2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B
一、选择题
1．（2017八下·无棣期末）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2017·凉州模拟）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣2）
C．（﹣1，2） D．（1，2）
3．（2017·浙江模拟）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（ ）
A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长
4．（2016九上·阳新期中）如图，这是一个正面为黑，反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（ ）
A． B． C． D．
5．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试A）规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十边形
6．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC= ，则△ABC移动的距离是（ ）
A． B． C． D． ﹣
7．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
8．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的是（ ）
A．∠BCB′=∠ACA′ B．∠ACB=2∠B
C．∠B′CA=∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′
9．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，将△ABC沿BC翻折得到△DBC，再将△DBC绕C点逆时针旋转60°得到△FEC，延长BD交EF于H．已知∠ABC=30°，∠BAC=90°，AC=1，则四边形CDHF的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，A，B的坐标为（1，0），（0，2），若将线段AB平移至A1B1，则a﹣b的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
11．（2017·巴彦淖尔模拟）如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（ ）
A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm
12．（2017七下·新野期末）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为（ ）
A．70° B．80° C．84° D．86°
二、填空题
13．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移 OB个单位，则点C的对应点坐标为 ．
14．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm．将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为 cm．
15．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD= 度．
16．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D= cm．
17．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE（其中点B恰好落在AC延长线上点D处，点C落在点E处），连接BD，则四边形AEDB的面积为 ．
18．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）若将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，OB=2，则点A关于原点对称的点的坐标为 ．
三、解答题
19．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，下列网格中，每个小正方形的边长都是1，图中“鱼”的各个顶点都在格点上．
（1）把“鱼”向右平移5个单位长度，并画出平移后的图形．
（2）写出A、B、C三点平移后的对应点A′、B′、C′的坐标．
20．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3 ，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．
（1）线段DC= ；
（2）求线段DB的长度．
21．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．
（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是 个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是 ；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是 度；
（2）连结AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．
22．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图的平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）若点M是△ABC内一点，其坐标为（a，b），点M在△A1B1C1内的对应点为M1，则点M1的坐标为 ；
（3）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
23．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（顶点是网格线的交点）
（1）①先将△ABC竖直向上平移5个单位，再水平向右平移4个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
②将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；
（2）求线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积．
24．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣1），B（﹣3，3），C（﹣4，1）
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）画出△ABC绕点A按逆时针旋转90°后的△AB2C2，并写出点C的对应点C2的坐标．
25．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．
