{#{QQABIQAEggAAQBIAAAgCEwEoCgEQkBEACCoOgBAMMAAACBNABAA=}#}
{#{QQABIQAEggAAQBIAAAgCEwEoCgEQkBEACCoOgBAMMAAACBNABAA=}#}
{#{QQABIQAEggAAQBIAAAgCEwEoCgEQkBEACCoOgBAMMAAACBNABAA=}#}
{#{QQABIQAEggAAQBIAAAgCEwEoCgEQkBEACCoOgBAMMAAACBNABAA=}#}宁波市2023学年期末九校联考 高二数学参考答案
第一学期
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
A B A D C B C B
二、多选题
9 10 11 12
BD ABD ABD BC
三、填空题
y2 x2
13． 14． 1 x 0 或 y 2
3 4 2
1
7 3
15． 16． e
e，
18
四、解答题
17．解：
（1）当 PA 3 时， PA x 轴， xA xP 3， yP 3 ， ————2 分
因为 P 在第一象限，所以 P 3，3 ，
2 2
所以圆 P 的方程为 x 3 y 3 3； ————5 分
（2）因为 MA 1， MP 2，所以 PA 1，3 ， ————7 分
2
因为圆 与圆 x 2 y2 r2P r 0 恒有公共点，且圆心距为 MP 2，
所以 PA r 2 PA r 对任意的 PA 1，3 恒成立， ————9 分
2 r 1
所以 3 r 2 ，解得1 r 3 . ————10 分
1 r 2
18．解：
（1）在 内的成绩占比为 ，在 内的成绩占比为 ，因此第 百分位数一定位
于 内．
因为 ，所以估计第 百分位数约是 . ————4 分
（2）成绩不低于 分的频率为 ————6 分
所以高二年级男生中成绩优秀人数估计为： ，
所以估计高二年级男生中成绩优秀人数为 人； ————8 分
（3）设男生成绩样本平均数为 ，方差为
女生成绩样本平均数为 ，方差为 总样本的平均数为 ，方差为 ．
宁波市九校联考高二数学参考答案 第 1页 共 5页
{#{QQABIQAEggAAQBIAAAgCEwEoCgEQkBEACCoOgBAMMAAACBNABAA=}#}
． ————10 分
． ————12 分
所以总样本的平均数和方差分别为 和 ．
19．证明：
（1）取 PB中点 D ，连接 AD，DM .
因为 PA AB，所以 AD PB，
因为PA 底面ABC ，
所以 PA BC ，
由 BC AB ，
所以BC 平面PAB，
所以 BC PB . ————2 分
因为M 为棱 PC 的中点，所以MD / /BC ，所以 PB MD ，
所以 PB 平面ADM ，所以 PB AM . ————4 分
（2）以 A 为原点，建立如图所示坐标系，则 A 0，0，0 ， P 0，0，2 ，
B 0，2，0 ，C 2，2，0 ，
M 1，1，1 ，AM 1，1，1 ，AB 0，2，0 ，BC 2，0，0 ，——5 分
设 BN BC 0 ，得 AN AB BN AB BC 2 ，20， ，
取平面 AMC 的法向量m 1，1，0 ， ——6 分
令 n x，y，z 是平面 AMN 的一个法向量，
n AM 0 x y z 0
则 ，即 ，令 x 1，则 y ，z 1
n AN 0 2 x 2 y 0
n 1， ， 1 ， ————8 分
n m 1 1 5 7
由 cos n m
n m 2 22 1 2 1 2 1 14
2 3
解得 或 舍 . ————11 分
3 2
2 BN
得 BN BC ，所以 2 ————12 分
3 NC
20．解析：
（1）由题意得 f x ln x 1 ax x 0 ，
1 1 ax
令 g x ln x 1 ax ，则 g x a ————1 分
x x
1．当 a 0 时， g x 0恒成立， f x 在 0， 递增，当 x 0时， f x ，
当 x 时， f x ，此时 f x 有一个极值点； ————2 分
1 1
2．当 a 0 时，令 g x 0得 x ，易得 x 0， 时， g x 0， f x 单调递增，
a a
宁波市九校联考高二数学参考答案 第 2页 共 5页
{#{QQABIQAEggAAQBIAAAgCEwEoCgEQkBEACCoOgBAMMAAACBNABAA=}#}
1 1
x ， 时， g x 0， f x 单调递减， f x f ln a ，————3 分
a a
①当 ln a 0 ，即 a 1时，此时 f x 无极值点； ————4 分
②当 ln a 0 ，即 0 a 1时，当 x 0时， f x ，当 x 时， f x ，
此时 f x 有两个极值点； ————5 分
综上所述，当 a 0 时， f x 有一个极值点；
当 0 a 1时， f x 有两个极值点；
