2023--2024 学年第一学期期末调研试卷
高二数学参考答案
注意事项：答案仅供参考，其他合理答案也可酌情给分。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D C D B B B
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对
的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11 12
答案 ACD AC AD BC
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
5
13． 14． 41 15． 2 2 16．3 1 3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（ 10 分 ）
（1）BA BC= BA BC cos BA,BC =3 4 cos120 = 6 4分
2 2 2 2 2
（2）CD CB BA AD CB BA AD 2 CB BA BA AD CB AD
16 9 25 2 4 3 cos60 3 5 cos60 4 5 cos90 =77 9分
所以，CD= CD 77 10分
18.（12 分）
（1）记 an 的公差为 d，因为 a3 a5 2d 4，所以 d= 2，………2分
因为 a4 a1+3 2 ，所以 a1=10，………4 分
所以 an=a1 n 1 2 =12 2n .………6分
S = d n2 a d
2
2 11 121（2）因为 n 2 1
n n 11n n 8分
2 2 4
11
所以，当 n取与 最接近的整数即 5 或 6 时， Sn最大，………10 分 最大值为 S5 S6 30 .………12 分2
19.（12 分）
（1）设圆心C a,b ，因为圆心C在直线 l：2x y 0上，所以 2a b 0，………2 分
因为 A，B是圆上的点，所以 AC = BC ，
2 2 2 2
根据两点间距离公式，有 a 2 b 4 = a 1 b 1 ，即 a b 3 0，………4分
解之可得 a 1,b 2，所以圆心C 1, 2 ，半径 r AC = 2 1 2 4 2 2 5，………5分
2 2
所求圆的标准方程为： x 1 y 2 =5.………6 分
k = 4 1（2）直线斜率为 AB 1，所以所求直线的斜率也为 1，设所求直线方程为 x y m 0，………8分2 1
1 2 m
所以圆心C到该直线的距离为 d 5，解之得m 1 10，………10 分
1 1
所以所求直线方程为： x y 1 10 0.………12 分
20.（12 分）
（1）由 an 1+2an=3n 1可得 an 1 n+1 = 2 an n ，………2分
1
{#{QQABKQIAogAgAhAAAAgCEwWoCkCQkBAACIoOgFAEMAIAyQFABAA=}#}
a n+1
因为 a1 0，所以 a1 1 1
n 1 ，an n 0，所以 = 2，………4分an n
所以 an n 是以 1为首项， 2为公比的等比数列.………6分
1 1 2 n n
（2）设数列 an n 1+ 2 的前 n项和为T ，则T = n = ，………9分n 1 2 3
n
所以 Sn=Tn+
1+ 2 n 1 n1 2 3 n + .………12 分
3 2
21.（12 分）
（1）因为 AP 平面ABC，BC 平面ABC，所以 AP BC，…………2 分
又因为 BC PC， AP PC=P，所以 BC 平面PAC，…………4 分
又 BC 平面PBC，所以平面PAC 平面PBC .…………5分
（2）由（1）BC 平面PAC，又 A C 平面APC，所以 BC AC，…………6分
如图，作CC '=AP分别以CA,CB,CC ' 为 x，y，z轴建立空间直角坐标系Cxyz，…………7分
不妨设 AC=BC=AP=1，
C 0,0,0 A 1,0,0 B 0,1,0 P 1,0,1 M 1 , 1 , 1 CA 1,0,0 CM 1 , 1 , 1则 ， ， ， ， ， ， 2 2 2 2 2 2 ，
CA n=0 x=0， ，
设平面 ACM 的一个法向量为n x, y, z ，则 即 1 1 1
CM n=0， x y z=0， 2 2 2
取 y 1，则平面 ACM 的一个法向量为n= 0,1, 1 .…………8 分
取 PC的中点N
1
，0
1
， ， AN PC，所以 AN 平面PBC，
2 2
所以平面 PBC的一个法向量为 AN
1 1
,0, ，…………9分
2 2
1
cos n, AN n AN 1所以 2 = 2 ,…………11 分n AN 2 2
2
所以平面 ACM 与平面PBC的夹角为 ．…………12 分
3
22.（12 分）
BF b2 c2 a 3
（1） ，…………2分
AB b2 a2 b2 a2 2
2
4a2 3 b2 a2 a2 3b2 e c 1 b 6，所以 .…………4 分
a a2 3
2
（2）（i）设 A a，0 ，M x1，y1 ，N
y y y
x1， y
1 1 1
1 ，则 kAM = ，k = kx ， a AN x a AM kAN = 2 2 ，……5分1 1 x1 a
x 2 y 21 1 y
2 2
1 b b
2 1
由
a2
b2
1，得 2 2 2 ，…………7分 所以x a a kAM kAN = =
为定值.…………8 分
1 a2 3
（ii）记 kAM k1 0，kAN k2 0，则直线 AM : y=k1 x a ,所以D 0， ak1 ，同理 E 0， ak2 ，………9分
S = 1 a ak ak = 1 a2 k k = 1 a2 k + 1 3a
2
所以 ADE 1 2 2
= 3，…………10 分
2 1 2 2 1 3k
1 3
所以 a2=3 k = 3，当且仅当 1 时“=”成立，此时b
2=1，…………11 分
3
x2
所以椭圆D的方程为： y2 1.…………12 分
3
2
{#{QQABKQIAogAgAhAAAAgCEwWoCkCQkBAACIoOgFAEMAIAyQFABAA=}#}2023-2024学年第一学期期末调研试卷
高二数学
注意事项:
1.本试卷共4页,满分150分,考试时间120分钟。答题前,考生务必将自己的姓名、考生
号等填写在试卷和答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上对
应的答题区域内,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的。
