2023-2024学年下学期七年级 人教版 第8章二元一次方程组-福建省单元培优专题练习(含解析）

第8章 二元一次方程组-福建省2023-2024学年下学期七年级数学单元培优专题练习（人教版）
一、单选题
1．（2023下·福建龙岩·七年级统考期末）已知关于x、y的方程组．以下判断：①存在某个实数k值，使得，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论实数k取何值，；④代数式的最小值为19，正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
2．（2023下·福建龙岩·七年级统考期末）为了节能减排，某公交公司计划购买A型和B型两种新能源公交车．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需270万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需300万元，列出方程组．若对该方程组进行变形可得到方程，下列对“”的含义说法正确的是（ ）
A．A型车比B型车多购买30辆 B．A型车比B型车少购买30辆
C．A型车比B型车每辆贵30万元 D．A型车比B型车每辆便宜30万元
3．（2023下·福建福州·七年级福建省福州屏东中学校考期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐2人，则9人需要步行；若每辆车都坐3人，则两辆车是空的，问：车与人名多少？设有辆车，个人，根据题意，列方程组是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·福建厦门·七年级统考期末）下列x，y的值是方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）把方程改写成“用含的式子表示”的形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023下·福建厦门·七年级厦门一中校考期末）下列结论中正确的个数是：（ ）
①若，则关于的方程的解为；②若，且，则关于的方程的解是；③若关于的方程有唯一的解，则；④关于，的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023下·福建厦门·七年级厦门一中校考期末）我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：个和尚分个馒头，刚好分完，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头，问大、小和尚各有多少人？若大和尚有人，小和尚有人，则下列方程或方程组中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023下·福建厦门·七年级统考期末）《九章算术》是我国古代数学专著，其中第八卷记录了这样一道题：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，与上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？”其大意为“今有捆上等禾结出的粮食，减去斗上等禾，再加上捆下等禾结出的粮食，共斗；捆下等禾结出的粮食，加上斗下等禾，再加上捆上等禾结出的粮食，共斗，问上等禾和下等禾每捆各能结出多少斗粮食（斗为体积单位）？”设上等禾每能结出斗粮食，下等每能结出斗粮食，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023下·福建福州·七年级统考期末）已知二元一次方程组则②①得（　　）
A． B．
C． D．
10．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）如图，将正方形的一角折叠，折痕为，比大，设和的度数分别为、，那么、所适合的一个方程组是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”其大意是：几个人一起去购买某物品，若每人出8钱，则多了3钱；若每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少钱？设共有人，物品价格为钱，则根据题意可列方程组为( )
A． B． C． D．
12．（2023下·福建南平·七年级统考期末）已知是方程的一组解，则代数式的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
二、填空题
13．（2022下·福建福州·七年级校考期末）如果实数，满足方程组那么的值为 ．
14．（2023下·福建福州·七年级福建师大附中校考期末）已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ．
15．（2023下·福建福州·七年级统考期末）已知是方程的解，则 ．
16．（2023下·福建福州·七年级校考期末）已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为 ．
17．（2023下·福建福州·七年级校考期末）若且，则的值是 ．
18．（2023下·福建厦门·七年级统考期末）数学典籍《九章算术》卷七中记载用“盈不足术”的思想解决以下问题：
题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？
答：七人，物价五十三．
术：置所出率，盈、不足各居其下，令维乘所出率，并以为实．并盈，不足为法，实为物价，法为人数．
“题”、“答”、“术”的意思大致如下：
问题：买一个物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则不足4钱．
则人数和物品价格分别为多少？
答案：共有七个人，物品价格是53钱．
解法：
将该问题一般化，购买一个物品若每人出钱为，剩余；若每人出钱，不足．根据以上算法，人数为
，物价为 ．（用含的式子表示）
