7．若 sin = 3，则 cos =（ ）
2 3
宁德市 2023-2024 学年第一学期 高一年级
A 2． B． 1 C 1 D 2． ．
第四次调研考试数学试卷 3 3 3 3
8．已知关于 的不等式( 2 + 4 5) 2 4( 1) + 3 > 0 对一切实数 恒成立，则实数 的
满分：150 分 时间：120 分钟
取值范围为（ ）．
一、单项选择题: （本题共 8小题，每小题 5分，共 40分. 在每小题给出的四个选项中，只有 A．( ∞， 1) ∪ (1， +∞) B．[ 1，16]
一个选项是符合题目要求的） C．[1，19) D．[2， +∞)
1．下列关系中正确的是（ ）
1 二、多项选择题：（本题共 4小题，每小题 5分， 共 20分. 在每小题给出的选项中有多项符合A． ∈ B． 2 C．0 ∈ * D．π ∈
2 题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 3分，有选错的得 0分）
2．已知命题 : ∈ R, 2 2 + + 6 > 0，则命题 的否定是（ ） 9．下列各组函数中，是相同函数的是（ ）
0, = 0
A． ∈ R, 2 2 + + 6 < 0 B． ∈ R, 2 2 + + 6 > 0 A． ( ) = 2， ∈ 1,0,1 与 = 1, =± 1
C． ∈ R, 2 2 + + 6 ≤ 0 D． ∈ R, 2 2 + + 6 ≤ 0 B． ( ) = 与 ( ) = 2
3．“方程 2 + 2 + = 0有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是（ ） C． ( ) = 与 ( ) = 2
A． < 2 B． < 1 C． < 0 D． ≤ 1 D． ( ) = 1 ( > 0)与 ( ) = +1 ( > 0)
2+
4．下列说法正确的是（ ）
10．下列命题中错误的是（ ）
A．某人的月收入 元不高于 2000元可表示为“ < 2000”
A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等
B．小明的身高为 ，小华的身高为 ，则小明比小华矮可表示为“ > ”
C．第四象限角不一定是负角 D．钝角比第三象限角小
C．变量 不小于 可表示为“ ≥ ”
11 1．下列各式中值为 的是（ ）
D．变量 不超过 可表示为“ ≥ ” 2
A．cos30 B．sin150 2 4 C．cos300o D．sin120 5．已知正数 a，b满足 + = 1，则 + 2 的最小值为（ ）
12．已知关于 的不等式 2 + + < 0 的解集为 ，则下列说法错误的是（ ）
A．16 B．10 C．6 D．8
A． = ，则 < 0, Δ < 0
e +1 3, > 0,
6．已知函数 = 0, = 0, 为奇函数，则 1 =（ ） B = ( 1,3) x 2 > + 4 ( ∞, 2) ∪ 1．若 ，则关于 的不等式 的解集为 , + ∞
3, < 0 3
A．3 B．6 C．6 e2 D．3 e2 C．若 = { | ≠
+4
0, 0为常数}，且 < ，则 的最小值为 2 + 2 2
D．若 < 0, 2 + + < 0 的解集 M一定不为
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三、填空题:（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分. 把答案填在答题卡的相应位置） 21．假设有一套住房从 2012年的 20万元上涨到 2022年的 40万元.下表给出了两种价格增长方
13．若 tan < 0 且 sin > 0，则 是第 象限角.
式，其中 P1是按直线上升的房价， P2是按指数增长的房价， t是 2002年以来经过的年数.
14．已知 = log0.23， = 2 1， = sin
，则 , , 从小到大排列是 ．（用“<”连接）
5
t 0 5 10 15 20
15．已知函数 y f (x), x R，且 f (0) 3,
f (0.5) 2, f (1) 2, , f (0.5n) 2 *
f (0) f (0.5) f (0.5(n 1)) ，n N ， 1/万元 20 40
写出 ( )的一个解析式为 ．
+ 2/万元 20 4016．关于 的不等式 > 0 的解集为(1, + ∞)，则关于 的不等式 > 0 的解集为
2
四、解答题（17题 10分，18-22题每 12分题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演 （1）求函数 P1 f (t)和P2 f (t)的解析式；
算步骤.）
（2）结合你所学的知识，对比两种价格增长方式的差异.