（1）求证：PB=QC；
（2）若PA=3，PB=4，∠APB=150°，求PC的长度．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A. 不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B. 不是中心对称图形，本选项不符合题意；
C.；是中心对称图形，本选项符合题意
D. 不是中心对称图形，本选项不符合题意。
故选C.
2．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，
∴点A′的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1，
∴A′的坐标为（﹣1，1）．
故选：A．
【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．
3．【答案】D
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，
乙所用铁丝的长度为：2a+2b，
丙所用铁丝的长度为：2a+2b，
故三种方案所用铁丝一样长．
故选：D．
【分析】分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．
4．【答案】B
【知识点】生活中的旋转现象
【解析】【解答】解：A、C和D旋转之后都不能与图形拼满，B旋转180°后可得出与图形相同的形状，故选B．
【分析】将所给的拼木分别尝试拼接或由拼木盘观察，直接选出拼木．
5．【答案】C
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：A、正三角形的最小旋转角是120°，故不符合题意；
B、正方形的旋转角度是90°，故不符合题意；
C、正六边形的最小旋转角是60°，故符合题意；
D、正十角形的最小旋转角是36°，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质及正多边形的性质，可知正三角形最小旋转角为120°；正方形的最小旋转角为90°；正六边形的最小旋转角为60°；正十边形的最小旋转角为36°，即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，
∴AB∥DE，
∴△ABC∽△HEC，
∴ =（ ）2= ，
∴EC：BC=1： ，
∵BC= ，
∴EC= ，
∴BE=BC﹣EC= ﹣ ．
故答案为：D．
【分析】根据平移的性质，易证△ABC∽△HEC，由已知重叠部分的面积是△ABC面积的一半 ，就可得出（ ）2= ，由EC的长，就可求出BC的长，然后求出平移的距离BE的长即可。
7．【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由A（a，1）关于原点的对称点为B（﹣4，b），得
a=4，b=﹣1，
a+b=3，
故答案为：C．
【分析】根据关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，求出a、b的值，然后求出a与b的和即可。
8．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质得，∠BCB'和∠ACA'都是旋转角，则∠BCB′=∠ACA′，故A不符合题意，
∵CB=CB'，
∴∠B=∠BB'C，
又∵∠A'CB'=∠B+∠BB'C，
∴∠A'CB'=2∠B，
又∵∠ACB=∠A'CB'，
∴∠ACB=2∠B，故B不符合题意；
∵∠A′B′C=∠B，
∴∠A′B′C=∠BB′C，
∴B′C平分∠BB′A′，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质：旋转角相等，可对A作出判断；由旋转前后的两个图形全等，可证得∠ACB=∠ACB，∠B=∠B，CB=CB，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质，可对B、D作出判断；由题意不能证明AB=CB，综上所述，可得出答案。
9．【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；旋转的性质
【解析】【解答】解： ∵∠ABC=30°，∠BAC=90°，AC=1，
∴BC=2AC=2，
∴AB= = ，
由翻折、旋转的性质知AC=CD=CF=1，∠ACB=∠BCD=∠FCE=60°，
∴∠ACF=180°，即点A、C、F三点共线，CE=CB=2，EF=BD=AB= ，∠E=∠ABC=30°，
∴DE=2﹣1=1，
在Rt△DEH中，DH= DE= ，
S四边形CDHF=S△CEF﹣S△DEH= ×1× ﹣ ×1× = ．
故答案为：C．
【分析】利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出BC的长，利用勾股定理求出AB的长，再根据翻折和旋转的性质，可证AC=CD=CF=1，∠ACB=∠BCD=∠FCE=60°，可证得点A、C、F三点共线，然后求出EF、DE、DH的长，根据S四边形CDHF=S△CEF﹣S△DEH，就可求出答案。
10．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解： ∵A（1，0），A1（3，b），B（0，2），B1（a，4），
∴平移规律为向右3﹣1=2个单位，向上4﹣2=2个单位，
∴a=0+2=2，b=0+2=2，
∴a﹣b=2﹣2=0．
故答案为：C．
【分析】根据点A和A1的横坐标的变化及点B和B1的纵坐标的变化，就可得出平移的方法，即可求出a、b的值，然后求出a-b的值。
11．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵△ABE向右平移2cm得到△DCF，
∴EF=AD=2cm，AE=DF，
∵△ABE的周长为16cm，
∴AB+BE+AE=16cm，
∴四边形ABFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD
=AB+BE+AE+EF+AD
=16cm+2cm+2cm
=20cm．
故选C．
【分析】先根据平移的性质得到EF=AD=2cm，AE=DF，而AB+BE+AE=16cm，则四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD，然后利用整体代入的方法计算即可
12．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】由旋转的性质可知：∠B=∠AB1C1，AB=AB1，∠BAB1=100°．
∵AB=AB1，∠BAB1=100°，
∴∠B=∠BB1A=40°．
∴∠AB1C1=40°．
∴∠BB1C1=∠BB1A+∠AB1C1=40°+40°=80°．
故答案为：B．
【分析】由旋转的性质可知∠B=∠AB1C1，AB=AB1，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B=∠BB1A=∠AB1C1=40°，从而可求得∠BB1C1=80°．
13．【答案】（1，3）
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解： ∵在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），
