2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：1.4 角平分线 课时1 角平分线的性质与判定
一、填空题
1．角的内部到角的两边的 相等的点在角的 上;因此判定角平分线,需要满足两个条件:“ ”和“ ”.其一般思路是:“作垂直,证相等”.
二、选择题
2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（ ）
A．PC>PD B．PC=PD C．PC
3．（2017·于洪模拟）如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（ ）
A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD
C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD
4．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA=PB B．PO平分∠APB
C．OA=OB D．AB垂直平分OP
5．（2017·昆山模拟）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
6．（2017八上·宜昌期中）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠BAC=70° B．∠DOC=90° C．∠BDC=35° D．∠DAC=55°
7．如图，点P是∠BAC内一点，且到AB，AC的距离PE，PF相等，则△PEA≌△PFA的依据是（ ）
A．HL B．ASA C．SSS D．SAS
8．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是（ ）
A．线段CD的中点 B．CD与∠AOB的平分线的交点
C．CD与过点O作的CD的垂线的交点 D．以上均不对
9．如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于F，连接AF，下列结论正确的是（ ）
A．AF平分BC B．AF平分∠BAC
C．AF⊥BC D．以上结论都正确
10．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（ ）
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠E的平分线
D．组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)
11．如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF相交于D，则：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上，正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①
三、解答题
12．如图,点P是△ABC中∠BAC的平分线和△ABC的外角∠BCD的平分线的交点.求证:点P到BC,BE的距离相等
13．如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB,交BC于点D,DE⊥AB于点E,若AB=6 cm,求△DEB的周长.
14．如图,在四边形ABCD中,AC为∠BAD的平分线,AB=AD,E,F在AB,AD上,且AE=DF,请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD面积的一半.
15．如图,AE∥CF,AG,CG分别平分∠EAC和∠FCA,过点G的直线BD⊥AE,交AE于B,交CF于D.
求证:AB+CD=AC.
16．如图,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC.
求证:∠BAD+∠C=180°.
17．如图,PA=PB,∠1+∠2=180°.求证:OP平分∠AOB.
18．如图,已知F,G是OA上两点,M,N是OB上两点,且FG=MN,△PFG和△PMN的面积相等.试判断点P是否在∠AOB的平分线上,并说明理由.
19．如图,李明计划在张村E、李村F之间建一家超市,张、李两村坐落在两相交公路内.超市的位置应满足下列条件:(1)使其到两公路的距离相等;(2)为了方便群众,超市到两村的距离之和最短,请你通过作图确定要建超市的位置(简要说明作法).
20．如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC.若连接AM,则AM是否平分∠DAB 并说明理由.
21．如图,CE⊥AB,BF⊥AC,垂足分别为E,F,BF交CE于点D,BD=CD.
（1）求证:点D在∠BAC的平分线上.
（2）若将条件“BD=CD”与(1)中结论“点D在∠BAC的平分线上”互换,成立吗 试说明理由.
答案解析部分
1．【答案】距离；平分线；垂直；相等
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解 ：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上;因此判定角平分线,需要满足两个条件:“垂直”和“相等”.其一般思路是:“作垂直,证相等”.
故答案为 ：距离；平分线；垂直；相等。
【分析】角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上;因此判定角平分线,需要满足两个条件:“垂直”和“相等”.其一般思路是:“作垂直,证相等”.
2．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，
∴ PC=PD
故应选：B
【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知PC=PD 。
3．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：A．PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO=∠PDO=90°，根据AAS判定定理成立，
B．OC=OD，根据SAS判定定理成立，
C．∠OPC=∠OPD，根据ASA判定定理成立，
D．PC=PD，根据SSA无判定定理不成立，
故选D．
【分析】要得到△POC≌△POD，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．于是答案可得．
4．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴PA=PB，故A选项正确；
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（HL），
∴∠AOP=∠BOP，OA=OB，故B、C选项正确；
由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，故D选项错误．
故选D．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PA=PB，再利用“HL”证明△AOP和△BOP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOP=∠BOP，全等三角形对应边相等可得OA=OB．
5．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选C．
【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4．
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°，
故A选项正确，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABO= ∠ABC= ×50°=25°，
在△ABO中，
∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°，
∴∠DOC=∠AOB=85°，
故B选项错误；
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD= （180°﹣60°）=60°，
∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°，
故C选项正确；
∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∴AD是△ABC的外角平分线，
∴∠DAC= （180°﹣70°）=55°，
故D选项正确．
故选：B．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°；（2）根据角平分线的定义求出∠ABO=25°，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB=85°再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB=85°；（3）根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠ACD=60°，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC=35°；（4）根据三角形内角和两外角的平分线所在的直线交于一点，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC=55°。
7．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点P到AB、AC的距离相等，
∴PE=PF，∠PFA=∠PEA=90°
又∵PA是公共边，
∴△PEA≌△PFA用的是PA=PA，PE=PF，
符合斜边直角边定理，即HL．
故应选：A．
【分析】根据点P到AB、AC的距离相等，得出PE=PF，∠PFA=∠PEA=90°，又PA是公共边，从而得出△PEA≌△PFA用的是PA=PA，PE=PF，从而得出结论。
8．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可知点P是CD与∠AOB的平分线的交点．
故应选：B．
【分析】要使点P到边OA，OB的距离相等，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，点P应该在∠AOB的平分线上，又点P要在CD上，故应该是两线的交点。
9．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过F点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、D，
∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，
∴EF=GF，GF=DF，
∴EF=DF，
∴AF平分∠BAC．
故应选 ；B．
【分析】过F点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、D， 根据角平分线的性质定理得出EF=GF，GF=DF，从而得出EF=DF，根据角平分线的判定定理得出AF平分∠BAC．
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作 ∠E的平分线，可得点P到AB和CD的距离相等，
∵AB=CD，
∴此时点P满足S△PAB=S△PCD，
故应选：D.
