第17章勾股定理-福建省2023-2024学年下学期八年级数学单元培优专题练习（人教版）（含解析）

第17章勾股定理-福建省2023-2024学年下学期八年级数学单元培优专题练习（人教版）
一、单选题
1．（2023下·福建莆田·八年级统考期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．1，1，1 B．2，3，4 C．3，4，5 D．3，4，6
2．（2023下·福建福州·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，对角线，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接恰好垂直于边，若，则的长是（　　）

A．6 B．8 C．1 D．1
3．（2023下·福建福州·八年级统考期末）下列各组线段中，不能够组成直角三角形的是（　　）
A．3 B．6 C．5 D．
4．（2022下·福建福州·八年级统考期末）由下列线段为边组成的三角形是直角三角形的是（　　）
A．，， B．，， C．13，14，15 D．30，40，50
5．（2022下·福建福州·八年级校考期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )
A．，， B．，， C．，， D．，，
6．（2023下·福建厦门·八年级厦门市华侨中学校考期末）在平面直角坐标系中，若点，则线段的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023下·福建龙岩·八年级统考期末）如图，在中，平分，交于点，若，则的长为（ ）

A． B． C． D．
8．（2023下·福建龙岩·八年级统考期末）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023下·福建厦门·八年级厦门大学附属科技中学校考期末）如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以为边能构成一个直角三角形，则点F的位置有（　　）

A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
10．（2023下·福建龙岩·八年级统考期末）边长为的等边三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023下·福建龙岩·八年级统考期末）已知是的三边，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023下·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，在中，D是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点E，连接，若，，则C到的距离为（　　）

A． B． C． D．
13．（2023下·福建南平·八年级统考期末）如图，数轴上点A表示的数是2，，且，以O为圆心，长为半径画弧交数轴的正半轴于点P，则点P表示的数是（ ）

A． B．2.5 C． D．
二、填空题
14．（2023下·福建福州·八年级统考期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A的面积是的面积是的面积是，则的面积为 ．

15．（2023下·福建福州·八年级校考期末）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则这个三角形的周长是 ．
16．（2023下·福建福州·八年级统考期末）如图，平分，于点，点在射线上，且．若，，，则的长为 ．

17．（2023下·福建厦门·八年级厦门双十中学校考期末）在平面直角坐标系中，点，连接，若点D是的中点，连接，则的长为 ．
18．（2023下·福建厦门·八年级厦门大学附属科技中学校考期末）被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，，斜边长为c．将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形．若该图形的周长为48，，则该图形的面积 ．

19．（2023下·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，中，为斜边中点，为斜边上的高，若，，则的面积是 ．

20．（2023下·福建福州·八年级统考期末）如图，一个圆桶底面直径为，高，则桶内所能容下的最长木棒为 ．

21．（2023下·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，则小正方形的面积为 ．

三、解答题
22．（2023下·福建莆田·八年级统考期末）（1）如图1，在中， ，线段的垂直平分线交于点D．交于点E．若，，求的长；
（2）如图2，点C是上一定点，请在上作一点D，使得 (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
23．（2020下·福建厦门·八年级厦门一中校考期末）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．

24．（2023下·福建福州·八年级统考期末）如图所示，中，

(1)若，求的度数；
(2)若，求边上的高．
25．（2023下·福建宁德·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，点，点从点出发，沿轴的正半轴运动，过点作轴的垂线，是垂线在第一象限内的一动点，且．
(1)如图，当点与点重合时，求的长；

(2)如图，若点在线段上，当时，求点的坐标；

(3)如图，若点在线段的延长线上，的垂直平分线交轴于点，并且恰好经过点，求此时的面积．

26．（2023下·福建宁德·八年级校考期末）已知，点在射线上，且，点在射线上；设．
(1)若是直角三角形且是斜边时，求的值；
(2)若是等腰三角形时，求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】本题考查勾股定理逆定理；根据勾股定理的逆定理逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. 1，1，1；
∵，，
∴，不能组成直角三角形；本选项不合题意；
B. 2，3，4；
∵，，
∴，不能组成直角三角形；本选项不合题意；
C. 3，4，5；
∵，，
∴，能组成直角三角形；本选项符合题意；
D.3，4，6；
∵，，
∴，不能组成直角三角形；本选项不合题意；
故选：C．
2．B
【分析】先根据线段的垂直平分线的性质求出，再根据勾股定理求解．
【详解】解：由作图得：垂直平分，
∴，
∴.
∵，
∴.
故选：B．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法．
3．D
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：、，
，
能够组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、，
，
能够组成直角三角形，
故B不符合题意；
C、，
，
能够组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵，
∴．
不能够组成直角三角形，
故D符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．D
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形．
【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意；
B、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意；
C、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意；
D、，能组成直角三角形，故选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
5．C
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、，能构成三角形，符合题意；
D、，不能构成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
6．B
【分析】结合点，由勾股定理可得，易知当时，有最小值，即可获得答案．
【详解】解：∵点，
∴
，
∴当时，EF有最小值．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、运用完全平方公式进行运算、二次根式的性质与化简等知识，利用勾股定理及完全平方公式求得是解题关键．
7．C
【分析】过点D作于点H，根据角平分线的性质得出，设，根据勾股定理得，证明，得出，求出，根据勾股定理得出，求出，得出．
【详解】解：过点D作于点H，如图所示：

平分，
，
设，
在中，，
，
，，
，
，
∴，
在中，则有，
解得：，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．
8．D
【分析】利用勾股定理的逆定理依次判断即可，求出两条短边的平方和等于最长边的平方．
【详解】解：A、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
9．B
【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理，如果满足，则，即为直角三角形，解出的长满足，进而得出点F的位置．
【详解】解：由题意可得，．
∵以为边能构成一个直角三角形，且
∴，
即，
解得，
∴F点的位置如图所示，共2处．