∴OC=OA=2，C（0，2），
∵将正方形OABC沿着OB方向平移 OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
∴点C的对应点坐标是（1，3）．
故答案为（1，3）．
【分析】根据题意可得出点C的坐标，再由已知条件：将正方形OABC沿着OB方向平移 OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，根据点的坐标平移规律：上加下减，左减右加，就可得出点C的对应点的坐标。
14．【答案】13
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解： ∵将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，
∴EF=DC=4cm，FC=7cm，
∵AB=AC，BC=12cm，
∴∠B=∠C，BF=5cm，
∴∠B=∠BFE，
∴BE=EF=4cm，
∴△EBF的周长为：4+4+5=13（cm）．
故答案为：13．
【分析】由已知条件：将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，利用平移的性质，就可求出CF、EF的长，再证明∠B=∠BFE，可证得BE=EF，求出BE、BF的长，然后求出△EBF的周长。
15．【答案】30
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解： ∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，
∴∠BOD=45°，
∴∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=45°﹣15°=30°．
故答案为：30．
【分析】利用旋转的性质，根据旋转角为45°，可得出∠BOD=45°，再根据∠AOD=∠BOD﹣∠AOB，就可求出结果。
16．【答案】1.5
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解： ∵在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，
∴AB= =5cm，
∵点D为AB的中点，
∴OD= AB=2.5cm．
∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，
∴OB1=OB=4cm，
∴B1D=OB1﹣OD=1.5cm．
故答案为1.5．
【分析】利用勾股定理求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，就可求出OD的长，然后根据旋转的性质，就可证得BO=B1O，根据B1D=OB1﹣OD，就可求出B1D。
17．【答案】
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解： ∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转，使点C落在E处，点B恰好落在AC延长线上点D处，
∴AD=AB=5，
∴CD=AD﹣AC=1，
∴四边形AEDB的面积为 ，
故答案为：
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据旋转的性质，可证得AD=AB=5，从而可求出CD的长，然后根据四边形AEDB的面积 =2×△ABC的面积+△BCD的面积，即可求解。
18．【答案】（﹣1，﹣1）
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，
∵△AOB是等腰直角三角形，OB=2，
∴OD=AD=1，
∴A（1，1），
∴点A关于原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣1）．
故答案为（﹣1，﹣1）．
【分析】过点A作AD⊥OB于点D，根据等腰直角三角形的性质求出OD及AD的长，故可得出A点坐标，再由关于原点对称的点的坐标特点即可得出结论．
19．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：结合坐标系可得：A'（5，2），B'（0，6），C'（1，0）．
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据平移的性质，抓住图形中的关键点，作出这些关键点的对称点，再连接各个点，即可作出平移后的图形。
（2）根据直角坐标系中所画出的图形， 写出点A′、B′、C′的坐标 。
20．【答案】（1）4
（2）解：作DE⊥BC于点E．
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵AC⊥BC，
∴∠DCE=∠ACB﹣∠ACD=90°﹣60°=30°，
∴Rt△CDE中，DE= DC=2，
CE=DC cos30°=4× =2 ，
∴BE=BC﹣CE=3 ﹣2 = ．
∴Rt△BDE中，BD= = = ．
【知识点】解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵AC=AD，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴DC=AC=4．
故答案是：4；
【分析】（1）利用旋转的性质，可知AC=AD，∠CAD=60°，可得到△ACD时等边三角形，继而可求出DC的长。
（2） 作DE⊥BC于点E，利用等边三角形的性质及垂直的定义，就可求出∠DCE，再利用解直角三角形求出CE，BE，然后在Rt△BDE中，利用勾股定理求出BD的长。
21．【答案】（1）2；y轴；120
（2）解：如图，
∵等边△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB，
∴OA=OD，
∵∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠DOC=60°，
即OE为等腰△AOD的顶角的平分线，
∴OE垂直平分AD，
∴∠AEO=90°．
【知识点】轴对称的性质；平移的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），
∴△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD；
∴△AOC与△BOD关于y轴对称；
∵△AOC为等边三角形，
∴∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠AOD=120°，
∴△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB．
故答案为2；y轴；120．
【分析】（1）根据平移的性质及点A的坐标，可得到平移的距离；利用轴对称的性质，可得出△AOC与△BOD关于直线对称的对称轴，利用旋转的性质， 可求出旋转角的度数。
（2）利用旋转的性质，可知OA=OD，求出∠DOC，从而可证得OE为等腰△AOD的顶角的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，就可求出∠AEO的度数。
