贵阳市普通中学 2023-2024 学年度第一学期期末监测考试试卷
高一数学参考答案与评分建议
2024.1
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B D A A C C
二、多项选择题（本题共 2 小题，每小题 4 分，共 8 分。）
题号 9 10
答案 B D B C D
三、填空题（本大题共5小题，每小题4 分，共20分。）
4
11. 3 12. 2 13.
3 3
14. 1 15. ， ( , )
4 64
四、解答题（本大题共 4 小题，每小题8分，共32 分。解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤。）
16.解：若点 (x, y) 与原点的距离为 r ，则终边过点 (x, y) 的角 的三角函数值分别为
y x y
sin = ， cos = ， tan = ；
r r x
又点 ( 3,4)与原点的距离 r = ( 3)2 + 42 = 5；………………………………….2 分
y 4 x 3 y 4
所以sin = = ；cos = = ； tan = = .
r 5 r 5 x 3
.………………………………. …………………………………………………………8 分.
1 1
17.解：（1）因为 a 2 + a 2
,
= 3
1 1
所以 (a 2 + a 2 )2 = a + a 1 + 2 = 9 ,故a + a
1 = 7 ；
…………………………………………. ………………………………………….……4 分
（2）因为 log2[log3(log4 x)] = 0，
高一数学 第 1 页 （共 3 页）
{#{QQABaQCAogCoAABAAAhCAwmICkAQkBEAACoOxEAEIAAAyQFABAA=}#}
所以 log3(log4 x) =1，所以 log4 x = 3，
所以 x = 43 = 64 . .……………………………………………….………….………8 分.
1
18.解：（1）可知函数 f (x) = x 的定义域为{x | x 0}，
x
因为 x {x | x 0}，都有 x {x | x 0}，
1 1
且 f ( x) = x + = (x ) = f (x) ，
x x
1
所以，函数 f (x) = x 为奇函数；…………………………………. ………….4 分
x
（2） x1,x2 （0，+ ），且x1 x2
1 1
f (x1) f (x2 ) = (x1 ) (x2 )
x1 x
2
1 1 x x
= (x 1 21 x2 ) + ( ) = (x1 x2 ) + ( )
x2 x1 x1x2
1 (x
= (x x )(1+ ) = 1
x2 )(x1x2 +1)
1 2
x1x2 x1x2
∵ x1, x2 （0，+ ），且x1 x2
∴ x1 x2 0，x1x2 0，x1x2 +1 0 ，
(x x
∴ 1 2
)(x1x2 +1) ，即 f (x1) f (x2 ) 0 ，
x1x2
∴ f (x1) f (x2 )，即 f (x) 在（0，+ ) 上单调递增。
………………………….……………………………………………….……….……8 分.
19.解：（1） f (x) = cos(2x + ) ，
3
2
令 2k ≤2x + ≤2k ， k Z，解得 k ≤ x≤ k ，k Z，
3 3 6
2
可得函数的单调递增区间为[k ,k ]，k Z，
3 6
高一数学 第 2 页 （共 3 页）
{#{QQABaQCAogCoAABAAAhCAwmICkAQkBEAACoOxEAEIAAAyQFABAA=}#}
k k
令 2x + = + k ，解得 x = + ，可得对称中心为 ( + ,0),k Z；
3 2 2 12 2 12
………………………….……………………………………………….……….……4 分
（2）方程2sin2 x mcos x 4 = 0在 x (0， )上有实数解，
2
即 2cos2 x +mcos x + 2 = 0在 x (0， )上有实数解，
2
令 t = cos x，因为 x (0， )上，所以 t (0,1)，
2
1
则 2t2 +mt + 2 = 0在 (0,1) 上有解，m = 2(t + ) ，
t
1
易得 f (t) = 2(t + ) 在 (0,1) 上单调递增，且 t→ 0时， f (t) → ，
t
所以m f (1) = 4 ，
所以m范围为 ( , 4) . ……………………….………………………………………8 分.
