2008－2009数学高考《解析几何》二轮复习思考

2008－2009数学高考《解析几何》二轮复习思考
一、考试说明与教学要求回顾
1．直线与圆
内容 要求
A B C
16．平面解析几何初步 直线的斜率和倾斜角 √
直线方程 √
直线的平行关系与垂直关系 √
两条直线的交点 √
两点间的距离，点到直线的距离 √
圆的标准方程与一般方程 √
直线与圆、圆与圆的位置关系 √
空间直角坐标系 √
线性规划 √
（1）理解直线的斜率和倾斜角的概念；掌握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．
（2）掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系．
（3）能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
（4）了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．
（5）掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离．
（6）掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化．
（7）能根据直线与圆的方程判断其位置关系（相交、相切、相离）；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
（8）了解空间直角坐标系；会用空间直角坐标系刻画点的位置．了解空间中两点间的距离公式，并会简单应用．
（9）能从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
2．圆锥曲线（必）
内容 要求
A B C
17．圆锥曲线与方程 中心在坐标原点的椭圆的标准方程和几何性质 √
中心在坐标原点的双曲线的标准方程和几何性质 √
顶点在坐标原点抛物线的标准方程和几何性质 √
（1）掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法．
（2）了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质．
（3）了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质．
3．圆锥曲线（加）
内容 要求
A B C
1．圆锥曲线与方程 曲线与方程 √
顶点在坐标原点的抛物线的标准方程和几何性质 √
（1）了解曲线与方程的对应关系；了解求曲线方程的一般步骤，能求一些简单曲线的方程；掌握求直线与圆锥曲线的交点坐标的方法；进一步体会数形结合的思想方法．
（2）掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单性质，会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．
4．坐标系与参数方程
内容 要求
A B C
9．坐标系与参数方程 坐标系的有关概念 √
简单图形的极坐标方程 √
极坐标方程与直角坐标方程的互化 √
参数方程 √
直线、圆及椭圆的参数方程 √
参数方程与普通方程的互化 √
参数方程的简单应用 √
（1）了解极坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；会进行极坐标和直角坐标的互化．
（2）了解曲线的极坐标方程的求法；了解简单图形（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程．
（3）会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化．
（4）理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用．
（5）会进行曲线的参数方程与普通方程的互化．
二、近三年高考题中考点分布情况
对近三年的全国各省市的高考题按题目中出现的考点分类统计如下，其中数字表示该考点在30多份试卷中出现的次数．
内容 考查点
06 07 08
16．平面解析几何初步 理 文 理 文 理 文
1．直线的斜率和倾斜角 2 1 1
2．直线方程 1 1 2 2 2 2
3．直线的平行关系与垂直关系 1 2 1 2 1 6
4．两条直线的交点 1
5．两点间的距离，点到直线的距离 3 1 1 2 1
6．圆的标准方程与一般方程 2 4 7 11 2 5
7．直线与圆、圆与圆的位置关系 12 8 7 7 7 11
8．空间直角坐标系
9．线性规划 13 12 11 11 13 13