17．已知 f x loga x 1 ， g x loga 1 x ， a 0且 a 1 22.已知关于 的不等式： 2 + 1 + 1 < 0 ∈ ．
（1）求 F x f x g x 的定义域. (1)当 = 2时，求不等式的解集；
(2)当 ≥ 0时，求不等式的解集；
（2）判断 F x f x g x 的奇偶性，并说明理由.
(3)命题 :若二次不等式 2 + 1 + 1 < 0 的解集为空集，命题 : 2 2 2 + + 1 > 0
18．已知集合 = { | < < 10 }
对任意实数 都成立，若 , 中至少有一个真命题，求实数 的取值范围．
（1）若集合 = ，求 a的取值范围.
（2）在① = { | 1 < < 4}，② R = { | > 6}，③ = | ≥ 7 这三个条件中任选一个，
补充在下面的问题中。问题：_______，若 ∩ = ，求 a的取值范围.
sin π+ cos π2 2 sin cos 19．已知函数 f(x)= .
sin π cos π
(1) π求 的值；
12
(2)若 tan = 2，求 + cos2 + 2sin2 1的值.
5
, 2 ≤ ≤ 0
20．已知函数 = 2,0 < ≤ 1 .
2 ,1 < ≤ 2
(1)分别求 1 ， 0.5 ， 3 的值；
(2)画出函数 的图象，写出函数 的定义域及值域
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{#{QQABKQIAgggAAAJAAQgCEwXYCEOQkBGAAKoOBFAIMAIASBFABAA=}#}高一年级四调考试数学参考答案 F x loga 1 x 2 loga 1 x2 F x F x f x g x 为定义在 1,1 上
一、选择
1．A 2．D 3．C 4．C 5．A 6．C 7．C 8．C 9．AD 10．AD 11．BC 12．AC 的偶函数
12.【详解】由题意，关于 的不等式 2 + + < 0 的解集为 ， 18．【详解】（1）当 = 时， ≥ 10 ，解得 a≥5，所以 a 的取值范围为{ | ≥ 5}.
对于 A中，若 = ，即不等式 2 + + < 0 的解集为空集， （2）选择条件①： = { | 1 < < 4}，因 ∩ = ，
根据二次函数的性质，则满足 > 0, Δ = 2 4 ≤ 0，所以 A错误；
当 = 时， ≥ 10 ，解得 a≥5 ≠ < 5 < 5，当 时， 或 ，解得 4≤a＜5，
对于 B中，若 = ( 1,3)，可得 1和 3是方程 2 + + = 0 两个实根，且 > 0， 10 ≤ 1 ≥ 4
所以 a 的取值范围为{ | ≥ 4}.
1 + 3 =
可得 ，解得 = 2 , = 3 ，则不等式 2 > + 4 ，可化为 3 2 + 选择条件②： R = { | > 6}，则 = | ≤ 6 ，因 ∩ = ， 1 × 3 =
当 = 时， ≥ 10 a≥5 ≠ < 5，解得 ，当 时， ≥ 6，无解，
5 2 > 0，即 ( + 2)(3 1) > 0 1，解得 < 2或 > ，即不等式的解集为( ∞, 2) ∪
3 所以 a 的取值范围为{ | ≥ 5}.
1 选择条件③： = | ≥ 7 ，因 ∩ = ，, + ∞ ，所以 B正确；
3
当 = 时， ≥ 10 ，解得 a≥5，当 ≠ < 5时， ，解得 3 ≤ < 5，
对于 C中，若 = { | ≠ 0, 0为常数}，可得 20是 + + = 0 唯一的实根，且 < 0， 10 ≤ 7
所以 a 的取值范围为{ | ≥ 3}.
