第28章锐角三角函数-福建省2023-2024学年下学期九年级数学单元培优专题练习（人教版）（含解析）

第28章 锐角三角函数-福建省2023-2024学年下学期九年级数学单元培优专题练习（人教版）
一、单选题
1．（2022上·福建漳州·九年级统考期末）在中，，那么的值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2022上·福建泉州·九年级统考期末）北京2022年冬奥会计划于2月4日开幕，2月20闭幕．如图，表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为，底端点C与顶端点B的距离为50米．则赛道的长度为（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
3．（2022上·福建三明·九年级统考期末）已知的面积为，，．若的顶点都在双曲线（）上，且过坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022上·福建泉州·九年级统考期末）如图，在中，，，，、分别是与的中点，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．（2022上·福建宁德·九年级统考期末）如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点O到桥面的距离（单位：米）是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·福建泉州·九年级统考期末）若，是关于x的方程的两个实数根，则（ ）
A． B．3 C． D．3或
7．（2022上·福建泉州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象在第一象限相交于点，点坐标为，且与轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1.5 D．2.5
8．（2022上·福建泉州·九年级统考期末）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，、相交于点P．则的值是（ ）
A．2 B．1 C．0.5 D．2.5
9．（2022上·福建泉州·九年级统考期末）如图，在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·福建泉州·九年级统考期末）如图，在网格中，点，，都在格点上，则的正弦值是（ ）
A． B． C． D．2
11．（2023上·福建泉州·九年级统考期末）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023上·福建泉州·九年级统考期末）小明利用如图所示的量角器量出的度数，的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022上·福建泉州·九年级统考期末）正五边形是旋转对称图形，将正五边形绕着它的旋转中心逆时针旋转，点A的对应点为点，则的正切值 ．
14．（2022上·福建宁德·九年级统考期末）在中，，，若将三边都扩大3倍得到，则
15．（2022上·福建泉州·九年级统考期末）如图，A、B、C、D是正方形网格的格点，交于点O，则的值为 ．
16．（2022上·福建泉州·九年级统考期末）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、都在格点处，则的值为 ．
17．（2023上·福建泉州·九年级统考期末）在平面直角坐标中，已知的顶点A的坐标是，，且，则点的坐标为 ．
18．（2023上·福建泉州·九年级统考期末）如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值为
19．（2022上·福建泉州·九年级统考期末）如图，河堤横断面迎水坡的坡度，若垂直高度米，则迎水坡的长度为 米．
20．（2023上·福建莆田·九年级统考期末）如图，在中，，，，点是的中点，将绕点旋转得到，点是上一个动点，则的最小值是 ．
三、解答题
21．（2022上·福建漳州·九年级统考期末）已知抛物线经过、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，．

(1)如图1，求此抛物线的表达式；
(2)如图2，直线经过点B，交于点D，点P为线段的中点，过点D作轴于点E，作于点F，连接、．
①求证：是等腰直角三角形；
②当的周长最小时，求直线的表达式．
22．（2022上·福建泉州·九年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、点，点从点开始沿边向终点以1厘米/秒的速度移动；点从点开始沿边向终点以1厘米/秒的速度移动．若点，同时出发，运动时间为秒

(1)当时，
①点的坐标___________；（用来表示）
②当为直角三角形时，求的值；
(2)当的面积为8平方厘米时，求与的数量关系，并求出的最小值．
23．（2022上·福建福州·九年级校考期末）由我国完全自主设计与建造的首艘国产航母山东舰于年月日交付海军．如图，某日山东舰在南海海域开展训练时在处测得小岛在该舰的北偏东方向，往东行驶海里后到达处，此时测得小岛在该舰的北偏东方向，已知以小岛为中心，周围海里内有暗礁，问航母山东舰继续向东航行是否有触礁的危险？

24．（2023上·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期末）如图1，二次函数的图象经过点，点P是抛物线上一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在直线BC上方的抛物线上是否存在一点P，使面积最大．若存在，求此时点P的坐标，若不存在，说明理由；
(3)如图2，点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，交x轴于点Q，将绕点A逆时针旋转得到，且旋转角的正切值等于，当点P的对应点落在y轴上时，请直接写出点P的坐标．
25．（2023上·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期末）春天是放风筝的好季节，如图，小张同学在花雨广场B处放风筝，风筝位于A处，风筝线长为150m，从B处看风筝的仰角为，小张的父母从C处看风筝的仰角为．小张和父母的直线距离是多少米？（结果精确到0.1．参考数据：，，，，）
26．（2022上·福建宁德·九年级统考期末）如图，已知正方形，将边绕点顺时针旋转得到，连接并延长，过点作射线于点，连接．
(1)如图1，当时，求和的度数；
(2)如图2，当时，过点作于点，连接，．
①证明：；
②在的旋转过程中，是否存在与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：D．