17．圆锥曲线与方程 1．中心在坐标原点的椭圆的标准方程和几何性质 16 14 14 16 14 13
2．中心在坐标原点的双曲线的标准方程和几何性质 13 16 16 13 12 15
3．顶点在坐标原点抛物线的标准方程和几何性质 9 9 13 13 14 7
1．圆锥曲线与方程 1．曲线与方程 8 5 3 4 3 1
2．顶点在坐标原点的抛物线的标准方程和几何性质
9．坐标系与参数方程 1．坐标系的有关概念 1
2．简单图形的极坐标方程 1 1 1
3．极坐标方程与直角坐标方程的互化 2 1 1 1
4．参数方程 2 4
5．直线、圆及椭圆的参数方程 1
6．参数方程与普通方程的互化
7．参数方程的简单应用
从上面可以看出，圆锥曲线考查的最多，其中排列顺序为椭圆、双曲线、抛物线，而与求轨迹有关问题都划为曲线与方程．直线与圆考查内容次之，其中排列顺序为线性规划、直线与圆的位置关系、圆的标准方程与一般方程．而其余内容常以某题中的一个点出现，单独考查的很少．
三、二轮复习建议
按照问题类型设计专题，把相同问题、相同方法的内容归到一起讲，强化重点知识，突出思维训练．如选用如下专题：
（一）求方程问题
1．回忆直线的点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式方程，圆的标准方程、一般方程，
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，分析各自的基本量个数及相应的几何意义．
2．总结求方程的基本方法，直接法与待定系数法．在用直接法求方程时，要注意条件的转化方向和手段，在用待定系数法求方程时，要注意方程形式的选择标准和一些常用的设方程的技巧．
例1．已知直线l经过点P(－1，1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1=0及l2：x＋2y－3=0所截得的线段M1M2的中点M在直线l3：x－y－1=0上，试求直线l的方程．
解法一：（1）当直线l斜率不存在时，直线l的方程是x＝－1，与直线l1，l2的交点分别为M1(－1，1)，M2(－1，2)．线段M1M2的中点(－1，)不在直线l3上，不合．
（2）当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x＋1)，分别与l1，l2联列解得M1(－1，1)，M2(，），线段M1M2的中点为M(，），因为M在直线l3上，代入得，k＝－．代入得直线l的方程为2x＋7y－5＝0．
解法二：因为被两平行直线l1，l2所截线段M1M2的中点在与l1，l2平行且与l1，l2等距离的直线上，而与l1，l2平行且与l1，l2等距离的直线方程为x＋2y－2＝0，又由已知线段M1M2的中点M在直线l3：x－y－1=0上，所以由方程组解得线段M1M2中点M的坐标为(，)．从而直线l经过点P(－1，1)和M(，)，代入两点式得直线l的方程为2x＋7y－5＝0．
解法三：设直线l的参数方程为其中t为参数，代入直线l1的方程得M1对应参数t1＝0，代入直线l2的方程得M2对应参数t2＝，所以线段M1M2中点M对应参数t0＝(t1＋t2)＝，所以M点的坐标为(，)，代入直线l3得，－＝1，7sin＝－2cos，直线l的斜率k＝＝－．代入得直线l的方程为2x＋7y－5＝0．
例2．已知点A(2，2)，B(3，－1)，C(5，3)，求△ABC内切圆的方程.
解：代入两点式得三边的方程分别是AB：3x＋y－8＝0，BC：2x－y－7＝0，CA：x－3y＋4＝0．设△ABC的内心坐标为I(a，b)，则由I到三边的距离相等得 eq \f(∣3a＋b－8∣,)＝ eq \f(∣2a－b－7∣,)＝ eq \f(∣a－3b＋4∣,)，根据I的位置和线性规划知识，可以去绝对值得
eq \f(＋(3a＋b－8),)＝ eq \f(－(2a－b－7),)＝ eq \f(＋(a－3b＋4),)，
化简得 eq \b\lc\{(\a\al(a＋2b=6，,(3＋2)a－(－1)b=8＋7．))
解得a＝6－2，b＝．
半径r＝ eq \f(－(2a－b－7),)＝－ eq \f(5－5,)＝－．
所以内切圆的方程为(x－6＋2)2＋(y－)2＝(－)2．
例3．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长与短轴长的比为，且过点(－，)，则该椭圆的方程是_______________．
解：根据条件可知椭圆为标准方程．
（1）当焦点在x轴上时，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由条件得 eq \b\lc\{(\a\al(=，, eq \f((－)2,a2)＋ eq \f(()2,b2)=1．))解得 eq \b\lc\{(\a\al(a=2，,b=2.))所求的椭圆方程为＋＝1．
