福建省2023-2024学年上学期八年级 第14章整式的乘法与因式分解单元培优专题练习（含解析）

第14章 整式的乘法与因式分解-福建省2023-2024学年上学期八年级数学单元培优专题练习（人教版）
一、单选题
1．（2023上·福建泉州·八年级统考期末）计算的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·福建泉州·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·福建厦门·八年级统考期末）如图，在中， ，，， 点D在的边上，，以为直角边在同侧作等腰直角三角形， 使， 连接， 若 则下列关系式正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
4．（2023上·福建厦门·八年级统考期末）下列计算正确的是( )
A． B． C． D．
5．（2022上·福建厦门·八年级统考期末）下列计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022上·福建福州·八年级校考期末）下列各式的运算或变形中，用到交换律的是（ ）
A． B．
C．由得 D．
7．（2022上·福建泉州·八年级统考期末）已知：、、满足，，，则以、、为边长的三角形是个（ ）三角形
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
8．（2023上·福建厦门·八年级统考期末）要使多项式能运用平方差公式进行分解因式，整式可以是（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2021上·福建泉州·八年级统考期末）已知：、、满足，则以、、为边长的三角形是个（ ）三角形
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
10．（2023上·福建厦门·八年级校考期末）单项式与的公因式是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·福建厦门·八年级校考期末）下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022上·福建福州·八年级校考期末）运用乘法公式计算，则公式中的2ab是( )
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2023上·福建泉州·八年级统考期末）计算： ．
14．（2023上·福建厦门·八年级统考期末）边长分别为和的两个正方形按如图的样式摆放，记图中阴影部分的面积为，没有阴影部分的面积为，则 ．
15．（2023上·福建厦门·八年级厦门双十中学校考期末）已知，，则的值是 ．
16．（2023上·福建厦门·八年级厦门双十中学校考期末）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
分解因式：
（5） ；
（6） ．
17．（2023上·福建福州·八年级校考期末）若，则x的值为 ．
18．（2023上·福建泉州·八年级统考期中）若，则 ．
19．（2022上·福建·八年级统考期末）若，，则 ．
20．（2022上·福建厦门·八年级统考期末）计算：（1） ；（2） ．
三、解答题
21．（2023上·福建泉州·八年级统考期末）综合与实践
【问题提出】
对于任意实数a，b，定义一种新运算，例如：．
【初步感知】
（1）_______；
【深度探究】
（2）我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算是否也满足交换律？请说明理由；
【拓展运用】
（3）若实数a，b满足，求的最小值．
22．（2023上·福建厦门·八年级统考期末）已知为关于的多项式，若，并且满足下表各组所含的规律，则称是关于的“等因式”.
组别
第一组
第二组
第三组
第四组
(1)探究上表各组中与的共同特征(写出探究过程)；
(2)若，请求出关于的“等因式”；
(3)已知，，若是关于的“等因式”, 求的值．
23．（2023上·福建泉州·八年级校联考期末）阅读“若满足，求的值”．
设，，
则，，
．
（1）理解
①若满足，则的值为______；
②若满足，试求的值；
（2）应用
如图，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，求四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值）
24．（2023上·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）阅读与思考：
分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”： 例2：“三一分组”：
；
解：原式 解：原式

． ．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
(1)①填空：
解：原式
＝____________
②因式分解：；
(2)已知，且，求的值．
25．（2023上·福建厦门·八年级校考期末）在多项式乘法的学习中，等式可以用平面图形的面积来说明．为进一步探索部分平面图形的面积与等式的关系，在某次数学活动中，准备了图1所示的三种规格的正方形、长方形卡片若干张．小明从中选取6张，拼出一个如图2所示的长方形，计算它的面积后写出相应的等式：．

