江西省吉安市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题（含解析）

吉安市高一上学期期末教学质量检测2024.1
数学试题
（测试时间：120分钟 卷面总分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名﹑准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．命题p：“，”的否定是
A．“，” B．“，”
C．“，” D．“，”
3．已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是
A． B． C． D．
4．已知事件A，B是互斥事件，，，则
A． B． C． D．
5．下列区间内存在方程的根的是
A． B． C． D．
6．某人拥有一辆价值20万元的轿车，已知轿车以每年8%的幅度贬值，则这个人至多几年后卖出这辆轿车，才不会以低于15万元的价格成交（参考数据：，）
A．3年 B．4年 C．5年 D．6年
7．已知函数与（）交于和两点，则的取值范围是
A． B． C． D．
8．设函数的定义域为R，且，当时，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为
A． B．
C． D．
10．某人连续掷两次骰子，表示事件“第一次掷出的点数是2”，表示事件“第二次掷出的点数是3”．表示事件“两次掷出的点数之和为5”，表示事件“两次掷出的点数之和为9”．则
A．与相互独立 B．与相互独立 C．与不相互独立 D．与不相互独立
11．设表示不超过x的最大整数，如，，已知函数，（）．下列结论正确的是
A．函数是偶函数
B．当时，函数的值域是
C．若方程只有一个实数根，则
D．若方程有两个不相等的实数根，则
12．设，，下列命题正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．为了坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某学校在课余时间提供了多种社团供学生们选择，每位同学都可以选择多种社团，其中选择舞蹈社团或园艺社团的同学有90人，选择舞蹈社团的同学有55人，选择园艺社团的同学有60人，则既选择舞蹈社团又选择园艺社团的人数是 ．
14．已知甲组样本数据（，2，…，6），如下表所示：
2 3 3 4 6 6
若乙组样本数据，则乙组样本数据的平均数 ，乙组样本数据的方差 ．
15．若函数，在R上单调涕减，则实数a的取值范围是 ．
16．已知函数（）有三个不同的零点，，，其中，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
按要求完成下列题目．
（1）若，求；
（2）计算：．
18．（本小题满分12分）
已知集合，，若，求实数m的取值范围．
19．（本小题满分12分）
为了解同学们每天进行户外锻炼的时长，某兴趣小组在高一年级随机调查了500位同字，得到如下的样本数据的频率分布直方图．
（1）求a，并估计每天户外锻炼时长在40min～70min的人数；
（2）用样本估计总体，估计高一年级同学每天进行户外锻炼的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）求高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数．
20．（本小题满分12分）
狗牯脑茶是江西珍贵名茶之一，产于罗霄山脉南麓支脉，吉安市遂川县汤湖镇狗牯脑山，该山形似狗头，取名“狗牯脑”所产之茶即从名之．某茶叶种植户欲生产狗牯脑茶，经过市场调研，生产狗牯脑茶需投入年固定成本3万元，每生产x（）吨另需投入流动成本万元，已知在年产量不足12吨时，，在年产量不少于12吨时，，每千克狗牯脑茶售价140元，通过市场分析，该茶叶种植户的狗牯脑茶当年能全部售完．
（1）写出年利润（单位：万元）关于年产量x（）（单位：吨）的函数解析式（年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本）；
（2）年产量为多少吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
21．（本小题满分12分）
已知定义域为的函数对于，，都满足，且当时，．
（1）求，并用定义法判断在区间上的单调性；
（2）是否存在实数k，使得关于x的不等式，恒成立？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数是偶函数，且，．
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间（）的值域是，求的取值范围．
