第19章一次函数-福建省2023-2024学年下学期八年级数学单元培优专题练习（人教版）（含解析）

第19章一次函数-福建省2023-2024学年下学期八年级数学单元培优专题练习（人教版）
一、单选题
1．（2023下·福建莆田·八年级统考期末）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是( )
A．若， 则 B．若， 则
C．若， 则 D．若， 则
2．（2023下·福建厦门·八年级统考期末）下列各点中，在直线上的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·福建泉州·八年级校联考期末）一次函数，若，则，下列各点可能在一次函数的图象上的是( )
A． B． C． D．
4．（2022下·福建泉州·八年级校考期末）已知一次函数的图解经过点A，且随的增大而增大，则点A的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022下·福建泉州·八年级校考期末）函数自变量的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2022下·福建泉州·八年级校考期末）如图，直线分别与轴交于点，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：；直线的解析式为；点；若线段上存在一点，使得以点为顶点的四边形为菱形，则点的坐标是．正确的结论是（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
7．（2023下·福建福州·八年级统考期末）如图，正方形的边长为，点和点在轴正半轴上，点、在第一象限，一次函数的图象交、分别于、．若与的面积比为，则的值为（　　）

A． B． C． D．
8．（2023下·福建福州·八年级统考期末）一次函数不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2022下·福建福州·八年级统考期末）一次函数（，是常数，）的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）．

A． B． C． D．
10．（2023下·福建福州·八年级统考期末）已知函数的图象如图所示，函数的图象大致是（　　）

A． B． C． D．
11．（2022下·福建福州·八年级校考期末）如图，函数和的图象相交于，则不等式的解集为（ ）

A． B． C． D．
12．（2023下·福建福州·八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
13．（2023下·福建莆田·八年级统考期末）如图，与图中直线关于y轴对称的直线的函数表达式是 ．
14．（2023下·福建福州·八年级统考期末）若直线经过，则 ．
15．（2023下·福建宁德·八年级校考期末）如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，，则不等式的解为 ．

16．（2022下·福建福州·八年级统考期末）甲、乙二人从学校出发去冰心文学馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（m）与甲出发时间t（）之间的函数关系如图所示，下列说法：①甲先到达冰心文学馆；②乙的速度是甲速度的3倍；③；④其中，正确的是 （填序号）．

17．（2023下·福建福州·八年级校考期末）如图1，正方形的边长为，为边上一点，连接，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点．图2是的面积（单位：）随时间（单位：）的变化而变化的图象，其中，则的值是 ．

18．（2023下·福建福州·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，若点，在一次函数（为常数）的图象上，则 （填“”或“”）．
19．（2023下·福建莆田·八年级校考期末）如图，有一种动画程序，在平面直角坐标系屏幕上，直角三角形是黑色区域（含直角三角形边界），其中，，，用信号枪沿直线发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围是 ．

20．（2023下·福建龙岩·八年级统考期末）如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则关于x的不等式的解集是 ．

三、解答题
21．（2022下·福建泉州·八年级校考期末）如图1.在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括），作，交的平分线于点．

(1)①直接写出点的坐标___________；
②求证：；
(2)如图2，若，在上找一点，使四边形是平行四边形，求直线的解析式；
(3)如图，连接交于，连接，下列两个结论：①的长为定值；②平分，其中只有一个正确，选择并证明．
22．（2023上·福建厦门·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点．规定：如果有一个顶点在直线上，另外两个顶点在直线的异侧，则称为直线的“泛对称三角形”．

(1)点在直线上，直接写出的数量关系；
(2)若是以为底边的等腰三角形，且点的纵坐标为3，判断是否为直线的“泛对称三角形”？并说明理由；
(3)若为直线在第一象限内的“泛对称三角形”，，，是否始终存在关于直线轴对称的情形？若存在，求和的值或数量关系；若不存在，请说明理由．
23．（2022下·福建福州·八年级统考期末）某服装专卖店计划购进甲．乙两种新服装共件，其进价与售价如表所示：
价格 类型 进价（元/件） 售价（元/件）
甲
乙
(1)若甲的数量为x件，这批服装的利润为w元，写出w关于x函数关系式．
(2)若乙的数量不能超过甲的数量的2倍，试问：应怎么样进货才能使专卖店在销售完这批服装时获利最多？并求出最大利润．
24．（2023下·福建福州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，以为边在第二象限内作正方形．

