广东省深圳市宝安区2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷（含解析）

宝安区2023-2024学年高三上学期期末考试
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.复数的实部与虚部之和是（ ）
A.7 B.13 C.21 D.27
2.已知集合，则的元素个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.无数
3.某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（ ）
A.28 B.36 C.52 D.64
4.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知函数在内有零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在该抛物线上，点在轴上，若，则（ ）
A. B. C. D.3
7.若函数的最大值是，则常数的值可能是（ ）
A. B. C. D.
8.已知是球的直径上一点，平面为垂足，截球所得截面的面积为为上的一点，且，过点作球的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则是等比数列
B.若是等比数列，则
C.若，则是等比数列
D.若是等比数列，且，则
10.直线与圆，则（ ）
A.圆的半径为2
B.直线过定点
C.直线与圆一定有公共点
D.圆的圆心到直线的距离的最大值是3
11.若直线与曲线相切，则的取值可能为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.6
12.在正三棱柱中，分别为的中点，为棱上的动点，则（ ）
A.平面平面
B.点到平面的距离为
C.与所成角的余弦值的取值范围为
D.以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知单位向量满足，则__________.
14.函数是奇函数，则__________.
15.为了检查学生的身体素质情况，从田径类3项，球类2项，武术类2项共7项项目中随机抽取3项进行测试，则恰好抽到两类项目的概率是__________.
16.已知椭圆的左焦点为，直线与交于，两点，若，则的离心率是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在中，角的对边分别是，且.
（1）求角的值；
（2）若的面积为，求的周长.
18.（12分）
在等差数列中，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
19.（12分）
已知某地中学生的男生和女生的人数比例是，为了解该地中学生对羽毛球和乒乓球的喜欢情况，现随机抽取部分中学生进行调查，了解到该地中学生喜欢羽毛球和乒乓球的概率如下表：
男生 女生
只喜欢羽毛球 0.3 0.3
只喜欢乒乓球 0.25 0.2
既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球 0.3 0.15
（1）从该地中学生中随机抽取1人，已知抽取的这名中学生喜欢羽毛球，求该中学生也喜欢乒乓球的概率；
（2）从该地中学生中随机抽取100人，记抽取到的中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的人数为，求的分布列和期望.
20.（12分）
如图，在圆锥中，是圆的直径，且是边长为4的等边三角形，为圆弧的两个三等分点，是的中点.
（1）证明：平面.
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
21.（12分）
已知双曲线的离心率是3，点在上.
（1）求的标准方程.
（2）已知直线与相切，且与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
22.（12分）
已知函数.
（1）求的极值；
（2）已知，证明：.
宝安区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学
参考答案
1.B 因为，所以复数的实部与虚部之和是.
2.C 联立整理得.由，得原方程组有两组解，即中有2个元素.
3.A 由题意可知抽取到的男性职工人数为，女性职工人数为，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多.
4.B 由，得，则“”是“”的必要不充分条件.
5.A 易证是上的增函数.因为在内有零点，
所以解得.
6.D 由，可得，即，所以.
7.B 因为，所以，所以，则.
8.C 如图，设截得的截面圆的半径为，球的半径为，因为，
所以.由勾股定理得，由题意得1，所以，解得.
此时过点作球的截面，若要所得的截面面积最小，只需所求截面圆的半径最小.设球心到所求截面的距离为，所求截面的半径为，则，
所以只需球心到所求截面的距离最大即可，而当且仅当与所求截面垂直时，球心到所求截面的距离最大，即，所以.
9.BCD 当时，满足，但不是等比数列，则错误.由等比数列的性质可知，则B正确.由，得，则，当
时，，则，从而可知是等比数列，则C正确.由，得.由等比数列的性质可知，即，解得，则D正确.
10.BCD 由题意可得圆的圆心坐标为，半径为3，直线过定点，则错误，正确.因为点在圆上，所以直线与圆一定有公共点，则正确.圆的圆心到直线的距离的最大值是，则正确.
11.BCD 设切点为，因为，所以.又因为切点在直线上，所以，解得，所以.令，则，易知在上单调递减，在上单调递增，所以，故的取值范围为.
12.ACD 对于，取的中点，连接（图略），易知也是的中点，在中，因为为的中点，所以.在中，因为为的中点，所以.又因为平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面正确.
对于，设点到平面的距离为，易知，因为，所以，解得，B错误.
对于，取的中点，连接（图略），易知.以为坐标原点，向量，
的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，设，则.设与所成的角为，则.令，则，当，即时，；当，即时，，可知；当，即时，可知.综上，与所成角的余弦值的取值范围为，C正确.
对于，由选项中的结论知平面.又因为球面的半径为，所以以为球心，为半径的球面与侧面的交线（圆的一部分）的半径为.如图，1，所以，解得.由圆与正方形的对称性知，所以球面与侧面的交线长为，正确.
13. 因为，所以，所以，则，故.
14.1 因为，所以.因为是奇函数，所以，即，所以，解得，则.
15. 从这7项项目中随机抽取3项的情况有种，抽取的3项属同一类的情况有种，抽取的3项包含三类的情况有种，则符合条件的情况有种，故所求概率为.
16. 设，因为，所以，所以.联立整理得，则，，从而，整理得，故
17.解：（1）因为，所以，
所以，所以，
则或（舍去）.
因为，所以.
（2）因为的面积为，所以，则.
由余弦定理可得，
则，即，解得.
故的周长为.
18.解：（1）设数列的公差为，
则解得.
故.
（2）由（1）可得，
则，
故
.
19.解：（1）记事件表示从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生喜欢羽毛球，事件表示从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生喜欢乒乓球，
则，
，
故所求的概率.
（2）由（1）可知从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的概率，则，
从而，
故.
20.（1）证明：取的中点，连接.
因为为圆弧的两个三等分点，所以.
因为分别为的中点，所以，
则，从而四边形为平行四边形，
故.
因为平面平面，所以平面.
（2）解：以为坐标原点，的方向分别为轴的正方
向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，
，
则
.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面与平面所成锐二面角为，
则.
21.解：（1）由题可得解得.
故的标准方程为.
（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线.
联立整理得，
则，即.
由（1）可知的渐近线方程为和.
不妨设直线与直线的交点为，与直线的交点为.
联立解得即.
联立解得即.
由，
得.
因为，所以，所以，即.
22.（1）解：，令，可得.
令，可得，
所以在上单调递增，在和上单调递减.
所以的极大值为的极小值为.
（2）证明：由，可得，
所以.
由对称性，不妨设，则，当且仅当时，等号成立，
所以.
由（1）可知在上的最大值为，
所以，当且仅当时，等号成立.
因为等号不能同时取到，所以.