（2）当焦点在y轴上时，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0) ．
由条件得 eq \b\lc\{(\a\al(=，, eq \f(()2,a2)＋ eq \f((－)2,b2)=1．))解得 eq \b\lc\{(\a\al(a2=7，,b2=.))所求的椭圆方程为
＋＝1．
3．理科复习时，还要注意求轨迹常用方法的复习，以直接法为主，强化曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤．简单的相关点法、参数法也可提一下，有利于拓展思考问题的思路．
例4．如图，在以点O为圆心，AB＝4为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，POB＝60，曲线C是满足MA＋MB为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P．求曲线C的方程．
解：如图建立平面直角坐标系，
因为曲线C过点P，
所以MA＋MB为定值就是PA＋PB，根据条件求得
PA＋PB＝2(1＋)，所以MA＋MB＝2(1＋)＞AB．
根据椭圆定义可知，点M的轨迹是以A，B为焦点，且长轴长为2(1＋)
的椭圆，在所建的坐标系中，方程形式为＋＝1(a＞b＞0)．
根据条件得a＝1＋，c＝2，b2＝a2－c2＝12，
所以曲线C的方程为 eq \f(x2,4＋2)＋＝1．
（二）求几何量问题．
1．直线的几何量主要是斜率、倾斜角、截距，圆的几何量主要是圆心、半径，这些量主要通过两直线的平行与垂直、线性规划、直线与圆的位置关系等进行综合，作为题中的一个点出现．
2．圆锥曲线的几何量主要包括轴、轴长、顶点、焦距、焦点、准线、渐近线、离心率．在已知方程求有关量时，首先是把方程化为标准方程，找准a，b，c，p的值，二是记准相应量的计算公式．在已知图形中求有关量时，要明确各个量的几何意义和图形中的特征求方程或不等式求几何量．
例5．直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－2x－2＝0相切，则直线l在x轴上的截距_____．
解：因为⊙C方程可化为(x－1)2＋y2＝()2，所以圆心C(1，0)，半径r＝，因为直线l与圆C相切，直线C到l的距离等于r，即 eq \f(∣1－10＋m∣,2)＝，解得m＝－3或．
当m＝时，直线l方程为x－y＋＝0，在x轴上的截距为－1；
当m＝－3，直线l方程为x－y＋－3＝0，在x轴上的截距为3．
例6．(08天津理5）设椭圆＋＝1(m＞1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的距离为___________
解：根据椭圆定义得2a＝1＋3，a＝2，即m＝2，b＝＝，c＝1，e＝＝，根据第二定义得P到右准线距离为2．
例7．（07安徽理11）如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为___________．
解法一：不妨设OF2＝1，因为OF1＝OF2＝OA，
所以△AF1F2为直角三角形．所以AF1＝1．
所以2a＝AF2－AF1＝－1,又2c＝2，所以e＝＝＋1．
解法二：连接OA，由△ABF2为等边三角形，可得
A点的坐标为(－c， eq \f(,2)c)．
因为A在双曲线上，所以 eq \f((－c)2,a2)－ eq \f(( eq \f(,2)c)2,b2)＝1，即e2－＝1，去分母整理得e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4±2，e＝±1．因为e＞1，所以e＝＋1．
例8．（08四川卷12）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且AK＝AF，则△AFK的面积为____________．
解：如图，过A作AHl，垂足为H，由抛物线的定义可知，
AF＝AH，又AK＝AF，所以AK＝AH，因为AHK＝90，
所以AKH＝45，所以KH＝AH＝yA．所以AF＝yA．即AFx轴．
所以AF＝FK＝4，S△AFK＝8．
（三）几类典型问题
1．求值问题：基本解题思路是找方程，通过解方程得出
要求的值．在解析几何中，过点、距离、平行、垂直、相切
等一般都可以转化为方程．
例9．已知⊙C1：x2＋y2－6x＋12y－19＝0
和⊙C2：x2＋y2＋6x－4y－k＝0相切，则k的值是____________．