(1)若从图1的三种卡片中任选两种不同规格的卡片各1张，使其能拼成一个长方形，请画出所拼的图形，并写出与其面积相应的等式；
(2)如图3，在原有卡片规格基础上再增加若干张不同规格的卡片拼成一个边长为的正方形，请你写出与其面积相应的等式；
(3)请利用（2）中得到的等式解答以下问题：若实数满足，，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．
【详解】解；
，
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，合并同类项等计算，以及完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解；A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B，
3．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形面积，证明是解题的关键．过点E作于F，证明，由全等三角形的性质得出，根据可得出答案．
【详解】解：过点E作于点F，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
整理得：，
∴，
∵，
∴，即；
故选A
4．B
【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法及幂的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据同底数幂的乘除法及幂的乘方可进行求解．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、，计算正确，故符合题意；
C、，原计算错误，故不符合题意；
D、，原计算错误，故不符合题意；
故选B．
5．B
【分析】根据合并同类项运算法则，幂的运算法则逐个进行判断即可．
【详解】解：A、和不是同类项，不能合并；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的运算法则，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；合并同类项，字母和相同字母指数不变，只把系数相加减．
6．C
【分析】分别对各选项进行分析即可．
【详解】解：A、利用了同底数幂的乘法运算法则，不符合题意；
B、利用了积的乘方运算法则，不符合题意；
C、利用了交换律，符合题意；
D、利用了同类项合并法则，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题涉及了各项运算中的法则和定律．熟记相关法则和定律即可．
7．D
【分析】根据，，，求出、、的值即可做出判断．
【详解】解：∵，，，
∴
即
∴
∴
∴
∴以、、为边长的三角形是个等腰三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查配方法及非负式和为零成立的条件，熟记等腰三角形定义是解决问题的关键．
8．D
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】解：A.是完全平方公式因式分解，不合题意；
B.不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
C.，不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，能用平方差公式因式分解，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
9．B
【分析】根据，求出、、的值即可做出判断．
【详解】解：，
，
，即，
根据非负式和为零成立的条件即可得到，
、、为三角形的边长，
，
三角形是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查配方法及非负式和为零成立的条件，熟记等腰三角形定义是解决问题的关键．
10．A
【分析】根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可．
【详解】解：单项式与单项式的公因式是．
故选：A．
【点睛】此题考查公因式，掌握由几个单项式的各系数最大公约数与各相同字母最小次幂的乘积，组成的式子叫这几个单项式的公因式是解决此题的关键．
11．B
【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方以及整式的乘除运算法则进行判断即可．
【详解】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意；
B、，故此选项计算正确，符合题意；
C、，故此选项计算错误，不符合题意；
D、，故此选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的相关运算以及整式的乘除运算法则，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
12．D
【分析】运用完全平方公式计算，然后和对比即可解答．
【详解】解：，
对比，可得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，理解完全平方公式的特征成为解答本题的关键．
13．/
【分析】本题考查了多项式除以单项式．根据多项式除以单项式进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了多项式乘以多项式、整式的加减的应用，分别表示出、，从而即可得出，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图可得：
，
，
，
故选：．
15．
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子因式分解为，再代值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
故答案为：．
16． / /
【分析】（1）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可；
（2）根据多项式除以单项式的计算法则求解即可；
（3）根据积的乘方计算法则求解即可；
（4）先把原式变形为，进一步变形得到，据此计算求解即可；
（5）利用平方差公式分解因式即可；
（6）利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3），
故答案为：；
（4）
，
故答案为：；
（5），
故答案为：；
（6），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，多项式除以单项式，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，分解因式，熟知相关计算法则是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了主要考查了幂的乘方．利用幂的乘方化简，再得到，解方程即可求解．
【详解】解；∵，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
18．12
【分析】本题考查了多项式乘多项式法则．先根据多项式乘多项式法则得：，再求出的值求积即可．本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
19．
【分析】直接运用同底数幂相乘，底数不变，指数相加法则的逆用，进行作答即可．
【详解】解：因为，，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘的逆用，难度较小，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加法则的逆用是解题的关键．
20．
【分析】根据同底数幂的乘法、除法运算法则即可求解．
【详解】解：
故答案为：；
【点睛】本题考查同底数幂的乘除运算．掌握相关法则即可．
21．（1）17；（2）实数a，b的这种新运算满足交换律；（3）的最小值为9．
【分析】此题主要考查了利用代入法求代数式的值，配方法的应用．还用到了乘法交换律和加法结合律证明公式的性质．
（1）运用运算公式，计算即可；
（2）是否满足关键是利用公式计算一下和的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等；
（3）由，得到，对进行运算得到，据此求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
故答案为：17；
（2）∵，
，
∴，
∴实数a，b的这种新运算满足交换律；
（3）∵，
∴，
∵
，
∵，
∴有最小值，最小值为9．
22．(1)所得结果的二次项系数的差为，一次项系数的差为，常数项的差为
(2)
(3)当时，，当时，
【分析】本题主要考查了整式的加减的应用，熟练掌握运算法则，得出题目中的规律是解此题的关键．
（1）由表格中的式子分析即可得出答案；
（2），从而可得的二次项系数为：，一次项系数为，常数项为，即可得出答案；
（3）由题意得出，从而可得，，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：由表格可得：
当，时，，，，
当，时，，，，
上表各组中与的共同特征为：所得结果的二次项系数的差为，一次项系数的差为，常数项的差为；
（2）解：，
由（1）可得：所得结果的二次项系数的差为，一次项系数的差为，常数项的差为，
的二次项系数为：，一次项系数为，常数项为，
；
（3）解：，
是关于的“等因式”
，
，
，，
解得：或，
当时，，当时，．
23．（1）①25；②23；（2）．
【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）①②可根据完全平方公式即可计算；
（2）由条件表示出正方形的边长，由完全平方公式即可求解．
【详解】解：（1）①令，，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：25．
②，
，
令，，
，，
，
，
；
（2），，
，，
，
长方形的面积是200，
，
，
令，，
，，
，
，
四边形的面积．
24．(1)①，，，②；
(2)
【分析】（1）根据题意的分组分解法直接分组，再提取公因式或利用公式法因式分解即可得到答案；
（2）将两多项式相减得到a，b，c的关系，代入等式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
解：①原式
；
②原式
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴，
∴；
【点睛】本题考查利用公式法，提取公因式法结合分组分解法因式分解，解题的关键是读懂题意的分组分解法，合理分组．
25．(1)图见解析，①，②
(2)
(3)2
【分析】（1）用一个正方形与一个长方形拼图即可；
（2）根据正方形与长方形的面积公式即可得出结论；
（3）由得，从而得，根据（2）的结论即可得出，把已知整体代入即可求解．
【详解】（1）解：如图，

①
②
（2）解：
（3）解：∵
∴
∴
∴
∴
由（2）知：
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查完全平方的几何意义及应用，运用数形结合思想是解题的关键．
答案第1页，共2页
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