22．【答案】（1）解：如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）（a，b﹣5）
（3）解：如图所示：△A2B2C2，即为所求
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）∵点M是△ABC内一点，其坐标为（a，b），点M在△A1B1C1内的对应点为M1，
∴点M1的坐标为：（a，b﹣5）；
故答案为：（a，b﹣5）
【分析】（1）根据平移的性质及作图，将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1即可。
（2）根据平移规律：向下平移5个单位，横坐标不变，纵坐标减去5，就可得出点 M1的坐标 。
（3）根据关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，就可作出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2。
23．【答案】（1）解：如图所示：△A1B1C1，△A2B1C2即为所求
（2）解：线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为： = π
【知识点】扇形面积的计算；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）①根据平移的性质及作图，先将△ABC竖直向上平移5个单位，再水平向右平移4个单位就可得到△A1B1C1； ②利用旋转的性质，将点A1、C1绕B1点顺时针旋转90°，可得到点A2、C2，再画出△A2B1C2即可。
（2）线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积就是以B1为圆心， 3为半径，圆心角为90°的扇形的面积，再利用扇形的面积公式计算可求解。
24．【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为△ABC关于y轴对称的图形；
则B1的坐标是（3，3）；
（2）解：△ABC绕点A按逆时针旋转90°后的△AB2C2是：
则点C的对应点C2的坐标是（﹣3，﹣4）．
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变。先分别作出点A、B、C关于y轴的对称的点 A1、B1、C1，再画出△A1B1C1， 然后写出点B1的坐标 。
（2）根据旋转的性质，先作出点B、C绕点A按逆时针旋转90°后的对称点的点B2、C2，再画出△AB2C2，然后写出点C2的坐标。
25．【答案】（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，
∴AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中
，
∴△BAP≌△CAQ（SAS），
∴PB=QC；
（2）解：∵由（1）得△APQ是等边三角形，
∴AP=PQ=3，∠AQP=60°，
∵∠APB=150°，
∴∠PQC=150°﹣60°=90°，
∵PB=QC，
∴QC=4，
∴△PQC是直角三角形，
∴PC= = =5．
【知识点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，可知AP=AQ，∠PAQ=60°， 可得出△APQ是等边三角形，利用等边三角形的性质，可证得 ∠PAC+∠CAQ=60°，∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC ，推出∠BAP=∠CAQ，然后利用SAS证明△BAP≌△CAQ，利用全等三角形的性质，可证得结论。
（2）利用等边三角形的性质，去证明∠PQC=90°及PB=QC，再利用勾股定理求出PC的长。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B
一、选择题
1．（2017八下·无棣期末）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A. 不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B. 不是中心对称图形，本选项不符合题意；
C.；是中心对称图形，本选项符合题意
D. 不是中心对称图形，本选项不符合题意。
故选C.
2．（2017·凉州模拟）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣2）
C．（﹣1，2） D．（1，2）
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，
∴点A′的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1，
∴A′的坐标为（﹣1，1）．
故选：A．
【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．
3．（2017·浙江模拟）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（ ）
A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长
【答案】D
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，
乙所用铁丝的长度为：2a+2b，
丙所用铁丝的长度为：2a+2b，
故三种方案所用铁丝一样长．
故选：D．
【分析】分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．
4．（2016九上·阳新期中）如图，这是一个正面为黑，反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】生活中的旋转现象
【解析】【解答】解：A、C和D旋转之后都不能与图形拼满，B旋转180°后可得出与图形相同的形状，故选B．
【分析】将所给的拼木分别尝试拼接或由拼木盘观察，直接选出拼木．
5．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试A）规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十边形
【答案】C
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：A、正三角形的最小旋转角是120°，故不符合题意；
B、正方形的旋转角度是90°，故不符合题意；
C、正六边形的最小旋转角是60°，故符合题意；
D、正十角形的最小旋转角是36°，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质及正多边形的性质，可知正三角形最小旋转角为120°；正方形的最小旋转角为90°；正六边形的最小旋转角为60°；正十边形的最小旋转角为36°，即可得出答案。
6．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC= ，则△ABC移动的距离是（ ）
A． B． C． D． ﹣
【答案】D
