写的过程中一定也存在一些认识上的问题，我在审这些题时也还不够仔细，因此，部分选题不得当，部分题有问题等会出现，好在提供给大家的是电子版，每一位老师还可以根据自己学生的实际状况，再做一次筛选。
这次给大家的题有部分没有详细答案，这也是我要求的，希望大家在用题前先做一遍，做一遍后才知道那一道题好，对自己学生的路子。
请必须让每一个学生认真完成这些题，并对这些题做深刻的反思和归纳！！！！
欢迎大家提出宝贵建议。谢谢！
这次先发给大家的是选做40分部分的题．必做部分的题将在一模后发给大家．
请组长再收到这份题后务必将其与组内其他成员共享．
孙旭东
2009-1-20南京市2009届高三应知应会讲义 附加题部分
数学归纳法
南师附中 孙居国编写
一、考试说明要求：
内 容 要求
A B C
1 数学归纳法的原理 √
2 数学归纳法的简单应用 √
二、应知应会知识和方法：
1．已知m为正整数，用数学归纳法证明：当x＞－1时，(1＋x)m≥1＋mx．
证明 当x＝0或m＝1时，原不等式中等号显然成立．
下用数学归纳法证明：当x＞－1，且x≠0，m≥2时，(1＋x)m＞1＋mx．
①当m＝2时，左边＝1＋2x＋x2，右边＝1＋2x，因为x≠0，所以x2＞0，即左边＞右边，(1＋x)m＞1＋mx成立；
②假设当m＝k(k≥2)时，不等式(1＋x)m＞1＋mx成立，即(1＋x) k＞1＋kx，
则当m＝k＋1时，因为x＞－1，所以1＋x＞0．又因为x≠0，k≥2，所以kx2＞0．
于是在不等式(1＋x) k＞1＋kx两边同乘以1＋x得
(1＋x) k·(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2＞1＋(k＋1)x，
所以(1＋x+)k＋1＞1＋(k＋1)x，即当m＝k＋1时，不等式(1＋x)m＞1＋mx也成立．
综上所述，所证不等式成立．
2．已知数列，，，(n∈N*)．
求证：当n∈N*时，．
证明 ①当时，因为，且，所以，所以．
②假设当时，．
因为，
所以．即当时，也成立．
根据①和②，可知对任何都成立．
3．如图，，，…，（）是曲线：（）上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．（1）写出，，；
（2）求出点（）的横坐标
关于的表达式．
解（1），，；
（2）依题意，得，，由此及得
，即．
由（1）可猜想：（）．
下面用数学归纳法予以证明：
（1）当时，命题显然成立；
（2）假定当时命题成立，即有，
则当时，由归纳假设及得
，
即，
解之得（不合题意，舍去），
即当时，命题成立．所以（）．
说明 数学归纳法主要是用来解决与自然数有关的命题。通常与数列、不等式证明等基础知识和基本技能相结合来考查逻辑推理能力。也是考查推理与证明的一个重要内容。要求能够了解数学归纳法的原理，并能加以简单的应用。
第 2 页 共 2 页南京市2009届高三应知应会讲义 附加题部分
几何证明选讲
南京溧水第二高级中学 胡木根编写
一、考试说明要求：
内 容 要 求
A B C
相似三角形的判定和性质定理 √
直角三角形的射影定理 √
圆的切线的判定和性质定理 √
圆周角定理，弦切角定理 √
相交弦定理、割线定理、切割线定理 √
圆内接四边形的判定与性质定理 √
二、应知应会知识和方法：
1．如图所示，圆O上的一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，求圆O的直径．
解 10．
说明 本题所用的知识点为：①圆周角定理；②射影定理．
2．等边△内接于△，且DE//BC，已知于点H，BC＝4，AH＝，求△的边长．
解 设等边的边长为x，则它的高为，
因为DE//BC，所以，解得x=．
说明 本题所用的知识点为：①相似三角形的性质；②等边三角形的性质．
3．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O外一点，且AC＝AB，BC交⊙O于点D．已知BC＝4，AD＝6，AC交⊙O于点E，求四边形ABDE的周长．
解 因为AB是⊙O的直径，所以，
所以AD是△ABC的中线，所以AB＝AC＝．
BD＝DC＝2，由，所以DE＝DC＝2．
由CE·CA=CD·CB,得 CE＝，所以．
说明 所用知识点为①割线定理，②等腰三角形的三线合一定理；③勾股定理．
4．已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：FB＝FC；（2）若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC＝6，求AD的长．
证明 （1）因为AD平分∠EAC，
所以∠EAD＝∠DAC．
因为四边形AFBC内接于圆，
所以，
所以，
所以，所以FB＝FC．
（2）因为AB是△ABC的外接圆的直径，所以．
因为=，所以，．
在RT△ACB中，因为BC＝6，，所以．
又在RT△ACD中，，，所以．
说明 本题所用的知识点有：①圆的内接四边形的性质；②角平分线的概念；③特殊直角三角形的性质．
5．如图，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF·EC．（1）求证：P＝EDF；（2）求证：CE·EB＝EF·EP；
（3）若CE：BE＝3 ：2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．
解 （1）因为DE2=EF·EC，所以DE ：CE=EF：ED．
因为DEF是公共角，所以△DEF∽△CED．
所以EDF=C．
因为CD∥AP，所以C= P．所以P=EDF．
（2）因为P=EDF， DEF=PEA，所以△DEF∽ΔPEA．所以DE：PE=EF：EA．
即EF·EP=DE·EA．因为弦AD、BC相交于点E，所以DE·EA=CE·EB．所以CE·EB=EF·EP．
（3）因为DE2=EF·EC，DE=6，EF= 4，所以EC=9．因为CE：BE=3：2，所以BE=6．
因为CE·EB=EF·EP，所以9×6=4×EP，解得：EP=．
所以PB=PE－BE=， PC=PE＋EC=．由切割线定理得：PA2=PB·PC，
所以PA2=×，所以PA=．
说明 本题所用知识点：①相似三角形的判断；②相交弦定理；③切割线定理．
6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D，若PE＝PA，，PD＝1，BD＝8，求线段BC的长．
解 由切割线定理得 PA＝3．
根据弦切角定理 得．
又因为 PA＝PE，所以PA＝PE＝AE＝3，ED＝2，BE＝6．
由相交弦定理得 EC=4．
在三角形BEC中，根据余弦定理的BC＝．
说明 本题所用的知识有：①弦切角定理；②切割线定理；③等边三角形的性质；④相交弦定理；⑤余弦定理．
A
B
F
C
D
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A
P
C
B
E
D
A
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C
B
B
C
A
D
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H
E
D
C
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B
A
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P
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