解：因为⊙C1：(x－3)2＋(y＋6)2＝64，⊙C2：(x＋3)2＋(y－2)2＝13＋k，所以C1(3，－6)，r1＝8，C2(－3，2)，r2＝．当⊙C1与⊙C2外切时，8＋＝10，解得k＝－9；当⊙C1与⊙C2内切时，8－|＝10，解得k＝311．所以k＝－9或k＝311．
2．最值问题：解决最值问题主要通过两类方法，一是代数法，合理选择变量，把求最值的量表示为所选量的函数，利用研究函数、方程、不等式的方法求最值．二几何法，根据图形特征，利用几何不等式，求出最值．一般在小题中可能用几何法简单方便，易得结果，但过程可能不完整，在大题中应用代数法，过程规范完整，易抓住得分点．
例10．（08全国二21 ( http: / / www. )）设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．
（1）若＝6，求k的值；（2）求四边形AEBF面积的最大值．
解：（1）依题设得椭圆的方程为＋y2＝1，
直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k＞0)．
如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2．
且x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝ eq \f(2,)．①
由＝6知x0－x1＝6(x2－x0)，得x0＝(6x2＋x0)＝x2＝ eq \f(10,7)，
由D在AB上知x0＋2kx0＝2，得x0＝．所以＝ eq \f(10,7)，
化简得24k2－25k＋6＝0，解得k＝或k＝．
（2）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为
h1＝ eq \f(|x1＋2kx1－2,)＝ eq \f(2(1＋2k＋),)，h2＝ eq \f(|x2＋2kx2－2,)＝ eq \f(2(1＋2k－),)．
又AB＝，所以四边形AEBF的面积为S＝AB(h1＋h2)＝ eq \f(4(1＋2k),)＝ eq \f(2(1＋2k),)
＝2 eq \r()≤2．
当2k＝1，即当k＝时，上式取等号．所以S的最大值为2．
解法二：由题设，|BO|＝1，|AO|＝2．设F(2cos，sin)，∈(0，)，则E(－2cos，－sin)，故四边形AEBF的面积为S＝S△BEF＋S△AEF＝BO[2cos－(－2cos)]＋AO[sin－(－sin)]＝2cos＋2sin＝2sin(＋)，当＝时，S有最大值2．
3．定值问题：解决定值问题主要通过两类方法，一是通过特殊位置得出定值，然后通过证明在一般位置也成立．二是通过把所要证明为定值的量表示为另外一个或两个引起变化的量的函数或方程，然后通过化简变形，证明结果与引起变化的量无关．
例11．已知圆C的方程为x2＋y2－6x－2y＋5＝0，过点P(2，0)的动直线l与圆C交于P1，P2两点，过点P1，P2分别作圆C的切线l1，l2，设l1与l2交于为M，求证：点M在一条定直线上，并求出这条定直线的方程．
解法一：因为⊙C：(x－3)2＋(y－1)2＝5，所以圆心C为(3，1)．设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，M(x0，y0)，因为P1MCP1，所以＝0．所以(x1－x0)(x1－3)＋(y1－y0)(y1－1)＝0，即(x1－3)2＋(3－x0)(x1－3)＋(y1－1)2＋(1－y0)(y1－1)＝0，因为(x1－3)2＋(y1－1)2＝5，所以(x0－3)(x1－3)＋(y0－1)(y1－1)＝5，
同理(x0－3)(x2－3)＋(y0－1)(y2－1)＝5．所以过点P1，P2的直线方程为(x－3)(x0－3)＋(y－1)(y0－1)＝5．因直线P1P2过点(2，0)．所以代入得(2－3)(x0－3)＋(0－1)(y0－1)＝5，即x0＋y0＋1＝0．所以点M恒在直线x＋y＋1＝0上．
解法二：设M(x0，y0)，则以MC为直径的圆C1的方程为(x－x0)(x－3)＋(y－y0)(y－1)＝0，即
x2＋y2－(x0＋3)x－(y0＋1)y＋3x0＋y0＝0，由平面几何知识可得，过M作⊙C的两条切线的切点分别为P1，P2，直线P1P2的方程即为⊙C与⊙C1公共弦所在直线方程，从而由⊙C与⊙C1方程相减得直线P1P2的方程为（x0－3)x＋(y0－1)y＋5－3x0－y0＝0，因为直线P1P2过点P(2，0)，代入得x0＋y0＋1＝0，即点M恒在直线x＋y＋1＝0上．
4．范围问题：主要通过寻找所求量的不等式或不等式组，然后解不等式或不等式组得到范围．或通过构造所求量的函数，然后研究此函数的定义域或值域等求出范围．