吉安市高一上学期期末教学质量检测2024.1
数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B D C C C A
题号 7 8 9 10 11 12
答案 C A AC ACD BC ACD
1．【答案】B
【解析】集合，即，∴．
2．【答案】D
【解析】对命题p改写量词，否定结论，有：，．
3．【答案】C
【解析】由二次函数的对称轴及复合函数的单调性，得，解得．
4．【答案】C
【解析】∵，，∴，∵事件A，B是互斥事件，∴．
5．【答案】C
【解析】令，则．∴在区间上存在零点，即方程在区间上存在实数根．
6．【答案】A
【解析】由题意知，轿车价格y与年份x之间的函数关系式为，∴，故，∴，故这个人至多3年后卖出这辆轿车，才不会以低于15万的价格成交．
7．【答案】C
【解析】由题意知：，不妨设，则，，∴，而，当且仅当时取等号，由于无法取等，∴的取值范围是．
8．【答案】A
【解析】∵，∴当x每增大4，对应的纵坐标都变原来的2倍，而当时，，此时的最小值为，结合的图象，在上的最小值为，而当时，，令，解得或，若，显然不符题意，即．
9．【答案】AC
【解析】根据图中阴影可知，符合题意，又，∴也符合题意．
10．【答案】ACD
【解析】由题意知，，
，
．
∵，
∴与相互独立，A正确．
∵，
∴与不相互独立，B错误．
∵，
∴与不相互独立，C正确．
∵，
∴与不相互独立，D正确．
11．【答案】BC
【解析】画出的图象如下图：
函数的图象不关于y轴对称，A错误．
当时，函数，∵，∴，故，即函数的值域是，B正确．
由图可知，与的图象必有一个交点，若方程只有一个实数根，则，C正确．
若方程有两个不相等的实数根，即与的图象有两个交点，结合图象可得，D错误．
12．【答案】ACD
【解析】，当且仅当时取等号，A正确．
，当且仅当时取等号，B错误．
，当且仅当时取等号，C正确．
，当且仅当时取等号，D正确．
13．【答案】25
【解析】设选择舞蹈社团的同学为集合A，选择园艺社团的同学为集合B，则选择舞蹈社团或园艺社团的同学为集合，既选择舞蹈社团又选择园艺社团的同学为，∵，∴，即既选择舞蹈社团又选择园艺社团的人数是25．
14．【答案】5
【解析】由题意，乙组样本数据如下表所示：
1 3 3 5 9 9
则乙组样本数据的平均数，
乙组样本数据的方差．
15．【答案】
【解析】当时，即时，，不符合题意．舍去．当时，有，解得．
16．【答案】64
【解析】令，由可化为，∵，∴，即必有两个不同的根，，且，故，异号，设为负，为正，结合题意，可画出大致示意图如下：
由图可知，有唯一解，
有两个解，，且，故
．
17．解：
（1）∵，
∴，
．
（2）．
18．解：
∵集合，
∴，
又，当时，，
解得或．
当时，，
解得．
综上所述，实数m的取值范围是．
19．解：
（1）∵，∴，
（人）．
（2）由题意知，（min）．
（3）∵，．
∴高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分们数在之间，设高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数为x，则，解得，
∴高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数是49.5min．
20．解：
（1）由题意知，1吨狗牯脑茶售价为14万元，当时，，
当时，，
故年利润（万元）关于年产量x（吨）的函数解析式为．
（2）当时，，当时，取得最大值．
当时，．
当且仅当，即时取等号，
即当时，取得最大值．
∵50＜54，
∴当年产量为18吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是54万元．
21．解：
（1）令，则，即，
令，，且，则，，
又当时，，
∴，
∴，
故在区间上单调递增．
（2）不存在，理由如下：
∵在区间上单调递增，且关于x的不等式恒成立，
∴，
即在区间上恒成立．
当时，二次函数的对称轴，
∴当时，，
又，
∴，
故当时，无满足题意的实数k．
当时，
∵二次函数的对称轴，
∴只需，解得，
故当时，无满足题意的实数k．
综上所述，不存在实数k，使得关于x的不等式恒成立．
22．解：
（1）∵是偶函数，
∴，
∴．
又，，
∴，解得，
∴的解析式为．
（2）由（1）知，
∵，
当且仅当时取等号，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增．
又在区间上单调递增，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，，
令，则或，
当，时，取得最大值，
当，时，取得最小值，
∴的取值范围是．