1.已知抛物线的标准方程是y2=4x,则它的准线方程是
A.x=-1 B.x=1 C.y=-1 D.y=1
2.已知A(2,-3,1),B(2,0,3),C(0,0,5),则
1
AB→- B→2 C=
A.(-1,3,3) B.(1,-3,-3) C.(1,3,1) D.(-1,-3,-1)
3.已知 a 2n 为等差数列,且a3,a7 为方程x -2x-1=0的两根,则a5=
A.- 2 B.2 C.-1 D.1
4.记Sn 为等比数列 an 的前n 项和,若a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则S6=
A.6 B.8 C.9 D.12
5.已知圆C :x2+y21 +2x=0,圆C :x22 +y2-2x-8=0,则C1 与C2 的位置关系是
A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
x2 y26.已知双曲线C:2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为2x-y=0,且经过点A(3,2),a b
则C 的实轴长为
A.22 B.42 C.27 D.47
7.已知抛物线C:y2=8x 的焦点为F,准线与x 轴的交点为A,点B 在C 上,且 AB =
2 BF ,则△ABF 的面积是
A.4 B.8 C.16 D.32
8.某汽车集团从2023年开始大力发展新能源汽车,2023年全年生产新能源汽车2000辆,每
辆车的利润为1万元.如果在后续的几年中,经过技术不断创新,后一年新能源汽车的产量
都是前一年的120%,每辆车的利润都比前一年增加1000元,则生产新能源汽车6年的时
间内,该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为(假设每年生产的新能源汽车都能销售出
去,参考数据:1.26≈2.99)
A.2.291亿 B.2.59亿 C.22.91亿 D.25.9亿
高二数学 第1 页 (共4页)
{#{QQABKQIAogAgAhAAAAgCEwWoCkCQkBAACIoOgFAEMAIAyQFABAA=}#}
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要
求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.已知直线l的方向向量为(1,2),且经过点(0,2),则下列点中在直线l上的是
A.(-1,0) B.(-2,-1) C.(1,4) D.(2,6)
10.已知四面体ABCD,E,F 分别是BC,CD 的中点,则EF→=
1
A. (
1
2 AD
→-AB→) B. (D→C-B→2 C
)
1
C.AF→- (
1
2 AB
→+A→C) D.AB→+ (BD→+B→C)2
x2
11.已知椭圆C: +y2=1与直线l:x-y+m=0相交于两个不同的点A,B,M 为线段4 AB
的中点,则
A.- 5 5
C.弦长 AB 的最大值为
45
D.M 一定在直线5 x+4y=0
上
12.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E 为线段A1B1 的中点,则
A.存在直线l 平面ABCD,使得l⊥平面AEC1
B.存在直线l 平面ABCD,使得l∥平面AEC1
6
C.点B 到平面AEC1 的距离为3
与平面 所成角的余弦值为2 30D.BE AEC1 15
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
1
13.已知数列 an 的首项为a1=1,递推公式为an=1+ (a n≥2
,n∈N*),则a4=
n-1
.
14.在空间直角坐标系Oxyz中,点P(3,4,5)在坐标平面Oxy,Oxz内的射影分别为点A,B,
则 AB→ = .
15.已知圆C:x2+(y-2)2=4,若直线l:mx-y+(m+1)=0(m∈R)与圆C 相交于两个不
同的点A,B,则 AB 的最小值是 .
x2 y216.已知过双曲线C:2- 2=1(a>0,b>0)左焦点Fa b 1
且倾斜角为60°的直线与C 交于点
A,与y 轴交于点B,且A 是BF1 的中点,则C 的离心率为 .
高二数学 第2 页 (共4页)
{#{QQABKQIAogAgAhAAAAgCEwWoCkCQkBAACIoOgFAEMAIAyQFABAA=}#}
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
如图,在空间四边形 ABCD 中,AB=3,BC=4,AD=5,∠ABC=∠BAD=120°,
AD⊥BC.
(1)求BA→·B→C;
(2)求CD 的长.
18.(12分)
已知等差数列 an 的前n 项和为Sn,且a3-a5=a4=4.
(1)求 an 的通项公式;
(2)求Sn 的最大值及取得最大值时n 的值.
19.(12分)
已知圆心为C 的圆经过A(2,-4),B(-1,-1)两点,且圆心C 在直线l:2x+y=0上.
(1)求圆C 的标准方程;
(2)求与直线AB 平行且与圆C 相切的直线的方程.
20.(12分)
已知数列 an 的首项a1=0,且an+1+2an=3n+1.
(1)求证: an-n 是等比数列;
(2)求数列 an 的前n 项和Sn.
高二数学 第3 页 (共4页)
{#{QQABKQIAogAgAhAAAAgCEwWoCkCQkBAACIoOgFAEMAIAyQFABAA=}#}
21.(12分)
如图,在三棱锥P-ABC 中,AP⊥平面ABC,BC⊥PC.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若AC=BC=AP,M 是PB 的中点,求平面ACM 与平面PBC 的夹角.
22.(12分)
2
已知椭圆 :xC +y
2 BF 3
2 2=1(a>b>0),F 为右焦点,A 为右顶点,B 为上顶点, = .a b AB 2
(1)求C 的离心率e;
(2)已知MN 为C 的一条过原点的弦(M,N 不同于点A).
(i)求证:直线AM,AN 的斜率之积为定值,并求出该值;
(i)若直线AM,AN 与y 轴分别交于点D,E,且△ADE 面积的最小值为 3,求椭圆
C 的方程.
高二数学 第4 页 (共4页)
{#{QQABKQIAogAgAhAAAAgCEwWoCkCQkBAACIoOgFAEMAIAyQFABAA=}#}
