第26章反比例函数-福建省2023-2024学年下学期九年级数学单元培优专题练习（人教版）（含解析）

第26章反比例函数-福建省2023-2024学年下学期九年级数学单元培优专题练习（人教版）
一、单选题
1．（2023上·福建三明·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点不在该反比例函数的图象上，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022上·福建宁德·九年级统考期末）已知，点，在反比例函数的图象上，则以下结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若且，则
3．（2023上·福建莆田·九年级统考期末）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的值可能是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．1
4．（2022上·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考期末）已知点和都在反比例函数的图象上，如果，那么与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
5．（2022上·福建福州·九年级福建省福州格致中学校考阶段练习）下列图象中，是函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022上·福建福州·九年级校考期末）正比例函数与反比例函数( )的大致图象如图所示，则的取值范围分别是(　　)
A． B． C． D．
7．（2022上·福建龙岩·九年级统考期末）如图，点B，C分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点C作的垂线交y轴于点A，则的面积为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
8．（2022上·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考期末）已知a≠0，函数y＝与y＝﹣ax2﹣a在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2021上·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考期末）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．双曲线 C．抛物线 D．平行四边形
10．（2022上·福建福州·九年级统考期末）已知点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（a是常数）的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＞0 C．0＜a＜1 D．﹣1＜a＜0
11．（2022上·福建福州·九年级统考期末）已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A．图象经过点 B．图象在第二、四象限
C．图象与x轴，y轴都没有交点 D．y随x的增大而增大
12．（2022上·福建漳州·九年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx与双曲线y＝的图象交于A，B两点，点P在x轴的正半轴上，若PA⊥PB，则OP的最小值是（　　）
A．4 B．2 C．4 D．2
二、填空题
13．（2023上·福建龙岩·九年级统考期末）如图，点是轴正半轴上一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，若的面积为，反比例函数的图像经过点C，则的值为 ．
14．（2023上·福建福州·九年级校考期末）如图，是反比例函数的图象上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积是 ．
15．（2022上·福建福州·九年级校考期末）如图，四边形为菱形，，反比例函数的图象经过点，交边于点，若的面积为，则点的坐标为 ．
16．（2022上·福建泉州·九年级校考期末）如图，正比例函数和反比例函数y＝图象相交于A、B两点，若点A的坐标是（2，1），则点B的坐标是 ．
17．（2022上·福建福州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y的图像交于A，B两点，过点B作y轴的平行线，交函数y的图像于点C，连接AC，则△ABC的面积为 ．
18．（2022上·福建福州·九年级统考期末）如图， ABCD的对角线在y轴上，原点O为的中点，点D在第一象限内，//轴，当双曲线经过点D时，则 ABCD的面积为 ．
19．（2022上·福建福州·九年级统考期末）如图，点P在第二象限，过点P分别作x轴，y轴的平行线，与y轴，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D．下面四个结论：①；②；③；④．
其中一定正确的结论是 ．（填序号）
20．（2022上·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考期末）如图，正方形ABCD的顶点A在反比例函数（x＞0）的图象上，函数（x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B，D两点，若AB＝2，现给出下列结论：①O，A，C三点一定在同一直线上；②点A的横坐标是；③点B的纵坐标是1；④点O关于直线BD的对称点一定在函数的图象上．其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
三、解答题
21．（2022上·福建福州·九年级校考期末）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、．

(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)直接写出不等式的解集．
22．（2022上·福建宁德·九年级统考期末）如图，点是反比例函数图像上两点，轴于点C，轴于点D．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求五边形的面积．
23．（2023上·福建龙岩·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，且点A的坐标为．
(1)求的面积；
(2)若，结合图象，直接写出对应的自变量的取值范围______．
24．（2022上·福建泉州·九年级统考期末）已知直线分别与，轴交于，两点，反比例函数的图像与直线在第一象限内有两个交点和点．
(1)求的取值范围；
(2)若的面积为，求的值．