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，
∴AB∥DE，
∴△ABC∽△HEC，
∴ =（ ）2= ，
∴EC：BC=1： ，
∵BC= ，
∴EC= ，
∴BE=BC﹣EC= ﹣ ．
故答案为：D．
【分析】根据平移的性质，易证△ABC∽△HEC，由已知重叠部分的面积是△ABC面积的一半 ，就可得出（ ）2= ，由EC的长，就可求出BC的长，然后求出平移的距离BE的长即可。
7．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由A（a，1）关于原点的对称点为B（﹣4，b），得
a=4，b=﹣1，
a+b=3，
故答案为：C．
【分析】根据关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，求出a、b的值，然后求出a与b的和即可。
8．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的是（ ）
A．∠BCB′=∠ACA′ B．∠ACB=2∠B
C．∠B′CA=∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质得，∠BCB'和∠ACA'都是旋转角，则∠BCB′=∠ACA′，故A不符合题意，
∵CB=CB'，
∴∠B=∠BB'C，
又∵∠A'CB'=∠B+∠BB'C，
∴∠A'CB'=2∠B，
又∵∠ACB=∠A'CB'，
∴∠ACB=2∠B，故B不符合题意；
∵∠A′B′C=∠B，
∴∠A′B′C=∠BB′C，
∴B′C平分∠BB′A′，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质：旋转角相等，可对A作出判断；由旋转前后的两个图形全等，可证得∠ACB=∠ACB，∠B=∠B，CB=CB，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质，可对B、D作出判断；由题意不能证明AB=CB，综上所述，可得出答案。
9．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，将△ABC沿BC翻折得到△DBC，再将△DBC绕C点逆时针旋转60°得到△FEC，延长BD交EF于H．已知∠ABC=30°，∠BAC=90°，AC=1，则四边形CDHF的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；旋转的性质
【解析】【解答】解： ∵∠ABC=30°，∠BAC=90°，AC=1，
∴BC=2AC=2，
∴AB= = ，
由翻折、旋转的性质知AC=CD=CF=1，∠ACB=∠BCD=∠FCE=60°，
∴∠ACF=180°，即点A、C、F三点共线，CE=CB=2，EF=BD=AB= ，∠E=∠ABC=30°，
∴DE=2﹣1=1，
在Rt△DEH中，DH= DE= ，
S四边形CDHF=S△CEF﹣S△DEH= ×1× ﹣ ×1× = ．
故答案为：C．
【分析】利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出BC的长，利用勾股定理求出AB的长，再根据翻折和旋转的性质，可证AC=CD=CF=1，∠ACB=∠BCD=∠FCE=60°，可证得点A、C、F三点共线，然后求出EF、DE、DH的长，根据S四边形CDHF=S△CEF﹣S△DEH，就可求出答案。
10．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，A，B的坐标为（1，0），（0，2），若将线段AB平移至A1B1，则a﹣b的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解： ∵A（1，0），A1（3，b），B（0，2），B1（a，4），
∴平移规律为向右3﹣1=2个单位，向上4﹣2=2个单位，
∴a=0+2=2，b=0+2=2，
∴a﹣b=2﹣2=0．
故答案为：C．
【分析】根据点A和A1的横坐标的变化及点B和B1的纵坐标的变化，就可得出平移的方法，即可求出a、b的值，然后求出a-b的值。
11．（2017·巴彦淖尔模拟）如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（ ）
A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵△ABE向右平移2cm得到△DCF，
∴EF=AD=2cm，AE=DF，
∵△ABE的周长为16cm，
∴AB+BE+AE=16cm，
∴四边形ABFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD
=AB+BE+AE+EF+AD
=16cm+2cm+2cm
=20cm．
故选C．
【分析】先根据平移的性质得到EF=AD=2cm，AE=DF，而AB+BE+AE=16cm，则四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD，然后利用整体代入的方法计算即可
12．（2017七下·新野期末）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为（ ）
A．70° B．80° C．84° D．86°
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】由旋转的性质可知：∠B=∠AB1C1，AB=AB1，∠BAB1=100°．
∵AB=AB1，∠BAB1=100°，
∴∠B=∠BB1A=40°．
∴∠AB1C1=40°．
∴∠BB1C1=∠BB1A+∠AB1C1=40°+40°=80°．
故答案为：B．
【分析】由旋转的性质可知∠B=∠AB1C1，AB=AB1，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B=∠BB1A=∠AB1C1=40°，从而可求得∠BB1C1=80°．
二、填空题
13．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移 OB个单位，则点C的对应点坐标为 ．
【答案】（1，3）
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解： ∵在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），
∴OC=OA=2，C（0，2），
∵将正方形OABC沿着OB方向平移 OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
∴点C的对应点坐标是（1，3）．
故答案为（1，3）．
【分析】根据题意可得出点C的坐标，再由已知条件：将正方形OABC沿着OB方向平移 OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，根据点的坐标平移规律：上加下减，左减右加，就可得出点C的对应点的坐标。
14．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm．将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为 cm．