19．（2023下·福建厦门·七年级统考期末）六一儿童节，某班级家委用650元购买了一些水笔和笔记本作为儿童节的礼物，这两种文具的单价分别为7元/支、5元/本．设购买了x支水笔和y本笔记本，根据以上信息，可列出方程： ．
20．（2023下·福建龙岩·七年级统考期末）对实数，规定表示中的较大值，表示中的较小值．如，．则方程组的解为 ．
三、解答题
21．（2022下·福建福州·七年级校考期末）解方程组：
(1)；
(2)．
22．（2023下·福建福州·七年级福建师大附中校考期末）解方程组
(1)
(2)．
23．（2023下·福建厦门·七年级统考期末）学期即将结束，为了表彰优秀，班主任王老师用元钱购买奖品，若以支钢笔和本笔记本为一份奖品，则可买份奖品；若以支钢笔和本笔记本为一份奖品，则可以买份奖品，设钢笔单价为元支，笔记本单价为元本．
(1)请用的代数式表示；
(2)当时，求：钢笔和笔记本价格各是多少？
(3)若王老师用元钱恰好能买份同样的奖品，可以选择支钢笔和本笔记本作为一份奖品（两种奖品都要有），请求出所有可能的，值．
24．（2023下·福建福州·七年级统考期末）国家实行一系列“三农”优惠政策后，使农民收入大幅度增加，也调动了农民生产积极性．某农业基地去年种植蔬菜和茶叶的总收入是万元，今年扩大了蔬菜和茶叶的种植面积，这样按照去年的平均每亩收入，预计今年蔬菜和茶叶的种植总收入将比去年增加万元，其中蔬菜的种植收入将增加，茶叶种植收入将增加．
(1)问该农业基地去年种植蔬菜和茶叶的收入各是多少万元？
(2)经测算茶叶平均每亩的收入要比蔬菜平均每亩的收入多万元，日常管理中，蔬菜平均每亩需人管理，茶叶平均每亩需人管理．若今年新增的管理蔬菜和茶叶的人数比为：，问该农业基地管理蔬菜和茶叶今年共需新增多少人？
25．（2023下·福建龙岩·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，点均在轴上，点在第一象限，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解．

(1)求点的坐标时，小明是这样想的：先设点坐标为，因为B点在直线上，所以是方程的解；又因为点在直线上，所以也是方程的解，从而满足．据此可求出点坐标为________，再求出点坐标为________，点坐标为________（均直接写出结果）．
(2)点在线段上，使，求点坐标；
(3)点是坐标平面内的动点，若满足，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据二元一次方程组的解及方程组解的定义判断即可得解．
【详解】解：已知关于x、y的方程组，
解得：，
①∵当，时，则，
解得不成立，∴①错误；
②∵当时，，代入，
得左边右边，∴②错误；
③∵当时，即，形为：无意义，
∵，③正确；
④∵，
∴当仅当时，取到最小值为19，④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的步骤是解题的关键．
2．C
【分析】由方程组判断出、所表示的实际意义，根据实际意义进行判断即可．
【详解】解：由题意得
由方程组可得：
表示每辆A型公交车的价格，表示每辆B型公交车的价格，
表示A型车比B型车每辆贵30万元，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解未知数的实际意义是解题的关键．
3．A
【分析】设有辆车，个人，根据每辆车都坐2人，则9人需要步行可得方程，根据每辆车都坐3人，则两辆车是空的可得方程，据此建立方程组即可．
【详解】解：设有辆车，个人，
由题意得，，
故选A．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
4．D
【分析】把选项中各对x、y的值代入方程，逐一验证，即可．
【详解】解：A、当时，，
不是的解，即本项不符合题意；
B、当时，，
不是的解，即本项不符合题意；
C、当时，，
是的解，即本项不符合题意；
D、当时，，
是的解，即本项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的解，要熟练掌握，采用代入法即可．
5．B
【分析】把看作已知数求出即可．
【详解】解：，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出．
6．C
【分析】根据解一元一次方程的方法逐个判断即可得到答案．
【详解】解：关于的方程的解应该分与两类进行求解，故①错误，
当， 时，关于的方程的解是，故②正确，
当时，方程有唯一的解，即，当是方程有无数解，故③正确，
当解与m无关时，即，即可得到，
解得：，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元一次方程，参数方程唯一解问题及二元一次方程组参数无关型问题，解题的关键是根据题意得到相关等式．
7．B
【分析】根据人数及馒头数量列方程组即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
故选B；
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系式．
8．C
【分析】设上等禾每捆结出斗粮食，下等每捆结出斗粮食，根据捆上等禾结出的粮食，减去斗上等禾，再加上捆下等禾结出的粮食，共斗；捆下等禾结出的粮食，加上斗下等禾，再加上捆上等禾结出的粮食，共斗，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设上等禾每捆结出斗粮食，下等每捆结出斗粮食，
根据题意可得，
整理得，
故选：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意找到到题中的等量关系列出方程组，是解答本题的关键．
9．B
【分析】根据题目要求，求出②①即可.
【详解】解：∵二元一次方程组为，
则②①得，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的相关知识点，利用加减消元的思想求解即可.