五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分。解答应写出文字说明，条理清晰。）
20.解：（1）由题意得
1 1 ab ab b a
+ = + = + =1; ………………………….4 分
1+ a2 1+ b2 ab + a2 ab + b2 b + a a + b
（2）解法 1（整体代入）：由ab =1
ab 1 b 1 3b2 + 2b +1 (3b2 + 4b +1)-2b
M = + = + = =
ab+ a 1+3b b+1 1+3b 3b2 + 4b +1 3b2 + 4b +1
2b 2
=1 =1
3b2 + 4b +1 1 ，
3b + + 4
b
1 1 1 3
因为3b+ ≥2 3b = 2 3 当且仅当3b = ，即b = ,a = 3 时等号成立，
b b b 3
1
1 2 3
因为3b+ 有最小值2 3 此时 1 有最大值 ，
b 3b + + 4 2
b
2
1
从而 1 最小值 3 1，即M 有最小值 3 1．
3b + + 4
b
1
解法 2(消元思想）：由题意得ab =1， a =
b
高一数学 第 3 页 （共 3 页）
{#{QQABaQCAogCoAABAAAhCAwmICkAQkBEAACoOxEAEIAAAyQFABAA=}#}
1 1 1 1 b 1 3b2 + 2b +1 (3b2 + 4b +1)-2b
M = + = + = + = =
1+ a 1+3b 1 1+ 3b 1+b 1+3b 3b2 + 4b +1 3b2 + 4b +1
1+
b
2b 2
=1 =1
3b2 + 4b +1 1 ，
3b + + 4
b
1 1 1 3
因为3b+ ≥2 3b = 2 3 当且仅当3b = ，即b = ,a = 3 时等号成立，
b b b 3
1
1 2 3
因为3b+ 有最小值2 3 此时 1 有最大值 ，
b 3b + + 4 2
b
2
1
从而 1 最小值 3 1，即M 有最小值 3 1．
3b + + 4
b
………………………….……………………………………………….……….…….8 分
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{#{QQABaQCAogCoAABAAAhCAwmICkAQkBEAACoOxEAEIAAAyQFABAA=}#}启用前★注意保密
贵阳市普通中学 2023-2024 学年度第一学期期末监测考试试卷
高 一 数 学
2024.1
注意事项：
1．本试卷共 6页，满分 100分，考试时间 120分钟．
2．答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分．
3．考试过程中不得使用计算器．
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。每小题有四个选项，其中只有一
个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上。）
1.全集U ={0,1,2,3,4,5,6,7}，集合M ={0,1,2,3},N ={3,4,5}，U ,M ,N 的关系如图
所示，则图中阴影部分表示的集合为
A． 1,2,3,4，5 B． 4,5
C． 3 D．
2.命题“ x R x2 ， + x +1≥0”的否定是
A． x R， x2 + x +1≥0 2 B． x R， x + x +1 0
x R x2C． ， + x +1 0 D． x R 2， x + x +1 0
3.对任意角 和 ，“sin = sin ”是“ = ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2
4.已知函数 f (x) = + log0.5(2 x)，则 f (x) 的定义域为
4x 3
3 3
A． ( , 2) B． ( , 2]
4 4
3 3
C． ( ，2) D． ( ，) ( ，2)
4 4
高一数学试卷 第 1 页 （共 6 页）
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f (x) = 2x5.设函数 + x的零点为 x0 ，则 x0 所在的区间是
A． ( 1，0) B． ( 2， 1)
C． (1,2) D． (0,1)
1 1
1 1
6.设a = ( )2 ，b = 25 ，c = log ，则 的大小关系为 2 a,b,c
2 5
A．c a b B．c b a
C．a b c D．a c b
11
7.下列式子中，与sin( ) 的值不相等的是
6
A．2sin15 sin75 B．cos18 cos42 sin18 sin 42
2 tan 22.5
C．2cos 15 1 D．
1 tan2 22.5
8.某池塘野生水葫芦的覆盖面积与时间的函数关系图象如图所示.假设其函数关系为指数
函数，其中说法错误的是
A．此指数函数的底数为 2
B．在第5个月时，野生水葫芦的覆盖面积会超过30m2
C．野生水葫芦从4m2 蔓延到12m2只需1.5个月
D．设野生水葫芦蔓延至2m2 ，3m2 ，6m2 所需的时间分别为 x1 ， x2 ， x3 ，则有
x1 + x2 = x3
高一数学试卷 第 2 页 （共 6 页）
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二、多项选择题（本题共 2 小题，每小题 4 分，共 8 分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求，全部选对得 4分，部分选对得 2分，有选错得 0分。）