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，正确记忆正弦值与各边之间的关系是解题关键．
2．C
【分析】根据，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
米，，，
∵，
∴（米），
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握正弦=对边与斜边之比．
3．A
【分析】根据，且的面积为，求得，，，的长，设点，，，通过证得∽可得，再根据勾股定理求得A的坐标满足，从而可求得k的值．
【详解】解：如图，
过B点作轴，，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
，
的面积为，
，
，
，，
，
，
设点，
由双曲线的对称性可得，，
，，
，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的综合应用，构建三角形相似是解题的关键．
4．C
【分析】首先根据三角形中位线定理可求得，再利用解直角三角形即可求解．
【详解】解：，、分别是与的中点，
，
在中，，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解直角三角形，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．
5．D
【分析】作于C，求出长，再用解直角三角形求出即可．
【详解】解：作于C，
∵大桥主塔是一个轴对称图形（如图所示），
∴，
∴（米），
∵，
∴（米）
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是构建直角三角形，熟练运用解直角三角形的知识进行计算．
6．C
【分析】利用根与系数的关系得出，进而得出，将代入一元二次方程求出方程的根即可．
【详解】解：∵，是关于x的方程的两个实数根，
∴，解得：，
即：，则，
解得，，
∵
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数的取值范围及一元二次方程（，，，为常数）根与系数的关系：，．
7．A
【分析】根据与轴正半轴的夹角的正切值为，求出点坐标为，将代入，即可求解．
【详解】∵与轴正半轴的夹角的正切值为，
∴
∴
∴点坐标为
将代入，得
故选：A
【点睛】本题考查反比例函数的关系式，正切的含义，解题的关键是求出点的坐标．
8．A
【分析】连接格点，．根据题图和勾股定理先判断的形状，再求出的正切，利用平行线的性质可得结论．
【详解】解：如图，连接格点，．
由网格和勾股定理可求得；
，，，
∴，
∴是直角三角形．
在中，．
∵，
∴
∴
故选．
【点睛】本题考查了勾股定理和解直角三角形，作辅助线平移到直角中，是解决本题的关键．
9．D
【分析】先根据勾股定理求出，然后根据三角函数关系即可得解．
【详解】解：在中，，，，
，
，
故选：D
【点睛】本题考查了勾股定理、三角函数，熟练掌握相关知识是解题关键．
10．A
【分析】取格点，连接，证明是直角三角形，且，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，取格点，连接，
∵
∴,
∴是直角三角形，且
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了求正弦，勾股定理与网格问题，掌握正弦的定义是解题的关键．
11．A
【分析】先求出，再用三角函数定义，求出，即可得出答案．
【详解】解：过点A作于点D，如图所示：
∵，，
∴，
在中，，
∴点A到的距离为，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
12．A
【分析】先读出的度数，再根据角的正弦值为即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，熟知角的正弦值是解题的关键．
13．/
【分析】分两种情形，分别作出图形求出的度数，然后再求正确值即可．
【详解】解：∵五边形为正五边形，
∴，，
∴，
根据旋转可知，，
∴，
如图1， ，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图2，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正多边形，旋转变换，特殊角的三角函数值，等腰三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
14．/0.6
【分析】根据正弦函数的定义求解即可．
【详解】解：根据题意得，
若将三边都扩大3倍得到，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查正弦函数的定义，理解正弦函数的定义是解题关键．
15．/
【分析】连接，利用正方形的性质证明、，这样把求的余弦值转化为求的余弦值，在Rt中，利用勾股定理和直角三角形的边角关系求解；
【详解】解：如图，连接，
根据勾股定理，得，，
都是正方形的对角线，
，
，
同理，
，
，
在Rt中，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．
【分析】利用网格得到直角三角形，再根据正弦的定义即可求得的值．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，、
∴在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，正弦的定义，熟记正弦的定义是解题的关键．
17．或
【分析】先根据得出，求出，根据勾股定理求出，，设点B的坐标为，利用两点间距离公式列出方程，求方程的解即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
即，
∵顶点A的坐标是，
∴，
在中根据勾股定理可得，，
即，
解得：，，
设点B的坐标为，
，
即，
，
即，
得：，
即，
把代入②得：，
解得：，，
把，分别代入得：
，，
∴点B的坐标为：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角函数的应用，两点间距离公式，解题的关键是求出的三边长，设点B的坐标为，根据两点间距离公式列出方程，解方程．
18．
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，再利用勾股定理求出，最后根据正切的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正切，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，求出是解题的关键．
19．
【分析】根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：∵迎水坡的坡度，
∴，
∵米，
∴米，
∴米．
故答案为：
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
20．
【分析】当点Q运动到时最小，当绕点C旋转，点共线时最小，据此求解可得．
【详解】解：连接，如图：
在中，
∴当最小时有最小值
当点Q运动到时最小，当绕点C旋转，点共线时最小，如图：
∵中，，
∴，
∵中，，
∴，
最小值为，
即：
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是图形的旋转、锐角三角函数的定义等知识，当点Q运动到时最小，当绕点C旋转，点共线时最小是解题的关键．
21．(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）利用坐标与图形和正切定义求得点C、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）①利用直角三角形斜边上的中线性质证得，再利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质求得即可得到结论；
②根据等腰直角三角形的性质，当最小时，的周长最小，进而当时，最小．先利用待定系数法求得直线的表达式为，设，则，，，证明得到，则由求得，进而利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，则，
∵，
∴，则，
由题意，设抛物线的表达式为，
将代入，得，则，
∴抛物线的表达式为；
（2）①证明：∵，，点P为线段BD的中点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，∴,
∴，则是等腰直角三角形；
②∵是等腰直角三角形，
∴，
∴的周长为，
∴最小，即最小时，的周长最小，
当时，最小．
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，
由题意，点D在线段上，设，
∵轴于E，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，即，
∴，
解得，（舍去），
∴，
将，代入中，
得，解得，
∴直线的表达式为．
【点睛】本题考查二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、解一元二次方程、坐标与图形等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想找到线段、角之间的的联系与转化是解答的关键．
22．(1)①；②当为直角三角形时，的值为或或；
(2)当的面积为时，与的关系式为或．
【分析】（1）①当时，根据点和点的运动可分别求出和的长，过点作轴于点，则，根据比例可求出和的长，进而可得到的长，即可得出点的坐标；②根据点和点的运动可表示出、，然后分和是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（2）过点作于点，利用的正弦求出，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】（1）解：①直线与轴，轴分别交于点、点，
，，
，，
，
当时，由点和点的运动可知，，
如图，过点作轴于点，则，

