江苏省南京市2009年高考数学培训资料：二轮复习专题讲座3—函数与导数（孙居国）

函数与导数二轮复习建议
南师大附中 孙居国 徐昌根
函数历来是高中数学最重要的内容，不仅适合单独命题，而且可以综合运用于其它内容．函数是中学数学的最重要内容，它既是工具，又是方法和思想．在江苏高考文理共用卷中，函数小题（不含三角函数）占较大的比重，其中江苏08年为3题，07年为4题．通过对江苏及全国各地的高考题的分类研究，对高考函数与导数问题有如下认识
一．《09考试说明》对函数与导数的要求：
内 容 要 求
A　　 B　　 C　　
函数概念与基　　本初等函数　　 函数的有关概念　　 　 　 √　　 　 　
函数的基本性质　　 　 　 √　　 　 　
指数与对数　　 　 　 √　　 　 　
指数函数的图象和性质　　 　 　 √　　 　 　
对数函数的图象和性质　　 　 　 √　　 　 　
幂函数　　 √　　 　 　 　 　
函数与方程　　 √　　 　 　 　 　
函数模型及其应用　　 　 　 √　　 　 　
导数及其应用　　 导数的概念　　 √　　 　 　 　 　
导数的几何意义　　 　 　 √　　 　 　
导数的运算　　 　 　 √　　 　 　
利用导数研究函数的单调性和极大（小）值　　 　 　 √　　 　 　
导数在实际问题中的应用　　 　 　 √　　 　 　
二．考查函数的基本知识，如定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性等．有的考题只考查函数的某一个方面的知识，而有的则体现出对函数知识的综合考查，常常涉及数形结合、特殊与一般（特殊化与一般化）、存在性与全称性问题等思想与方法．
1．考查函数的三要素（定义域、值域、解析式）．
（1）函数f(x)＝的定义域是 （－∞，0] ．　
（2）函数的值域是 ．
（3）设 2 ．
（4）若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式 ．
2．考查函数的性质（单调性，奇偶性，对称性，周期性，最值等）．
（1）已知函数若为奇函数，则________.
（2）若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f(2) 0，则使得f(x)<0的x的取值范围是 ( 2,2) ．
（3）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 0 ．
（4）函数f(x)=的最大值为 ．
（5）（07年江苏）设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则的大小关系是 ．
3．考查抽象函数
（1）定义在上的函数满足（），，则等于 2 ．
（2）函数满足，若，则 ．
4．考查函数性质的综合运用．
（1）若不等式对于一切成立，则的最小值是 - ．
（综合考查一元二次不等式，数形结合，恒成立的不等式，分离变量的方法等）
（2）函数定义域为，值域为，，则_－2__．
（3）若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是 ．
（综合考查函数的定义域，函数的单调性等）
（4）方程的实数解的个数为 2 .
（考查函数的图像，二分法等）
（5）（07年江苏）设是奇函数，则使的的取值范围是 ．
（6）对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：
①f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)；② f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)③>0；
④.当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 ② .
（7）设函数的定义域为，如果对于任意的，存在唯一的，使 为常数）成立，则称函数在上均值为，给出四个函数① ② ③ ④．则满足在其定义域上均值可以为的函数是 ①③ ．（把你认为符合条件的函数的序号填上）
三．导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大．常常运用导数确定函数的单调性，进而研究函数的最值、极值，方程及不等式的解等．
1．考查导数的意义，运用导数求极值，单调性，最值．
（1）二次函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则图象的顶点在第 一 象限．
（考查导数的几何意义，数形结合等）
（2）（07年江苏）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则_____．
（3）（08年江苏）对于总有成立，则= 4 ．
（4）（07年江苏）已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有，则的最小值为 2 ．
2．运用导数求切线，包括由切点求切线，由经过点求切线．
（1）（08江苏）直线是曲线的一条切线，则实数 ．
（2）过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为 (1, e) ．
（由曲线外一点求切线，关键是先设切点，由切点写切线，再过定点定参数）
3．主动构造函数解题．
(1)已知函数,R满足，且在R上的导数满足，则不等式的解集为__ __.
（构造函数）
（2）函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 ．
（撇开函数的具体解析式，利用函数的奇偶性和单调性解决问题）
四．应用题，探索性考题．
1．函数应用题．
（1）某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为 ．
（2）一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是 5 米/秒．
2．探索性问题．所谓探索性，指这类问题的指向不明确，需要通过尝试、类比、联想、一般化与特殊化等手段摸索解题思路．
(1)若为的各位数字之和，如，，则；记，，…，，，则 11 ；
(通过尝试，发现周期性的规律解决问题，本题属于中等题)
（2）规定记号“”表示一种运算，即 ( http: / / www. / wxc / ) 若，则函数的值域是_______ ( http: / / www. / wxc / )
（研究新定义的运算的规律解题，本题属于中等题）
（3）半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)`＝2r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于的式子：
，式可以用语言叙述为： ．
解：V球＝，又 故式可填，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数．”
（本题考查类比的思想方法，本题属于中等题）
（4）已知函数，，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是 ．
（考查对存在性与全称性问题的认识，本题属于难题）
（5）已知奇函数满足：1）定义在R上；2）（常数）；3）在上单调递增；4）对任意一个小于a的正数d，存在一个自变量，使．
请写出满足以上所有条件的一个函数的解析式： ．
解：，分段函数也可．
(本题需要熟练掌握常见的函数的图像与性质，并能根据要求主动构建函数，本题属于难题)
五．函数的综合问题
这类问题涉及的知识点多，与数列、不等式等知识加以综合。主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.