【分析】作 ∠E的平分线，可得点P到AB和CD的距离相等，又AB=CD，根据等底等高的三角形的面积相等得出满足条件的点P在组成∠E的平分线所在的直线(E点除外) 。
11．【答案】A
【知识点】垂线；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解 ：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F
∴∠AEB=∠AFC=90 ，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABE≌△ACF，故①正确，
∴AE=AF，
∴BF=CE，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，
∴∠BFD=∠CED=90°
又∵∠BDF=∠CDE，
∴△BDF≌△CDE 故②正确；
∴DF=DE，
∵AE=AF，DE=DF，AD=AD，
∴△AED≌△AFD，
∴∠FAD=∠EAD，
即点D在∠BAC的平分线上；故③正确；
故应选 ：A ，
【分析】根据垂直的定义得出∠AEB=∠AFC=90 ，然后利用AAS判断出△ABE≌△ACF，根据全等三角形对应边相等得出AE=AF，进而得出BF=CE，根据垂直的定义得出∠BFD=∠CED=90°，进而利用AAS判断出△BDF≌△CDE，根据全等三角形对应边相等得出DF=DE，从而利用SSS判断出△AED≌△AFD，根据全等三角形对应角相等得出∠FAD=∠EAD，从而得出即点D在∠BAC的平分线上。
12．【答案】证明:过点P作PM⊥AB于M,PN⊥BC于N,PH⊥AC于H,如图所示.∵AP平分∠BAC,∴PH=PM.同理,PN=PH.∴PM=PN=PH.即点P到BC,BE的距离相等.
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】过点P作PM⊥AB于M,PN⊥BC于N,PH⊥AC于H,根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PH=PM.同理,PN=PH.从而得出PM=PN=PH.从而得出结论。
13．【答案】解:∵AD平分∠CAB,∠C=90°,DE⊥AB,∴CD=DE,∠C=∠DEA=90°.在Rt△ACD和Rt△AED中, ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵CD=DE,∴BC=CD+DB=DE+DB.又∵AC=BC,∴AE=AC=DE+DB,∴DE+DB+BE=AB=6 cm.∴△DEB的周长为6 cm.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等及垂直的定义得出CD=DE,∠C=∠DEA=90°，然后利用HL判断出Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形对应边相等得出AC=AE.又CD=DE,从而得出BC=CD+DB=DE+DB.又AC=BC,从而得出AE=AC=DE+DB,根据三角形的周长得出DE+DB+BE=AB=6 cm。
14．【答案】解:分别过C作CG⊥AB于G,CH⊥AD于H,如图所示.∵AC为∠BAD的平分线,∴CG=CH.∵AB=AD,∴△ABC的面积=△ACD的面积.又∵AE=DF,∴△AEC的面积=△CDF的面积.∵△BCE的面积=△ABC的面积-△AEC的面积,△ACF的面积=△ACD的面积-△CDF的面积,∴△BCE的面积=△ACF的面积.∵四边形AECF的面积=△AEC的面积+△ACF的面积,∴四边形AECF的面积=△AEC的面积+△BCE的面积.∴四边形AECF的面积=△ABC的面积.∵四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积,∴四边形ABCD的面积=2△ABC的面积.∴四边形AECF的面积为四边形ABCD面积的一半.
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【分析】分别过C作CG⊥AB于G,CH⊥AD于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出CG=CH，又AB=AD,根据等底等高的三角形面积相等得出△ABC的面积=△ACD的面积.△AEC的面积=△CDF的面积.根据割补法得出△BCE的面积=△ABC的面积-△AEC的面积,△ACF的面积=△ACD的面积-△CDF的面积,从而得出△BCE的面积=△ACF的面积.又因四边形AECF的面积=△AEC的面积+△ACF的面积,四边形AECF的面积=△AEC的面积+△BCE的面积.四边形AECF的面积=△ABC的面积.四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积,四边形ABCD的面积=2△ABC的面积.四边形AECF的面积为四边形ABCD面积的一半.