【答案】13
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解： ∵将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，
∴EF=DC=4cm，FC=7cm，
∵AB=AC，BC=12cm，
∴∠B=∠C，BF=5cm，
∴∠B=∠BFE，
∴BE=EF=4cm，
∴△EBF的周长为：4+4+5=13（cm）．
故答案为：13．
【分析】由已知条件：将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，利用平移的性质，就可求出CF、EF的长，再证明∠B=∠BFE，可证得BE=EF，求出BE、BF的长，然后求出△EBF的周长。
15．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD= 度．
【答案】30
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解： ∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，
∴∠BOD=45°，
∴∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=45°﹣15°=30°．
故答案为：30．
【分析】利用旋转的性质，根据旋转角为45°，可得出∠BOD=45°，再根据∠AOD=∠BOD﹣∠AOB，就可求出结果。
16．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D= cm．
【答案】1.5
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解： ∵在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，
∴AB= =5cm，
∵点D为AB的中点，
∴OD= AB=2.5cm．
∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，
∴OB1=OB=4cm，
∴B1D=OB1﹣OD=1.5cm．
故答案为1.5．
【分析】利用勾股定理求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，就可求出OD的长，然后根据旋转的性质，就可证得BO=B1O，根据B1D=OB1﹣OD，就可求出B1D。
17．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE（其中点B恰好落在AC延长线上点D处，点C落在点E处），连接BD，则四边形AEDB的面积为 ．
【答案】
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解： ∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转，使点C落在E处，点B恰好落在AC延长线上点D处，
∴AD=AB=5，
∴CD=AD﹣AC=1，
∴四边形AEDB的面积为 ，
故答案为：
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据旋转的性质，可证得AD=AB=5，从而可求出CD的长，然后根据四边形AEDB的面积 =2×△ABC的面积+△BCD的面积，即可求解。
18．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）若将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，OB=2，则点A关于原点对称的点的坐标为 ．
【答案】（﹣1，﹣1）
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，
∵△AOB是等腰直角三角形，OB=2，
∴OD=AD=1，
∴A（1，1），
∴点A关于原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣1）．
故答案为（﹣1，﹣1）．
【分析】过点A作AD⊥OB于点D，根据等腰直角三角形的性质求出OD及AD的长，故可得出A点坐标，再由关于原点对称的点的坐标特点即可得出结论．
三、解答题
19．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，下列网格中，每个小正方形的边长都是1，图中“鱼”的各个顶点都在格点上．
（1）把“鱼”向右平移5个单位长度，并画出平移后的图形．
（2）写出A、B、C三点平移后的对应点A′、B′、C′的坐标．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：结合坐标系可得：A'（5，2），B'（0，6），C'（1，0）．
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据平移的性质，抓住图形中的关键点，作出这些关键点的对称点，再连接各个点，即可作出平移后的图形。
（2）根据直角坐标系中所画出的图形， 写出点A′、B′、C′的坐标 。
20．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3 ，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．
（1）线段DC= ；
（2）求线段DB的长度．
【答案】（1）4
（2）解：作DE⊥BC于点E．
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵AC⊥BC，
∴∠DCE=∠ACB﹣∠ACD=90°﹣60°=30°，
∴Rt△CDE中，DE= DC=2，
CE=DC cos30°=4× =2 ，
∴BE=BC﹣CE=3 ﹣2 = ．
∴Rt△BDE中，BD= = = ．
【知识点】解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵AC=AD，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴DC=AC=4．
故答案是：4；
【分析】（1）利用旋转的性质，可知AC=AD，∠CAD=60°，可得到△ACD时等边三角形，继而可求出DC的长。
（2） 作DE⊥BC于点E，利用等边三角形的性质及垂直的定义，就可求出∠DCE，再利用解直角三角形求出CE，BE，然后在Rt△BDE中，利用勾股定理求出BD的长。
21．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．
（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是 个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是 ；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是 度；
（2）连结AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．
【答案】（1）2；y轴；120
（2）解：如图，