25．（2022上·福建漳州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点，．直线，分别交该双曲线另一支于点C，D，顺次连接，，，．求证：四边形是矩形．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】本题考查反比例函数上的点的特征．根据点的坐标求出横纵坐标的乘积，进而得到值的取值范围，即可得出结果．
【详解】解：由图象可知：，，
∴，即：，
∴的值可以为；
故选C．
2．C
【分析】反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断．
【详解】解：反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小，那么：
A、若，且、在同一个象限，则，故选项错误，不符合题意；
B、若，则，故选项错误，不符合题意；
C、若，则，故选项正确，符合题意；
D、若且，则．故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了比较反比例函数值的大小,，解题的关键是数形结合，掌握函数的定义和反比例函数图象的性质．
3．D
【分析】根据反比例函数的图象经过第二、四象限，可得，从而可得答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
解得：．
∴选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质：当反比例函数图象在一、三象限时，则；当反比例函数图象在第二、四象限时，则．
4．D
【分析】分同号和异号两种情况讨论．
【详解】解：∵反比例函数中，
∴图象在第一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，
当同号，即或，，
当异号时，即 ；
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
5．C
【分析】反比例函数的图象是双曲线，根据、的取值来确定函数的图象所在的象限．
【详解】解：函数中的，
该函数图象经过第一、三象限；
又无论取何值，都有，
函数的图象关于轴对称，即它的图象经过第一、二象限．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象．注意，的取值范围是：．
6．D
【分析】分别根据正比例函数图象与反比例数图象所在的象限，即可判断比例系数的符合，进而即可求解．
【详解】解：根据正比例函数图象可知，随的增大而减小，则，
反比例数图象位于第二、四象限，则，则，
故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象的性质， 增减性判断比例系数是解题的关键．
7．B
【分析】先设B点的横坐标为a，根据题中条件将A，B，C各点的坐标用含a的式子表示出来，再根据的面积=AC×BC，求出即可．
【详解】解：令B点的横坐标为a，
∵点B是反比例函数的图象上的点，
∴a>0，B(a，)，
∵C是反比例函数的图象上的点，轴，
∴C(a，)，
∵，
∴A(0，)，
∵=AC×BC
=×a×
=×a×
=4
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是在平面直角坐标系中求图形的面积可转化为用点的坐标来表示．
8．D
【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
【详解】解：当a＞0时，函数y=的图象位于一、三象限，y=-ax2-a的开口向下，交y轴的负半轴，D选项符合；
当a＜0时，函数y=的图象位于二、四象限，y=-ax2-a的开口向上，交y轴的正半轴，没有符合的选项；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大．
9．B
【分析】根据“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形”及“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”，结合二次函数的图象及反比例函数的图象，进而问题可求解．
【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、双曲线是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；
C、抛物线是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查轴对称图形、中心对称图形及二次函数的图象、反比例函数的图象，熟练掌握轴对称图形、中心对称图形及二次函数的图象、反比例函数的图象是解题的关键．
10．D
【分析】，该反比例函数图象在第一和第三象限中均有随着的增加而递减，由，可知，进而得出结果．
【详解】解：∵
∴该反比例函数图象在第一和第三象限中均有随着的增加而递减
∵，
∴
∴
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的增减性．解题的关键在于明确函数图象所在的象限及变化．
11．D
【分析】根据反比例函数图像性质：当，反比例函数图像位于第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大进行分析即可．
【详解】A正确，将代入解析式，左边右边
B正确，当，反比例函数图像位于第二、四象限
C正确，图象与x轴，y轴都没有交点
D不正确，应该是：在每个象限内随的增大而增大．
故选D
【点睛】本题考查了反比例函数图像性质，反比例函数图像是双曲线，讨论图像性质的时候要在其图像所在的每个象限内进行讨论．
12．D
【分析】由图象的对称性可得，从而可得，设点坐标为，进而求解．
【详解】解：如图，
直线与双曲线的图象关于原点成中心对称，
，即点为中点，
，
在中，，
设点坐标为，则，
当，即时，取最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握函数与方程的关系，掌握直角三角形斜边中线长度等于斜边的一半．
13．
【分析】过作轴于，如图所示，由的面积为，得到，由题意可知为等边三角形，从而由含的直角三角形的三边关系，设，则，，代入面积公式得到，解得，从而，利用待定系数法将代入得到．
【详解】解：过作轴于，如图所示：
点是轴正半轴上一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，反比例函数的图像经过点C，
为等边三角形，设，
由等腰三角形“三线合一”可知，，
的面积为，
，解得，则，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查根据图形面积求比例系数，涉及旋转性质、等边三角形的判定与性质、三角形面积公式及反比例函数的性质，由题意准确得到点坐标是解决问题的关键．
14．6
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可．
【详解】解：设，
∵轴，轴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
15．
【分析】过点作，根据四边形四边形为菱形，得出，设，根据的面积为，求得，即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