，即，
，
，
；
故答案为：；
②由上可知，，，
若是直角三角形，则有下面两种情况：
①当是直角时，，
若点未到达点，则，
即，
解得；
若点到达点，则，
即，
解得；
②当是直角时，，
，
即，
解得，
综上所述，当为直角三角形时，的值为或或；
（2）解：如图，过点作于点，
则，
①当点未到达点时，的面积，
整理得：，
方程有解，则，
解得：；
②当点到达点时，的面积，此时，
整理得，，
则，
，
；
综上可知，当的面积为时，
与的关系式为或，的最小值为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形的面积以及一元二次方程的应用能力，根据对应边成比例两相似三角形的判定分类讨论是解题的关键．
23．没有触礁的危险，见解析
【分析】过点作于点，根据已知得出，解，得出，与比较大小，即可求解．
【详解】解：没有触礁的危险，理由如下：
过点作于点，
如图，由题知，，，
，，
，
，
海里，
在中，，，，
，
航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方位角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
24．(1)
(2)最大时，
(3)点的坐标为：，或，
【分析】（1）将点代入即可求解析式；
（2）设坐标横为，用表示的面积，求出最大时的值可得坐标；
（3）用旋转角的正切值等于设参数，表示出坐标，再代入二次函数解析式即可求解．
【详解】（1）把点，，的坐标代入二次函数得：
，
解得：，
；
（2）存在，理由如下：
如答图1，过作轴交于，
设，
由，可得直线解析式为：，
，，
，
当时，最大此时，
（3）①在第一象限时，过作轴交轴于，过作轴交直线于，如图：
旋转角的正切值等于，
，即，
设，则，，
，
，
，，
，
，
，即，
可得，
，
，
，，
，，
将，代入得：
，
解得，舍去），
，
②在第三象限时，过作轴交轴于，过作轴交于，如图：
设，
旋转角的正切值等于，即，，
，，，
，，
同①可得，
，，
，
，，
将，代入得：
，
解得或（小于0，舍去），
，．
综上所述，点的坐标为：，或，．
【点睛】本题考查二次函数、一次函数图象的相关性质、最大面积、旋转等综合知识，题目难度大，解决的关键是画图分析线段之间的关系．
25．小张和父母的直线距离是是
【分析】作，然后根据，，即可计算出的长，再利用勾股定理和锐角三角函数可以计算出和的长，然后将它们相加，即可得到是多少米．
【详解】作于点，
，，
，
，
，，，，
，
，
，
即小张和父母的直线距离是是．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
26．(1)，
(2)①见解析；②存在，
【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，进而得出，根据平角的定义得出，根据等腰直角三角形的性质得出，即可求解；
（2）①设交于点，根据等边对等角证明，根据三角形的内角和定理得出，得出，根据，继而即可得证；
②当与相似，则是等腰直角三角形，当时，如图所示，过点作于点，证明，，得出，继而即可求解．
【详解】（1）解：正方形，将边绕点顺时针旋转得到，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，；
（2）①解：如图，设交于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴当与相似，则是等腰直角三角形，
∵，当时，三点共线，则点与点重合，不合题意，
同理当时，不合题意，
当时，如图所示，过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质，求正切，掌握旋转的性质是解题的关键．
答案第1页，共2页
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