当 a 1时， f x 无极值点. ————6 分
1
（2）由（1）得，当 0 a 1时， f x 存在极大值点 x 0 ，且 x0 1， f x ， 0 0
a
ln x 1
即 a 0 ， ————7 分
x0
则 2 f x 2 20 2x0 ln x0 ax0 x0 ln x0 x0 e ，
令 h x x ln x x， h x ln x 0 ，所以 h x 在 1， 单调递增，易得 h e2 e2 ，
由 h x e2 得 x e20 ， ————10 分 0
ln x 1 ln x
令 p x x e2 ， p x 0 ，所以 p x 在 x e2， 上单调递减，
x x2
3
所以 a 0， . ————12 分 2
e
21．解：
1
（1）当 AC x 轴时， AM MC ，
3
1
则 xA xC 1 , yA 1 1 yC , ————2 分
3
yA yC 2 p ，所以 p 2 ，
抛物线 E 的方程为 y2 4x ————4 分
（2）解：设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ,C x3, y3 ,D x4 , y4
1 x1
x3 1
由 AM MC ，可得： ，因为 A,C 在抛物线 y
2 4x
1 yy 1 1
3
1 x
2 x
1 1
y1 4x
3
1
所以有： ，将 代入并整理可得：————6 分
y
2 4x 1 y3 3 y3
1 1
y21 4x1 2
1 y1 1 y1 1 x2 1
1 y 1 1 x1
2 4 3
1 4 1
1 y21 2 1 y1 3
2 2 1
宁波市九校联考高二数学参考答案 第 3页 共 5页
{#{QQABIQAEggAAQBIAAAgCEwEoCgEQkBEACCoOgBAMMAAACBNABAA=}#}
y21 2y1 3 1 ————9 分
同理可得，对于 B, D ，则有 y22 2y2 3 1
所以 y1，y2是方程 y
2 2y 3 1的两个根，
所以 y1 y2 2 ， ————10 分
y y
k 2 1
4
AB 2，即为定值. ————12 分
x2 x1 y2 y1
22．解：
b2 3 x2 y2
（1）根据题意得 ，设C : ，代入Q 2，3 得， 2
a2
1
4 4 3
x2 y2
C1 的方程为 1 .
8 6
x2 y2
C2 的方程为 1. ————4 分
8 6
（2）设直线 AB : y kx t ，
A xA，yA ，B xB，yB ，C xC，yC ，D xD，yD ，P x，y . 0 0
y kx t
2 2 3 4k 2 x2 8ktx 4 t2 x y 6 0 ；
1
8 6
64k 2t2 16 t2 6 3 4k 2 0
————5 分
6 8k 2 t2 0
t2 8k 2 6 0
4kt 8k 8k 2 6
所以 x0 ， y kx t t ；
3 4k 2
0 0
t t t
y 3
kOP
0 ；
x0 4k
3
y x 4k 4 2 k2 2
3 4k x 32k 2 0 xD ；————6 分
x
2 y2 3 4k 2
1
8 6
y kx t
4 t
2 6
2 2 3 4k 2 2
8kt
x y x 8ktx 4 t2 6 0所以 xA xB ，xAxB ；
3 4k 2 3 4k 2 1
8 6
64k 2t2 16 t2 6 3 4k 2
AB 1 k 2 x 2A xB 1 k
3 4k 2
2 2
1 k 2
4 3 6 8k t 24
1 k 2 ————8 分
2 3 4k 23 4k
宁波市九校联考高二数学参考答案 第 4页 共 5页
{#{QQABIQAEggAAQBIAAAgCEwEoCgEQkBEACCoOgBAMMAAACBNABAA=}#}
yD kxD t yC kxC t
dD AB ，dC AB
1 k 2 1 k 2
因为C，D在直线AB同侧，
yD kxD t yC kxC t yD yC k xD xC
所以 dD AB dC AB
1 k 2 1 k 2
2kOP k xD x k k x 3 4kC OP D
2 2 2 ————9 分
1 k 2 1 k 2 1 k 2 3 4k 2
所以 S1 S2 S1 S△QAB S2 S△QAB S△DAB S△ CAB
1 4k 2 3
AB d d 24 2 ————10 分 D AB C AB
2 3
3 4k 2 2
1
4k 2 3 4k 3 4k 2 2 15 4k 2
设 f k ， f k
3 32
3 4k 2 2 3 4k
2 15 2 16当 k 时， f k ， S1 S2 . ————12 分
4 max 9 3
宁波市九校联考高二数学参考答案 第 5页 共 5页
{#{QQABIQAEggAAQBIAAAgCEwEoCgEQkBEACCoOgBAMMAAACBNABAA=}#}