16．（-2，-1）
【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵A的坐标为（2，1），
∴B的坐标为（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数的对称性．
17．5
【分析】设点B的坐标为，则点A的坐标为，再由BC∥y轴，点C在y上，可得到点C的坐标为，从而得到，再根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：∵函数y＝kx与y的图像交于A，B两点，
∴可设点B的坐标为，则点A的坐标为，
∵BC∥y轴，点C在y上，
∴点C的坐标为，
∴，
∴△ABC的面积为．
故答案为：5
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数图像，垂直于y轴的直线上任意两点的坐标特点，三角形的面积，解答此题的关键是找出A、B两点与A、C两点坐标的关系．
18．8
【分析】根据反比例函数k的几何意义先求出△AOD的面积，再根据平行四边形是中心对称图形可得S ABCD=4S△AOD，即可求出 ABCD的面积．
【详解】
解：连接BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，且O点是AC的中点，
∴O点是BD的中点，
∵D点在反比例函数的图像上，且//轴，
∴S△AOD=，
∴S ABCD=4S△AOD=8，
即 ABCD的面积为8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，平行四边形是中心对称图形的性质．熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
19．①②③
【分析】根据平面直角坐标系中点与点之间的距离，配合三角形的面积公式分别计算各个三角形的面积进行比较即可．
【详解】解：由题意可知：，
，
∵PB=AO，
∴，故①正确；
设D点坐标为（m，），C点坐标为（n，），
∴，
∴，
∴，故②正确，
，
，
∴，故③正确；
，
，
故，故④错误，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查反比例函数与三角形的面积，熟练掌握数形结合思想是是解决本题的关键．
20．①③/③①
【分析】设点A（x，y），根据正方形的性质以及AB=2，得到点B（，y），点D（x，），再求得点A、B、D的坐标，以及原点(0，0)关于直线BD的对称点的坐标，即可判断．
【详解】解：设点A的坐标为（x，y），
∵点B、点D在函数y=（x＞0）的图象上，
∴点B的坐标为（，y），点D的坐标为（x，），
∵AB=2，则AD=2，
∴，即3-xy=2y，
，即3-xy=2x，
∴x=y，
∴3-x2=2x，
解得：x=-3(舍去)或x=1，
∴点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（3，1），点D的坐标为（1，3），
∵四边形ABCD是正方形，
∴点C的坐标为（3，3），
∴O，A，C三点在同直线上，故①正确；
点A的横坐标为1，故②错误；
点B的纵坐标为1，故③正确；
由正方形对角线互相垂直且对角线交点是对角线中点，
则B、D的中点为(，)，即为(2，2)，
设原点(0，0)关于直线BD的对称点为(a，b)，
有，，
∴a=4，b=4，
∵4×4≠15，
∴(4，4)不在函数y=的图象上，故④错误；
综上，正确的结论有①③．
故选：①③．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，正方形的性质，解本题的关键是用方程的思想解决问题．
21．(1)，
(2)7.5
(3)或
【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到，然后把，代入即可求解；
（2）首先求出点C的坐标，然后利用进行计算；
（3）观察函数图象得到当或时，反比例函数的图象在一次函数图象上方，据此可得不等式的解集．
【详解】（1）把代入，得，
∴反比例函数的解析式为．
点在上，
，
．
把，代入
得，解得，
一次函数的解析式为．
（2）在一次函数中，令时，则，

，
，
即的面积为7.5．
（3）根据图象可得，
或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．
22．(1)
(2)21
【分析】（1）将点代入求得k即可解答；
（2）点代入求得n，然后确定点E的坐标，然后根据即可解答．
【详解】（1）解：将代入可得，解得：．
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：∵点在反比例函数上
∴
∴点坐标为
如图：延长交于点E
∴点E的坐标为
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数图像上的点、反比例函数与几何的综合等知识点，求得反比例函数解析式是解答本题的关键．
23．(1)
(2)或
【分析】（1）把点代入直线，求出m的值，然后把点A代入，求出k的值，再求出B点的坐标，利用三角形的面积公式，即可求出答案；
（2）结合图象，利用图象法，即可求出当时，自变量x的取值范围．
【详解】（1）解：∵函数的图象与直线交于点，
∴将点代入有：，
∴，
∴将点代入有：，
∴，
设点B的坐标为，则将点代入，
可得，
解得（舍去）或，
∴
设直线交轴于点，则，
∴；
（2）解：由（1）可知，点，点B，
∴当时，有
自变量x的取值范围为：或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，求反比例函数的解析式，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数图像和性质．
24．(1)
(2)
【分析】（1）先求得直线的解析式，由函数的图像可得，再联立可得，最后根据根的判别式确定m的取值范围即可；
（2）解方程可得，则, ，然后再根据列式求得m的值即可．
【详解】（1）解：把，代入可得：
，解得：
∴
∵的图像在第一象限
∴
解可得：
∵反比例函数的图像与直线在第一象限内有两个交点和点
∴，即
∴．
（2）解：∵
∴
∴,
∴,
∴，解得．
【点睛】本题属于一次函数和反比例函数的综合，涉及求函数解析式、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用数形结合思想是解答本题的关键．
25．见解析
【分析】将点A代入中求出k，再将点B代入中，求出点B坐标，求出，的长，根据对称性得到，即可证明结论．
【详解】解：将代入中，得：
，
∴，将代入中，
∴，即，
∴，，
∴，
由反比例函数对称性可得：，，
即，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上的点，对称性，矩形的判定，勾股定理，解题的关键是求出和的长，熟练运用矩形的判定定理．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页