(1)求正方形的面积；
(2)求点和点的坐标；
(3)在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2023下·福建福州·八年级统考期末）某药店计划购进、两种口罩共个，且购进种口罩的进货量不多于个，购进种口罩的进货量不超过种口罩的进货量的四倍若种口罩每个进价元，售价元，种口罩每个进价元，售价元，设购进种口罩个，售完、两种口罩获利元．
(1)求与的函数关系式，并写出的取值范围；
(2)如何购货才能获利最大？最大利润是多少元？
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．D
【分析】根据题意可得，，进而根据选项逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵，，为直线上的三个点，
∴，
∵，，
∴
A. 若， 则，即同号，当时，，当时，，故该选项不正确，不符合题意；
B. 若， 则异号，同理可得或
C. 若， 则同号，同理可得或
D. 若， 则异号，只能是，则，
∴，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查一次函数上点的坐标，将点坐标代入一次函数求解即可，掌握一次函数图形的点坐标的计算方法是解题的关键．
【详解】解：、当时，，故不在直线上，不符合题意；
、当时，，故在直线上，符合题意；
、当时，，故不在直线上，不符合题意；
、当时，，故不在直线上，不符合题意；
故选：．
3．A
【分析】首先根据不等式及其解集得到一次函数大致的图象，然后根据图象即可判断结果．
【详解】解：根据不等式，则可得一次函数的图象大致为：

点在直线的上方，点在直线的下方，点在直线的下方，
可能在一次函数图象上的是．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式得到一次函数的图象是本题的关键．
4．C
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：根据题意，得，
A、将点代入，
得，
解得，
故本选项不符合题意；
B、将代入，
得，
解得，
故本选项不符合题意；
C、将点代入，
得，
解得，
故本选项符合题意；
D、将点代入，
得，
解得，
故本选项不符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握知识点是解题的关键．
5．A
【分析】求函数自变量的取值范围就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不能为0，依此进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：
，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不能为0．
6．B
【分析】先求出点，点坐标，由勾股定理可求的长，可判断；由折叠的性质可得， ，，由勾股定理可求的长，可得点坐标，利用待定系数法可求解析式，可判断；由面积公式可求的长，代入解析式可求点坐标，可判断；由菱形的性质可得，可得点纵坐标为可判断，即可求解．
【详解】∵直线分别与、 轴交于点、 ，
∴点，点，
∴，，
∴，故正确；
∵线段沿翻折，点落在边上的点处，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴点，
设直线解析式为: ,
∴
∴，
∴直线解析式为: ，故正确；
如图，过点作于，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴当时， ，
∴，
∴点，故正确；
∵线段上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，且，
∴，
∴点纵坐标为，故错误；
综上可知正确，
故选：．
【点睛】此题考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理和菱形的性质等知识，灵活运用以上知识是解题的关键．
7．C
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点的坐标，结合正方形的性质，可得出点的坐标，进而可得出的长，由与的面积比为，可得出，结合点的坐标，可得出点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出的值．
【详解】解：当时，，
点的坐标为．
正方形的边长为，点和点在轴正半轴上，
点的坐标为，点的坐标为．
点的坐标为，
，
与的面积比为，，
，
点为线段的中点，
点的坐标为．
又点在一次函数的图象上，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、三角形的面积以及正方形的性质，根据两三角形面积间的关系，求出点的坐标是解题的关键．
8．A
【分析】根据一次函数的性质得出即可．
【详解】解：中，
一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“的图象二、三、四象限”是解题的关键．
9．B
【分析】从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集．
【详解】解：函数的图象经过点，并且函数值y随x的增大而增大，
所以当时，函数值大于0，
即关于x的不等式的解集是．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的整体．
10．C
【分析】根据一次函数的图象可知，然后根据一次函数是性质即可判断．
【详解】解：由一次函数的图象可知，
一次函数的图象经过一、二、四象限，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的图象，解题的关键是通过图像知道和的取值范围以及熟知一次函数的图像性质．
11．C
【分析】先求出点的坐标，再根据图象求解．
【详解】解：当时，，
解得：，
，
由图象得：不等式的解集为：，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数与一次不等式，理解数形结合思想是解题的关键．
12．B
【分析】根据一次函数与的图象位置，可得，，，，然后逐一判断即可解答．
【详解】一次函数的图象过一、二、四象限，
，，
一次函数的图象过二、三、四象限，
，，
、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质，属于中考常考题型．
13．/
【分析】本题考查了求一次函数的解析式，若两函数图象关于y轴对称，则两函数图象上的对应点也关于y轴对称，据此即可求解．
【详解】解：由图象可知：直线过点，
设与图中直线关于y轴对称的直线的函数表达式是：，
则直线过点，
∴，
解得：，
∴
故答案为：
14．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
【详解】解：直线经过，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．
15．
【分析】从图象上知，直线的函数值随的增大而增大，与轴的交点为，即当时，，所以当时，函数值．
【详解】解：直线与轴的交点为，
即当时，，
由于函数值随的增大而增大，
当时，函数值，
不等式的解集是，
故答案为．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
16．②③/③②
【分析】明确每个节点代表了两个人什么样的运动状态，根据已知点的坐标分别求出两人的速度，利用路程＝速度×时间公式判断正误．
【详解】解：如图，由图可知：
O～A：甲先出发，乙未出发，A点时乙开始出发；
A～B：乙追甲并在B点相遇；
B～C：乙在甲前面，C点时乙到达冰心文学馆；
C～D：甲一个人在路上，D点时到达冰心文学馆．
∴乙先到达冰心文学馆，
①错误．
，
相遇时，
∴，
∵，
∴乙的速度是甲速度的3倍，
②正确．
，
，
∴，
③正确．
全长，
，
∴，
④错误．
故答案为：②③．