1．已知函数的图象过点（-1，-6），且函数的图象关于y轴对称.
(Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.
解：（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得m-n=-3, ……①
由f(x)=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n,
则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n;
而g(x)图象关于y轴对称，所以－＝0，所以m=-3,
代入①得n=0.
于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2).
由f′(x)>得x>2或x<0,
故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；
由f′(x)<0得0故f(x)的单调递减区间是（0，2）.
(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),
令f′(x)＝0得x=0或x=2.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
X (-∞.0) 0 (0,2) 2 (2,+ ∞)
f′(x) + 0 － 0 ＋
f(x) 增 极大值 减 极小值 增
由此可得：
当0当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值；
当1当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值.
综上得：当02．已知是函数的一个极值点。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函数的单调区间；www.
（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。
解：（Ⅰ）因为
所以
因此
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
当时，
当时，
所以的单调增区间是
的单调减区间是
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，
所以的极大值为，极小值为
因此
所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当
因此，的取值范围为。
3．已知函数（），其中．
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
解：（Ⅰ）．
当时，．
令，解得，，．
当变化时，，的变化情况如下表：
0 2
f(x) － 0 ＋ 0 － 0 ＋
减 极小值 增 极大值 减 极小值 增
所以在，内是增函数，在，内是减函数．
（Ⅱ），显然不是方程的根．
为使仅在处有极值，必须成立，即有．
解些不等式，得．这时，是唯一极值．
因此满足条件的的取值范围是．
（Ⅲ）由条件，可知，从而恒成立．
当时，；当时，．
因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．
为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立．所以，因此满足条件的的取值范围是．
解决函数综合问题要注意下列几点：
（1）第一问题通常不是太难，主要是与函数有关的概念与方法，但非常重要。往往是后面小题的知识准备或方法上的提示。所以第一小题要做好做准。再看后面问题与每一小题的联系，然后选择适当的途径解决问题。
（2）通过不同途径了解、洞察所涉及到的函数的性质。在定义域、值域、解析式、图象、单调性、奇偶性、周期性等方面进行考察。在上述性质中，知道信息越多，则解决问题越容易。
（3）能画出示意图，则对解决问题起到很大的帮助。作图要注意图象整体,局部,细节. 细节。结合函数的定义域，奇偶性，值域，渐近线单调性，周期性，特定区间，极值最值点，坐标轴的交点，边界点。带有参数的函数问题要注意不动点。对于两个图像问题要关注交点个数，图形的相对位置。
（4）通过求导来研究函数性质是一种非常重要而有效的方法。通常的步骤：先求导，要注意求导后定义域的情况；将导数整理变形，能看出导数的符号性质或零点。再列表，从表中回答所要求解答的问题。
（5）对于含有字母参数的问题，可以通过分类，延伸长度，从而降低难度。也可以通过分离变量，转化为函数或不等式问题去解决。
六．针对函数小题，给各位老师提出如下建议：
（1）给自己的学生一个准确的定位，确定练习题的难度，对于高考省均分以下的同学来说，要抓好基础问题和常用的思想方法，把基础题做稳做熟，一般来说，不超过2个基本知识点的问题可以算容易题，3个以上的算中等题，解题方向不明确，需要经过探索发现思路，或需要较复杂的分类或转化的问题可以算难题，老师要根据学生的状况确定三个层次问题的比例．
（2）抓好基础题型的练习，再复杂的问题经过分解后都是由基本题型复合而成的．
（3）鼓励学生做好解题后的反思，尤其对于做错的问题一定要分析清楚错误的原因，例如分类的界点，特殊情形，有些基础运算做错是因为运算习惯不好（改变运算习惯而不是以粗心概论）等．并在以后的解题中有意识避免类似错误．
（4）对一些比较定型的问题要归纳出一般的方法，如数形结合解决一些方程、不等式的问题，用分离变量的方法解决恒成立、存在性的问题．
（5）教会一些探索性的方法，如尝试的意识，如一般化与特殊化的方法，如数形结合、化归、等价转化的思想等．注意培养学生独立思考以解决问题的习惯．
（6）教师在教学中要注意多让学生谈思路，不宜过多地以自己的思维代替学生的思维．
2008－2009学年南京市
高三教师寒假培训材料
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