例12．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为8a，求双曲线离心率e的取值范围．
解：因为点P在双曲线左支上，所以PF2－PF1＝2a，即PF2＝2a＋PF1．所以＝＝PF1＋＋4a≥8a，当且仅当PF1＝2a时取等号．因此的最小值为8a，当且仅当PF1＝2a．因为PF≥c－a，因此PF1＝2a，当且仅当2a≥c－a，所以3a≥c，即e≤3，又因为e＞1，所以e的范围为(1，3]．
（四）数学思想方法问题
1．运动变化的思想
例13．满足条件AB＝2，AC＝BC的三角形ABC的面积的最大值是_________．
解法一：条件化为c＝2，b＝a．cosC＝＝ eq \f(3a2－4,2a2)，sinC＝ eq \f(,2a2)，
S△ABC＝＝≤2．
解法二：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设C(x，y)，因为A(－1，0)，B(1，0)，代入化简得(x－3)2＋y2＝(2)2，所以C到AB的最大距离为
2，S△ABC的最大面积为2．
2．从特殊到一般的思想
例14．（08浙江理科卷17）若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax＋by≤1，则以a，b为坐标点P(a，b)所形成的平面区域的面积等于____________．
解：(a，b)满足的条件为．其中(x．y)为表示的区域内任意一点．
（1）当(x，y)取(0，0)时，区域为：
（2）当(x，y)取(1，0)时，区域为：
（3）当(x，y)取(0，1)时，区域为
这三个区域的公共部分为
对于上面区域中的任一个(a，b)，则0≤a≤1，0≤b≤1，则对于满足的任意的(x，y)，都有xa＋yb≤x1＋y1≤1，即满足ax＋by≤1．因此区域为如图所示的边长为1的正方形．面积为1．
四、二轮复习注意点
1．根据学生的实际，有针对性地进行复习，提高复习的有效性
由于解析几何通常有2－3小题和1大题，而小题以考查基础为主、解答题的第一问也较容易，因此，对于全市的所有不同类型的学校，都要做好该专题的复习，千万不能认为该部分内容较难而放弃对该部分内容的专题复习，并且根据生源状况和一轮复习中的学生易错点及存在问题选择针对性练习，提高复习的有效性．
2．重视通性通法，加强常规问题解法指导，提高考试中的解题能力
在二轮复习中，不能仅仅复习概念和性质，还应该以典型的例题和习题（可以选用08年的各地高考试题和07年的江苏各大市的高考模拟试题）为载体，在二轮复习中强化各类问题的常规解法，使学生形成解决各种类型问题的操作范式．
需要强调的是，在二轮复习中，千万不能因为时间紧而由教师一讲到底，数学学习是学生自主学习的过程，解题能力只有通过学生的自主探究才能掌握．所以，在二轮复习中，教师的作用是对学生的解题方法进行引导、点拨和点评，只有这样，才能够实施有效复习．
重视通性通法，任何“好”的解题方法，一旦脱离了学习者的认知特点，也就必然成为“不好”的方法，因此，解题方法必须适合学生的特点，源自于学生自己的思维．
3．注意强化思维的严谨性，力求规范解题，尽可能少丢分
在解解析几何的大题时，有不少学生常出现因解题不够规范而丢分的现象，因此，要通过平时的讲评对易出现错误的相关步骤作必要的强调，减少或避免无畏的丢分．
还有，在设直线方程为点斜式时，就应该注意到直线斜率不存在的情形；又如，在求轨迹方程时，还要注意到纯粹性和完备性等．
a
E
O
A
x
y
B
F
D
l
H
A
K
F
O
y
x
A
B
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y
x
y
x
O
P
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B
A
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3
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x
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A
y
b
O
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1
a
b
O
1
a
b
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1
a
b
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