【点睛】本题以函数图象为背景考查了函数的实际运用，考查学生在函数图象中数形结合的能力，本题难度适中，常为考试题出现，解决此类问题的关键是明确每个节点代表的实际意义，利用已知点和路程公式判断结论是否正确．
17．12
【分析】由图象得：当时，的面积为，此时点与点重合，由三角形面积公式求得，从而得到，由勾股定理得出，再求出的长，从而即可得到答案．
【详解】解：由图象得：当时，的面积为，此时点与点重合，
，
，
，
，
，
，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，勾股定理，理解图中的点的实际意义是解本题的关键．
18．
【分析】由得出随的增大而增大，再结合，即可得出，得到答案．
【详解】解：一次函数中，，
随的增大而增大，
点，在一次函数（为常数）的图象上，且，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数（为常数，）是一条直线，当时， 随的增大而增大，当时， 随的增大而减小，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
19．
【分析】根据直线的解析式可知此直线必然经过一三象限，当经过点B时b的值最小，当经过点C时b的值最大，由此可得出结论．
【详解】解：∵直线中，，
∴此直线必然经过一三象限．
∵，，，
∴当经过点B时，，解得；
当经过点C时，，解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查是一次函数的图象和性质，解答此类题目时一定要注意数形结合的运用．
20．
【分析】图象法解不等式即可．
【详解】解：由图象可知，时，直线在直线的上方，
∴不等式的解集为；
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式．解题的关键是掌握图象法解不等式．
21．(1)①；②见解析
(2)直线的解析式为：
(3)平分成立，见解析
【分析】（1）①根据坐标与图形性质求解即可；②在上取，连接，证明即可证得结论；
（2）连接,作于，证明得到，进而求得点坐标为，利用平行四边形的性质和中点坐标公式求得，利用待定系数法求直线的解析式即可；
（3）解法一：如图3中，在延长线上取，证明和得到，（不为定值），过M作于P，则，，由，证得即可；解法二：如图3中，在延长线上取，同样证明和得到，（不为定值），利用等角的余角相等得到即可．
【详解】（1）解：①∵四边形是正方形，，
∴，，
∴．
②证明：如图1中，在上取，连接，