∵等边△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB，
∴OA=OD，
∵∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠DOC=60°，
即OE为等腰△AOD的顶角的平分线，
∴OE垂直平分AD，
∴∠AEO=90°．
【知识点】轴对称的性质；平移的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），
∴△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD；
∴△AOC与△BOD关于y轴对称；
∵△AOC为等边三角形，
∴∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠AOD=120°，
∴△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB．
故答案为2；y轴；120．
【分析】（1）根据平移的性质及点A的坐标，可得到平移的距离；利用轴对称的性质，可得出△AOC与△BOD关于直线对称的对称轴，利用旋转的性质， 可求出旋转角的度数。
（2）利用旋转的性质，可知OA=OD，求出∠DOC，从而可证得OE为等腰△AOD的顶角的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，就可求出∠AEO的度数。
22．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图的平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）若点M是△ABC内一点，其坐标为（a，b），点M在△A1B1C1内的对应点为M1，则点M1的坐标为 ；
（3）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
【答案】（1）解：如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）（a，b﹣5）
（3）解：如图所示：△A2B2C2，即为所求
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）∵点M是△ABC内一点，其坐标为（a，b），点M在△A1B1C1内的对应点为M1，
∴点M1的坐标为：（a，b﹣5）；
故答案为：（a，b﹣5）
【分析】（1）根据平移的性质及作图，将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1即可。
（2）根据平移规律：向下平移5个单位，横坐标不变，纵坐标减去5，就可得出点 M1的坐标 。
（3）根据关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，就可作出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2。
23．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（顶点是网格线的交点）
（1）①先将△ABC竖直向上平移5个单位，再水平向右平移4个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
②将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；
（2）求线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积．
【答案】（1）解：如图所示：△A1B1C1，△A2B1C2即为所求
（2）解：线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为： = π
【知识点】扇形面积的计算；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）①根据平移的性质及作图，先将△ABC竖直向上平移5个单位，再水平向右平移4个单位就可得到△A1B1C1； ②利用旋转的性质，将点A1、C1绕B1点顺时针旋转90°，可得到点A2、C2，再画出△A2B1C2即可。
（2）线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积就是以B1为圆心， 3为半径，圆心角为90°的扇形的面积，再利用扇形的面积公式计算可求解。
24．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣1），B（﹣3，3），C（﹣4，1）
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）画出△ABC绕点A按逆时针旋转90°后的△AB2C2，并写出点C的对应点C2的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为△ABC关于y轴对称的图形；
则B1的坐标是（3，3）；
（2）解：△ABC绕点A按逆时针旋转90°后的△AB2C2是：
则点C的对应点C2的坐标是（﹣3，﹣4）．
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变。先分别作出点A、B、C关于y轴的对称的点 A1、B1、C1，再画出△A1B1C1， 然后写出点B1的坐标 。
（2）根据旋转的性质，先作出点B、C绕点A按逆时针旋转90°后的对称点的点B2、C2，再画出△AB2C2，然后写出点C2的坐标。
25．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第三章图形的平移与旋转 单元测试B）已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．
（1）求证：PB=QC；
（2）若PA=3，PB=4，∠APB=150°，求PC的长度．
【答案】（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，
∴AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中
，
∴△BAP≌△CAQ（SAS），
∴PB=QC；
（2）解：∵由（1）得△APQ是等边三角形，
∴AP=PQ=3，∠AQP=60°，
∵∠APB=150°，
∴∠PQC=150°﹣60°=90°，
∵PB=QC，
∴QC=4，
∴△PQC是直角三角形，
∴PC= = =5．
【知识点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，可知AP=AQ，∠PAQ=60°， 可得出△APQ是等边三角形，利用等边三角形的性质，可证得 ∠PAC+∠CAQ=60°，∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC ，推出∠BAP=∠CAQ，然后利用SAS证明△BAP≌△CAQ，利用全等三角形的性质，可证得结论。
（2）利用等边三角形的性质，去证明∠PQC=90°及PB=QC，再利用勾股定理求出PC的长。
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