故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．
10．B
【分析】如图所示，是边长为的等边三角形，过点作于点，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理可求出的长度，根据三角形的面积计算方法即可求解．
【详解】解：如图所示，是边长为的等边三角形，过点作于点，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，几何图形的面积计算方法，掌握以上知识的运用是解题的关键．
11．B
【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】解：、，则，能判定直角三角形，不符合题意；
、，
∵，
∴，不能判定直角三角形，符合题意；
、，则设，
∴，能判定直角三角形，不符合题意；
、，能判定直角三角形，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查直角三角形的定义，勾股定理的逆定理判定直角三角形的综合，掌握以上知识的运用是解题的关键．
12．B
【分析】连接，交于点M，由翻折知，，垂直平分，证为等边三角形，利用含30度的直角三角形性质及勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，交于点M，

∵，D是边上的中点，
∴，
由翻折知，，垂直平分，
∴，，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，
，，
∴，
，
∴C到的距离为，
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
13．D
【分析】直接根据勾股定理，结合数轴即可得出结论．
【详解】解：∵在中，，
∴．
∵以O为圆心，以为半径画弧，交数轴的正半轴于点P，
∴，
∴点P表示的实数是．
故选：D．
【点睛】本题考查的是实数与数轴以及复杂作图，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
14．
【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，由此即可解决问题．
【详解】解：如图记图中三个正方形分别为、、．

根据勾股定理得到：A与的面积的和是的面积；与的面积的和是的面积；而的面积的和是的面积．
即A、、、的面积之和为的面积．
的面积是，
、、、的面积之和为，设正方形的面积为，
，
故答案为：
【点睛】此题考查了勾股定理，正方形的面积，得出正方形的面积和即是最大正方形的面积是解题的关键．
15．或
【分析】根据直角三角形三边的特征，斜边比直角边长可知，分两种情况讨论，利用勾股定理求出第三边后再求周长即可得到答案．
【详解】解：一个直角三角形的两边长分别为3和4，
分两种情况：①3和4均为直角边；②3为直角边和4为斜边，
当3和4均为直角边时，利用勾股定理可得第三边为，则这个三角形的周长是；
当3为直角边和4为斜边时，利用勾股定理可得第三边为，则这个三角形的周长是；
综上所述，这个三角形的周长是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，根据题中所给条件分类讨论是解决问题的关键．
16．6
【分析】根据角平分线的性质作，根据勾股定理结合全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：过点作于点，则，

平分，，，
，
，
，
又，
根据勾股定理，得，
，
，
在和中，
，
≌，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等．作是解题关键．
17．
【分析】先求得的中点D的坐标，再利用两点之间的距离公式求解即可．
【详解】解：∵，点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平面直角坐标系上点的特征及两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握两点之间的距离公式．
18．96
【分析】设，则，根据勾股定理得，代入数值得，求出x即可解决问题．
【详解】解：由题意得，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴
∴该图形的面积为，
故答案为：96．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用整体思想及方程思想是解题的关键．
19．
【分析】根据在中，利用勾股定理得到，再由三角形面积公式代值求解即可得到答案．
【详解】解：在中，，，，则，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理及求直角三角形面积，数形结合，准确利用勾股定理求出高是解决问题的关键．
20．
【分析】根据题意画出示意图，再根据勾股定理求解，即可．
【详解】解：如图，为圆桶底面直径，为圆桶的高，
∵，，
∴，
∴桶内所能容下的最长木棒为：．
故答案为：．

【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，灵活运用勾股定理．
21．4
【分析】根据勾股定理求得直角三角形较长的直角边，两直角边的长的差即为小正方形的边长，从而可得答案．
【详解】解：∵直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，
∴较长直角边长为，
∴小正方形的边长为，面积为．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
22．（1）；（2）见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，掌握类比思想是解决第二问的关键．
（1）由题意可得，设，根据即可求解；（2）作，再作的垂直平分线即可．
【详解】解：（1）∵垂直平分线，
∴
设
∵，
∴
∵，
∴
解得：
∴
（2）如图所示，点D即为所求：
23．
【分析】连接，先根据勾股定理求出，从而由勾股定理的逆定理判断，然后分别求出和的面积即可求解．
【详解】解：如图，连接，

在中，，，
，
又，，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，添加合适的辅助线是解题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】（1）设，则，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：设，则，
由题意得：，
解得：，
；
（2），
，
是直角三角形，即，
设边上的高为，
，
边上的高．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意推出四边形是矩形，进而得出，，，根据勾股定理求解即可；
（2）证明，根据全等三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案；
（3）连接、，作于，根据线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，经过三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，

，，
，，
点与点重合，，
，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
；
（2）解：，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
点的坐标为；
（3）解：如图，连接、，作于，

设坐标为，根据，得到，
垂直平分，
，
即，
，
解得：，舍去，
，
设坐标为，
垂直平分，
，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，即，
∴点C和点Q重合，图形修正如下：

，
则．
【点睛】本题是三角形综合题，考查的是非负数的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
26．(1)
(2)或或
【分析】（1）根据题意，当时，求出，再根据勾股定理可得出答案；
（2）分三种情况画出图形，利用含度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：是直角三角形且是斜边时，即当时，
，，
，
；
的值为；
（2）解：当是等腰三角形时，分三种情况讨论：
如图，当时，
过点作于点，
，
，
，
，
，
；
；
如图，当时，；
如图，当时，过点作于点，
，
，，
，
，
，
．
综上所述：的值为或或．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查等腰三角形的判定与性质、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
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