北京市顺义区2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题（含答案）

顺义区2023—2024学年第一学期期末质量监测
高二数学试卷
考生须知
1．本试卷共6页，共两部分，21道小题，满分150分。考试时间120分钟。
2．在答题卡上准确填写学校、姓名、班级和教育ID号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束后，请将答题卡上交。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
（1）直线l：的倾斜角为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则点B的坐标是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（3）圆：与圆：的位置关系是（ ）
（A）外离 （B）外切 （C）相交 （D）内切
（4）在数列中，，且，则等于（ ）
（A）4 （B）6 （C）8 （D）16
（5）在长方体中，，，，则点D到平面的距离为（ ）
（A）1 （B）3 （C） （D）
（6）已知双曲线C经过点，其渐近线方程为，则双曲线C的方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（7）已知直线：，：．若，则实数（ ）
（A）0或 （B）0 （C） （D）或2
（8）已知等比数列的首项，公比为q，记（），则“”是“数列为递减数列”的（ ）
（A）充要条件 （B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气．立竿测影，得其最短日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，春分日影长为7.5尺，则这十二个节气中后六个（春分至芒种）日影长之和为（ ）
（A）8.5尺 （B）30尺 （C）66尺 （D）96尺
（10）如图，在正方体中，E是棱CD上的动点，则下列结论正确的是（ ）
（A）直线AE与所成角的范围是 （B）直线与平面所成角的最大值为
（C）二面角的大小不确定 （D）直线AE与平面不垂直
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡上．）
（11）已知等差数列的首项为，且，则______．
（12）已知平面的法向量为，，若直线AB与平面平行．则______．
（13）已知圆C：，若直线与圆C有两个不同的交点，写出符合题意的一个实数k的值______．
（14）探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线C：，一条光线经过点，与x轴平行射到抛物线C上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点M到点N经过的总路程为______．
（15）在数列中，若，（，，p为常数），则称为“等方差数列”，给出以下四个结论：
①不是等方差数列；
②若是等方差数列，则（，k为常数）是等差数列；
③若是等方差数列，则（，k、l为常数）也是等方差数列；
④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列也一定是等比数列．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（16）（本小题13分）
已知数列是等比数列，，（）
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若为等差数列，且满足，，求数列的前n项和．
（17）（本小题13分）
已知是正方体，点E为的中点，点F为的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
（18）（本小题14分）
如图，已知M是抛物线C：（）上一点，F是抛物线C的焦点，以Fx为始边，FM为终边的，且，l为抛物线C的准线，O为原点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线FM与抛物线C交于另一个点N，过N作x轴的平行线与l相交于点E．求证：M，O，E三点共线．
（19）（本小题15分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，是等边三角形，平面，M为PC的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求MD与平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）设点N在线段PB上，且，PA的中点为Q，判断点Q与平面MND的位置关系，并说明理由．
（20）（本小题15分）
已知椭圆E：（）与y轴的一个交点为A（0，1），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与椭圆E交于点B，过点A与l垂直的直线与直线交于点C．若为等腰直角三角形，求直线l的方程．
（21）（本小题15分）
设数列的前n项和为．若对任意．总存在．使得．则称是“M数列”．
（Ⅰ）判断数列（）是不是“M数列”，并说明理由；
（Ⅱ）设是等差数列，其首项．公差．且是“M数列”
①求d的值和数列的通项公式：
②设，直接写出数列中最小的项．
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高二数学试卷参考答案
一、选择题．
BCAC DCBC BD
二、填空题
11．24 12．1 13．说明：范围内的任意值 14．24 15．②③
三、解答题
16．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，
因为，，所以，所以，所以．
（Ⅱ）等差数列的公差为d，则，，所以，，
所以数列的前n项和公式为．
17．（本小题14分）
（Ⅰ）∵是正方体，∴DA、DC、两两垂直
∴以DA为x轴，以DC为y轴，以为z轴如图建系
设，∴D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0）
，，，，，
∴，，∴∴
（Ⅱ）平面FCB的法向量
设平面EFC的法向量，，
令，得，；∴
设二面角的平面角为，则
∴二面角余弦值为
18．（本小题14分）
（Ⅰ）解：方法1：过M作，垂足为A，连结FA．则，
因为，所以，．
所以．抛物线C的方程为．
方法2：过M作轴，垂足为G．则．
设点M的横坐标为．根据题意得：
解得．抛物线C的方程为．
方法3：设点，
则，
因为在抛物线C上，所以，化简得，
解得或（舍）．抛物线C的方程为．
（Ⅱ）证明：抛物线C的焦点，．
直线FM的方程为．
联立方程得，
解得，，所以，
M点坐标为，E点坐标为，
因为，．所以M，O，E三点共线．
19．（本小题15分）
（Ⅰ）证明：连AC交BD于E，连ME．
∵ABCD是菱形，∴E为AC中点．
∵M是线段PC中点，∴ME是中位线，∴．
又∵平面MBD，平面MBD，∴平面MBD．
（Ⅱ）解：取AD中点O，连PO、OB
∵是等边三角形，∴．
∵ABCD是菱形，，∴是等边三角形．∴．
∵平面平面ABCD，平面平面，PO在平面PAD内，
∴平面ABCD．∴OB、OD、OP两两垂直．
∴以OB为x轴，以OD为y轴，以OP为z轴建立坐标系．如图，
∴，，，，，，
∴
∴平面ABCD的法向量为．
设MD与平面ABCD所成角为，则．
∴MD与平面ABCD所成角正弦值为．
（Ⅲ）解：点Q在平面MND内．连DQ（MQ、NQ都行）
∵，∴，∴
设平面MND的法向量为，则
令得，，∴．
∵PA的中点为Q，∴，．
∴．∴．
∵D在平面MND内，∴DQ在平面MND内．∴点Q在平面MND内．
20．（本小题15分）
解：（Ⅰ）由已知得解得，．椭圆E的方程为．
（Ⅱ）方法1：由题意可知，直线l与y轴不垂直，
又当l与x轴垂直时，显然．
所以，设直线l的方程为（），
联立方程，消去y整理得（*）
设点，则由点及方程（*）的根与系数的关系得，
因为，所以直线AC的方程为，
将代入，解得．故点C的坐标为
．
由为等腰直角三角形知，即，
化简整理得，即，解得
所以直线l的方程为或．
方法2：
由题意可知，直线l与y轴不垂直，又当l与x轴垂直时，显然．
过点A作直线的垂线，垂足为D，再过点B作直线AD的垂线，垂足为F．
因为，所以．
当时，易判断．所以．
由，求得
由此可知点B的坐标为或（2，0）
直线l的斜率或，直线l的方程为或．
21．（本小题15分）
（Ⅰ）数列不是“M数列”，理由如下：
∵，当时，，此时找不到，使得．
所以数列不是“M数列”
（Ⅱ）①方法一：①是等差数列，且首项，公差，
则，
故对任意，总存在，使得成立，
则，其中为非负整数，
要使，需要恒为整数，即d为所有非负整数的公约数，
又，所以，所以．
方法二：是等差数列，且首项，公差，
则，其前n项和，
，，，
，，，
易知，若，则，∴，不满足题意，
所以，解得，
所以，所以是数列中的项．所以．
②∵，所以．
当时，；当时，．
所以，当时，有最小值．即数列中最小的项为．