1.1.2等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质课件(共27张PPT)2023-2024学年度北师大版数学八年级下册

(共27张PPT)
1.1.2 等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质
1. 掌握等腰三角形一些特殊线段的性质.
2. 掌握等边三角形的性质.
学习目标
难点
重点
上节课我们证明了等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. (三线合一)
那等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？
新课引入
B
C
A
D
B
C
D
A
E
如图，在△ABC中，AB=AC，BD，EC分别为∠ABC和∠ACB的角平分线.BD和EC相等吗？可以证明吗？
经过测量，我们发现BD=EC.
如何证明呢？
由此猜想：等腰三角形底角的两条角平分线相等；
新知学习
例1 证明:等腰三角形两底角的角平分线相等．
如图，在△ABC中，AB=AC，BD，EC分别为
∠ABC和∠ACB的角平分线.
求证：BD=EC.
B
C
D
A
E
证明
B
C
D
A
E
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）.
∵∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB，
∴∠1=∠2.
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．
∴△BDC≌△CEB（ASA）.
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
1
2
还有别的证明方法吗？
B
C
D
A
E
3
4
证法二：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
∵∠3= ∠ABC，∠4= ∠ACB，
∴∠3=∠4.
在△ABD和△ACE中，
∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE（ ASA ）.
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
思考
刚才，我们用2种方法证明了等腰三角形中两底角的角平分线相等.
请同学们猜想一下：两腰上的中线、高是否分别相等呢？请你
证明它们.
猜想1：等腰三角形的两腰上的中线相等
猜想2:等腰三角形的两腰上的高相等：
例2 证明: 等腰三角形两腰上的高相等.
B
C
D
A
E
已知：如图3，在△ABC中， AB=AC，
BD，CE是△ABC的高.
求证：BD=CE.
证明
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC=∠CEB=90°.
在△BDC和△CEB中，
∵∠BDC=∠CEB，BC=CB，∠ABC=∠ACB，
∴△BDC≌△CEB（ AAS ）.
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
B
C
D
A
E
例3 证明：等腰三角形两腰上的中线相等.
B
C
D
A
E
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD，CE是△ABC的中线．
求证：BD=CE.
证明
B
C
D
A
E
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
∵BD，CE是△ABC的中线，
∴CD= AC， BE= AB ，即CD=BE.
在△BDC和△CEB中，
∵BC=CB，∠ABC=∠ACB ， CD=BE，
∴△BDC≌△CEB（ SAS ）.
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
思考
刚刚我们证明了等腰三角形中底角的角平分线、腰上的中线和高分别相等了.
如果是底角的三等分线段呢，相等吗？
同样，腰上的中线的三等分线段、腰上的高的三等分线段呢，相等吗？
探究
如图，在△ABC中，AB =AC，点D，E分别在AC和AB上.
如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗？
如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB呢？
B
C
D
A
E
由此你能得到一个什么结论？
请同学们用已经学过的定理和基本事实来证明你的猜想.
证明：在△ABC中，AB =AC，
∴∠ABC=ACB
∵∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB
∴∠ABD=∠ACE
在△ABD和△ACE中
∠ABD=∠ACE，AB =AC，∠A=∠A
∴△ABD≌△ACE（ASA ）
∴BD=CE
B
C
D
A
E
证明
归纳
在△ABC中，如果AB =AC，∠ABD= ∠ABC，
∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE.
叙述为：
在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE.
B
C
D
A
E
探究
B
C
D
A
E
如图，在△ABC中，AB =AC，点D，E分别在AC和AB上.
如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE 吗？
如果 AD= AC，AE= AB呢？
由此你能得到什么结论？
我们可不可以类比上面做出猜想呢？
证明你的猜想.
证明：在△ABC中，AB =AC，
∴∠ABC=ACB
∵AD= AC，AE= AB
∴AD=AE
在△ABD和△ACE中
AB =AC，∠A=∠A，AD=AE
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE
B
C
D
A
E
证明
归纳
在△ABC中，如果AB=AC，AD= AC，AE= AB，那么BD=CE.
叙述为：
在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.
B
C
D
A
E
观察
生活中的很多图形都是等边三角形.
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特
征呢
探究
证明：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
C
B
A
已知：如图6，在△ABC中，AB=BC=AC.
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：在△ABC中，∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）.
同理∠C=∠A，
∴∠A=∠B=∠C（等量代换）.
又∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）.
∴∠A=∠B=∠C=60°.
1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为（　　）
A．70° B．20° C．70°或20° D．40°或140°
C
2.已知：等腰三角形的两边长x、y满足方程组 ，
A．5 B．4 C．3 D．5或4
A
2x-y=3
3x+2y=8
则此等腰
三角形的周长为（ ）
课堂练习
3.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ）
A．BD=CE B．AD=AE
C．DA=DE D．BE=CD
C
4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（ ）
A．30° B．40° C．45° D．36°
B
C
D
A
D
5. 如图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE = CD.
证明：∵ △ABC 和△BDE 都是等边三角形，
∴AB = BC，∠ABC =∠DBE = 60°，
BE = BD，
∴△ABE ≌△CBD.
∴AE = CD.
A
B
C
D
E
6.如图，等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，BD=BE，求∠EDA的度数.
解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴∠CBA=60°.
∵BD是AC边上的中线，
∴∠BDA=90°，∠DBA=30°.
∵ BD=BE，
∴ ∠BDE=(180 °－∠DBA) ÷2 = (180°－30°) ÷2=75°.
∴ ∠EDA=90 °－ ∠BDE=90°－75°=15°.
B
C
D
A
E
这节课你学到了哪些数学知识呢？
1.等腰三角形的特殊性质：
底角的两条平分线相等；
两条腰上的中线相等；
两条腰上的高线相等.
2.等边三角形
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
课堂小结