2
< 0 2 +4× +
2 2
1+
则满足 ，解得 = +4 ，所以 = 4 = = 2， 【Δ = 2 4 = 0 4 1 sin π+ cos π2 2 sin cos 19 1 = = cos sin sin cos ．【详解】（ ） = cos sin = 1 sin2 .
sin π cos π sin cos 2
2
1+
1 = < < 0 < 0 = + 1 +4 = 2 = 1+( +1)
2
令 ，因为 且 ，可得 ，且 ，则 = +
2 + 2 = π 1 π 1
1 所以 = sin = . 12 2 6 4
2 2
2 [ 2 ] ≤ 2 2 ( ) × 2 = 2 2 2 = 2 = 2 = 2 + 1 （2） + cos2 2，当且仅当 时，即 时，即 + 2sin
1 = sin cos + cos2 + 2sin2 1 = sin cos +cos +2sin 12
5 5 cos +sin
2 5
+4 = tan +1+2tan
2 1 = 2+1+8 1时，等号成立，所以 的最大值为 2 2 2，所以 C错误； = 2.
1+tan2 5 1+4 5
对于 D中，当 < 0 时，函数 = 2 + + 表示开口向下的抛物线， 20．【详解】（1） ( 1) = 1, (0.5) = 0.52 = 0.25, ( 3) = 2 3.
所以当 < 0, 2 + + < 0 的解集 一定不为 ，所以 D正确.故选：AC. （2）图像如图，由图可得，函数 ( )的定义域为 2,2 ，由函数图象可得值域为 0,4
二、填空
13．二 14． < < 15． f (x) 3 4x 16． ∞, 1 ∪ 2, + ∞
三、解答
17．详解】（1）令 x 1 0得： x 1 f x 定义域为 1,
令1 x 0得： x 1 g x 定义域为 ,1 F x f x g x 的定义域为 1,1
（2）由题意得： F x loga x 1 loga 1 x loga 1 x 2 ， x 1,1
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21．【详解】（1）因为 P1是按直线上升的房价,设 f (t) kt b, t 0 , 22.【详解】（1）当 = 2时，原不等式为 2
2 1 > 0，即 1 2 + 1 > 0，
1
f (0) k 0 b 20 f (10) k 10 b 40 k 2,b 2 P 2t 20,t 0 解得 < 或 > 1，所以原不等式的解集为 ∞,
1 ∪ 1, + ∞ .
由 , ,可得 ,即 2 21 .
（2）当 = 0 时，原不等式为 + 1 < 0，解得 > 1；
P t因为 2是按指数增长的房价,设 g(t) a0a , t 0 ,由 g(0) a0a
0 20, g(10) a 100a 40 ,可得
当 > 0 1时，原不等式变为 1 1 < 0，其对应方程的两根为 ，1，
1 1 t
a 20,a 210 ,即0 P 20 2102 ,t 0 1
若 < 1，即 > 1 时，由 1 1 < 0 1解得 < < 1，
1
所以 P1 2t 20,t 0 . tP 20 2102 ,t 0 . 1
若 = 1，即 = 1 时，不等式 1 1 < 0解集为 ，
（2）由（1）和（2）,当 t 5时, P1 30,P2 20 2 ；当 t 15时,P1 50,P2 40 2 ；当 t 20
1
若 > 1，即 0 < < 1 时，由 1 1 < 0解得 1 < < 1，
时,P1 60,P2 80 ,则表格如下:
综上，当 = 0 时，不等式的解集为 1, + ∞ ，
t 0 5 10 15 20
当 0 < < 1 时，不等式的解集为 1, 1 ，
P1 /万元 20 30 40 50 60 当 = 1 时，不等式的解集为 ，
P / 20 40 80 当 > 1
1
时，不等式的解集为 , 1 .
2 万元 20 2 40 2
则图像为: （3）若命题 为真命题，若 < 0，原不等式变为 1 1 < 0
1
，其对应方程的两根为 ，
1，其解集为 ∞, 1 ∪ 1, + ∞ ，不合题意，
当 ≥ 0时，由（2）可知 = 1 时，解集为 ，所以命题 为真命题，则 = 1；
命题 为真命题，则有相应方程的Δ < 0，即 2 < 0，解得 0 < < 1；
所以当命题 ， 都为假命题时， ≤ 0或 ≥ 1，解得 ≤ 0或 > 1，
≠ 1
所以命题 ， 中至少有一个真命题，则 0 < ≤ 1.
∴实数 的取值范围为 0,1 .
根据表格和图像可知:房价按函数 P1 f (t)呈直线上升,每年的增加量相同,保持相同的增长速度；
按函数 P2 g(t)呈指数增长,每年的增加量越来越大,开始增长慢,然后会越来越快,但保持相同
的增长比例.
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