∵，，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
，
．
（2）解：如图2中，连接,作于,

由（1）知，
由知，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
，
，
，
∴点坐标，
∵四边形是平行四边形，，，，
∴，即．
设直线的解析式为：．
则，
解得，
故直线的解析式为：；
（3）结论：平分成立．
证明：如图3中，在延长线上取，

在和中，，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，（不为定值），
过M作于P，则，，
∵，，
∴，即平分．
解法二：
结论：平分成立．
证明：如图3中，在延长线上取，
在和中，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和，，，，
∴，
∴，（不为定值），
由（1）可知，
∴，
∴，
即平分．
【点睛】本题考查正方形的性质、坐标与图形、求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等三角形解决问题是解答的关键，
22．(1)
(2)是直线的“泛对称三角形”；
(3)始终存在关于直线轴对称的情形，和的数量关系为．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先判断在直线上方，在直线下方，若点在直线上，求得点的坐标为，求得，据此即可判断结论成立；
（3）分点B在直线上、点A在直线上以及点在直线上时，三种情况讨论，据此求解即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴，
∴直线的解析式为，
∵点在直线上，
∴的数量关系为；
（2）解：是以为底边的等腰三角形，
∵，，
∴在直线上方，在直线下方，
若点在直线上，
∵点的纵坐标为3，
∴，
∴点的坐标为，
∵，，
∴，
∴是直线的“泛对称三角形”；
（3）解：当顶点在直线上时，则，
解得，不满足在第一象限内的条件，舍去；
当顶点在直线上时，则，
解得，不满足在第一象限内的条件，舍去；
当顶点在直线上时，关于直线轴对称，
则点B和A关于直线轴对称，
即，，
综上，始终存在关于直线轴对称的情形，和的数量关系为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
23．(1)
(2)该专卖店购进甲种服装件，乙种服装件，销售完这批服装获利最多，此时利润为元
【分析】（1）根据总利润＝两种服装利润之和列出函数解析式；
（2）根据乙的数量不能超过甲的数量的2倍，得出x的取值范围，再根据函数的性质求函数的最值．
【详解】（1）解：由题意得：，
整理得，，
∴w关于x函数关系式为；
（2）解：由（1）知，，
∵，
∴w随x的增大而减小，
∵乙的数量不能超过甲的数量的2倍，
∴，
解得，
∴x的取值范围是，
∵x为整数，
∴当时，w取最大值，（元），
此时（件）．
答：该专卖店购进甲种服装件，乙种服装件，销售完这批服装获利最多，此时利润为元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解数量关系并确定出等量关系是解题的关键．
24．(1)20
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）由题意可以得到、的坐标，从而得到线段的长度，进一步可以得到正方形的面积；
（2）由题意和（1）可以得到，从而得到线段、、、的值，然后可以得到点和点的坐标；
（3）找出点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，此时周长最小．由待定系数法求出的解析式，然后令，即可得到的坐标．
【详解】（1）解：对于直线，令，得到；令，得到，
，
，
在中，，
正方形面积为；
（2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点：

，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，找出点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则此时周长最小：

，
，
设直线的解析式为：，
把与坐标代入得：，
解得：，
直线的解析式为
对于，令，得到，
．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的图象和性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短路径等，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法、勾股定理的应用、三角形全等的判定与性质、轴对称的性质等是解题关键．
25．(1)
(2)购进种口罩个，种口罩个，才能获利最大，最大利润是元
【分析】（1）把两种口罩利润相加可得，由购进种口罩的进货量不多于个，购进种口罩的进货量不超过种口罩的进货量的四倍，列不等式可得，即可得答案；
（2）根据一次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：根据题意得：，
整理得：，
∵购进种口罩的进货量不多于个，购进种口罩的进货量不超过种口罩的进货量的四倍，
∴，
解得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：由（1）得，
∵，
∴随的增大而增大，
当时，有最大值（元）；
此时，
答：购进种口罩个，种口罩个，才能获利最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
答案第1页，共2页
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