10．D
【分析】首先根据题意可得等量关系：①大；②，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设和的度数分别为x、y，
依题意可列方程组：，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
11．D
【分析】根据“每人出8钱，则多了3钱；若每人出7钱，则少了4钱”列出方程组即可．
【详解】根据题意，可列方程组：，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．
12．D
【分析】把代入方程可得，从而可得答案．
【详解】解：∵是方程的一组解，
∴，
∴，
故选D
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解的含义，求解代数式的值，理解方程的解的含义是解本题的关键．
13．
【分析】直接利用两个方程相加即可求出结果．
【详解】解：
①②得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查加减消元法解一元二次方程，掌握加减消元法是解题的关键．
14．
【分析】把x看作已知数求出y即可．
【详解】解：已知二元一次方程，
则，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了解二元一次方程，解题的关键是把x看作已知数求出y．
15．
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出k的值．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程注意两边相等的未知数的值．
16．
【分析】首先把关于，的方程组整理为，再根据关于，的二元一次方程组解为，对比后解方程即可．
【详解】解：方程组整理为，
∵关于，的二元一次方程组解为，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法，其中方程的转化是解题关键．
17．
【分析】已知两式相减就将系数都化为2，两边除以2即可得出结果．
【详解】解：
得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是将系数化为相同，便于整体计算．
18．
【分析】根据题材所给计算方法进行计算即可．
【详解】解：∵如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则不足4钱，由得共有七个人，物品价格是53钱，
∴计算过程为两次出钱数作为第一行，剩余数与不足数作为第二行列出算式，再将算式维乘，左上对角相乘得左上，右上对角相乘得右上，下不变得第二个算式，再将上下合并即可．
∴，
∴人数为，物价为，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组之古代问题，根据题材总结出计算方法是解题的关键．
19．
【分析】根据单价×数量=费用，费用+费用=总费用，列出方程即可．
【详解】∵设购买了x支水笔和y本笔记本
根据题意，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，准确找出等量关系是解题的关键．
20．或
【分析】分类讨论与的大小，利用题中的新定义化简，求出解即可．
【详解】解：根据题意得：
当，即时，
，
解得：，
当，即时，
，
解得：，
综上所述：方程组的解为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，实数大小比较，以及新定义下的实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）将原方程整理得，再利用加减消元法进行计算即可；
（2）将原方程整理得，再利用加减消元法进行计算即可．
【详解】（1）解：将原方程整理得：，
由得：，
将代入①得：，
解得：，
原方程组的解为；
（2）解：将原方程整理得：，
由得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
原方程组的解为．
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，准确进行计算是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用加减消元法①②得的值，把的值再代入①可得的值；
（2）先将原式进行整理，然后①②得的值，把的值再代入①可得的值．
【详解】（1），
①②得，解得，
把的值代入①得，解得，
方程组的解是．
（2），
方程组整理得，
①②得，解得，
把代入①得，解得，
方程组的解是．
【点睛】此题主要是考查了二元一次方程组的解法，能够熟练运用加减消元法求解是关键．
23．(1)
(2)钢笔单价为元支，笔记本单价为元本
(3)，，
【分析】本题中的相等关系是“以支钢笔和本笔记本为一份奖品，则可买份奖品”和“以支钢笔和本笔记本为一份奖品，则可以买份奖品”，列方程组求解即可；
由题意列方程组解答即可．
设可以选择支钢笔和本笔记本作为一份奖品．列方程，解出后分情况讨论．
【详解】（1）解：由题意得：，
化简得：，
．
（2）解：由题意得，
解得，
答：钢笔单价为元支，笔记本单价为元本．
（3）解：由题意得：，把代入得：，
解得此方程的正整数解为，，．
【点睛】此题考查的是二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．
24．(1)该农业基地去年种植蔬菜的收入为万元，种植茶叶的收入为万元；
(2)该农业基地管理蔬菜和茶叶今年共需新增人．
【分析】（1）设该农业基地去年种植蔬菜的收入为x万元，种植茶叶的收入为y万元，根据去年种植蔬菜和茶叶的总收入是万元结合今年总收入将比去年增加万元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该农业基地去年种植茶叶m亩，每亩的收入为n万元，根据蔬菜与茶叶所需人手之间的关系结合茶叶平均每亩的收入要比蔬菜平均每亩的收入多万元，即可得出该农业基地去年种植蔬菜亩，每亩的收入为万元，根据（1）的结论，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出m值，再求出新增茶叶种植面积及新增的管理茶叶的人数，用其乘即可得出结论．
【详解】（1）解：设该农业基地去年种植蔬菜的收入为x万元，种植茶叶的收入为y万元，
根据题意得：，解得：．
答：该农业基地去年种植蔬菜的收入为万元，种植茶叶的收入为万元；
（2）解：设该农业基地去年种植茶叶m亩，每亩的收入为n万元，则该农业基地去年种植蔬菜亩，每亩的收入为万元，
根据题意得：，解得：，
∴．
答：该农业基地管理蔬菜和茶叶今年共需新增人．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准数量关系，列出二元一次方程组；（2）根据管理人员之间的比例关系找出去年种植蔬菜的面积是种植茶叶面积的倍．
25．(1)，，
(2)
(3)，且
【分析】（1）解方程组可以求出点的坐标，再令，解方程即可求出的坐标；
（2）先求出，再由可得，由可得，代入，进行求解即可；
（3）设直线与直线交于点，过点作于点，交直线于点，由可得，得出，令，得出，求解即可得到答案．
【详解】（1）解：满足，
解得：，
，
点在轴上，又在直线上，
令时，，
，
，
同理，令，
，
，
故答案为：，，；
（2）解：∵，，，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
代入得，
，
∴，
∴；
（3）解：设直线与直线交于点，过点作于点，交直线于点，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
令，
∵，，，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∵，
∴，且．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了二元一次方程组的解法，坐标与图形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．
答案第1页，共2页
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