9.已知a,b,c R ，则下列命题正确的是
1 1
A．若 ，则a b
a b
ac2B．若 bc2 ，则a b
C．若a b， c d，则a c b d
a a + c
D．若a b 0，c 0，则
b b + c
10.下列说法中，正确的是
1
A．函数 y = 在定义域上是减函数
x
e x 1
B．函数 y = 是奇函数
e x +1
C．函数 y = f (x + a) b为奇函数，则函数 y = f (x) 的图象关于点P(a,b) 成中心
对称图形
D．函数 f (x) 为定义在（- ，0）（0，+ ）上的奇函数，且 f (3) =1，对于任意
x f (x ) x f (x ) 3
x1, x2 (0,+ )， x x ，都有
1 1 2 2
1 2 0 成立，则 f (x)≤ 的解集为
x1 x2 x
（- ，-3] (0,3]
三、填空题（本大题共5小题，每小题 4 分，共 20 分。请将你认为正确的答案填在答题
卷的相应位置上。）
2 m
11.幂函数 f (x) = (m 2m 2)x 在 (0,+ )上单调递增，则m = .
12.函数 y = sin x + cos x的最大值是 .
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S
13.已知圆和矩形的周长相等，面积分别为 S1 ， S2 ，则
1 的最小值为 .
S2
14.已知函数 f (x) = 2sin( x + ) ( 0, ) 的部分图像如图所示，则 f ( ) = .
2 3
3
15.已知函数 f (x) = 2kx2 kx （0≤ x≤2，k R），若 k =1 ，则该函数的零点
8
为 .若对 x [0，2]，不等式 f (x) 2k 恒成立，则实数 k的取值范围为 .
四、解答题（本大题共 4 小题，每小题8分，共 32 分。解答应写出文字说明，证明过程
或演算步骤。）
16.（本小题满分 8 分）
已知角 的终边过点 ( 3,4)，求角 的三个三角函数值.
17.（本小题满分 8 分）
1 1
（1）已知 2 2 ，求a + a
1的值； a + a = 3
（2）已知 log2[log3(log4 x)] = 0，求 x的值.
高一数学试卷 第 4 页 （共 6 页）
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18.（本小题满分 8 分）
1
已知函数 f (x) = x .
x
（1）判断函数 f (x) 的奇偶性；
（2）根据定义证明函数 f (x) 在区间 (0,+ )上单调递增.
19.（本小题满分 8 分）
1
将函数 f (x) = cos(x + )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到
3 2
函数 g(x) 的图象.
（1）求函数 g(x) 的单调递增区间和对称中心；
2
（2）若关于 x的方程 2sin x mcos x 4 = 0在 x (0， )上有实数解，求实数m的取
2
值范围．
五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分。解答应写出文字说明，条理清晰。）
20.（本小题满分 8 分）
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部
分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发
现新问题、新结论的重要方法。
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解
决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体
代入：（4）整体求和等。
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1 1
例如，ab =1，求证： + =1.
1+ a 1+ b
ab 1 b 1
证明：原式= + = + =1.
ab+ a 1+b b+1 1+b
阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一
元问题，再结合一元问题处理方法进行研究。
a + b
例如，正实数a,b满足ab =1，求 的最小值.
(1+ a)b
1
解：由ab =1，得b = ，
a
1
a +
a + b a a
2 +1 (a +1)2 2(a +1) + 2
∴ = = =
(1+ a)b 1 a +1 a +1
(1+ a)
a
2 2
= (a +1)+ 2≥2 (a +1) 2 = 2 2 2 ，
a +1 a +1
当且仅当a +1= 2 ，即a = 2 1，b = 2 +1时，等号成立.
a + b
∴ 的最小值为2 2 2 .
(1+ a)b
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四
处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征。
结合阅读材料解答下列问题：
1 1
（1）已知ab =1，求 + 的值；
1+ a2 1+b2
1 1
（2）若正实数a,b满足ab =1，求M = + 的最小值.
1+ a 1+3b
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