15．【答案】证明:过G作GH⊥AC于H,如图所示.方法一:∵AE∥CF,BD⊥AE交CF于D,∴GD⊥CF.∵AG,CG分别平分∠EAC和∠FCA,∴∠BAG=∠GAH,∠GCH=∠GCD.易得∠BGA=∠HGA,∠HGC=∠DGC.又由CD⊥GD,CH⊥GH,AH⊥GH,AB⊥GB.易得CD=CH,AB=AH.∴AB+CD=AH+CH=AC.方法二:∵AE∥CF,BD⊥AE交CF于D.∴GD⊥CF,∵AG平分∠EAC,∴BG=HG.在Rt△AGH和Rt△AGB中,∴Rt△AGH≌Rt△AGB(HL).∴AH=AB.同理可得,CD=CH.∴AB+CD=AH+CH=AC.
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】过G作GH⊥AC于H，方法一 ：根据平行线的性质定理得出GD⊥CF.根据角平分线的定义∠BAG=∠GAH,∠GCH=∠GCD.根据等角的余角相等得出∠BGA=∠HGA,∠HGC=∠DGC.根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出CD=CH,AB=AH，根据线段的和差及等量代换得出AB+CD=AH+CH=AC.
方法二：根据平行线的性质定理得出GD⊥CF，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出BG=HG，然后利用HL判断出Rt△AGH≌Rt△AGB，根据全等三角形对应边相等得出AH=AB.同理可得,CD=CH，根据线段的和差及等量代换得出AB+CD=AH+CH=AC.
16．【答案】证明:过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E,作DF⊥BC于F,如图所示.∵BD平分∠ABC,∴DE=DF.在Rt△ADE和Rt△CDF中,∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).∴∠EAD=∠C.∵∠EAD+∠BAD=180°,∴∠BAD+∠C=180°.
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E,作DF⊥BC于F,根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=DF.然后利用HL判断出Rt△ADE≌Rt△CDF，根据全等三角形对应角相等得出∠EAD=∠C.根据邻补角的定义得出∠EAD+∠BAD=180°,等量代换得出答案∠BAD+∠C=180°.
17．【答案】证明:过点P作PE⊥AO,PF⊥OB,垂足分别为E,F,则∠AEP=∠BFP=90°. ∵∠1+∠2=180°,∠2+∠PBO=180°,∴∠1=∠PBO.在△PAE和△PBF中, ∴△PAE≌△PBF(AAS).∴PE=PF.∴OP为∠AOB的平分线,即OP平分∠AOB.
【知识点】余角、补角及其性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】过点P作PE⊥AO,PF⊥OB,垂足分别为E,F,则∠AEP=∠BFP=90°. 根据邻补角的定义得出∠2+∠PBO=180°,又因∠1+∠2=180°，根据同角的补角相等得出∠1=∠PBO.然后根据AAS判断出△PAE≌△PBF，根据全等三角形对应角相等得出PE=PF.根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出OP为∠AOB的平分线,即OP平分∠AOB.
18．【答案】.解:点P在∠AOB的平分线上.理由:如图,过P分别作PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.
∵S△PFG= FG·PD,S△PMN= MN·PE,
S△PFG=S△PMN,
∴ FG·PD= MN·PE.
又∵FG=MN,
∴PD=PE.
∴点P在∠AOB的平分线上.
【知识点】三角形的面积；角平分线的判定
【解析】【分析】点P在∠AOB的平分线上.理由:如图,过P分别作PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.根据面积法得出S△PFG= FG·PD,S△PMN= MN·PE,又因S△PFG=S△PMN,FG=MN，从而得出PD=PE.根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出点P在∠AOB的平分线上.
19．【答案】解:如图,连接EF,作∠ACB的平分线交EF于点O,则点O就是所要建超市的位置.
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；角平分线的性质
【解析】【分析】由于超市的位置到两公路的距离相等，故超市应建在∠ACB的角平分线上，为了方便群众,超市到两村的距离之和最短，根据两边之间线段最短故超市应该建在线段EF上，从而得出超市应该在EF与∠ACB的角平分线的交点上。
20．【答案】解:AM平分∠DAB.理由如下:过点M作ME⊥AD,垂足为E. ∵∠CDM=∠EDM,MC⊥CD,ME⊥AD,∴ME=MC.∵M是BC的中点,∴MC=MB.∴ME=MB.又∵MB⊥AB,ME⊥AD,∴AM平分∠DAB.
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】AM平分∠DAB.理由如下:过点M作ME⊥AD,垂足为E. 根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出 ME=MC.根据中点的定义得出 MC=MB.从而得出 ME=MB.然后根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出 AM平分∠DAB.
21．【答案】（1）证明:∵CE⊥AB,BF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°.在△BDE和△CDF中,
∴△BDE≌△CDF(AAS).
∴DE=DF.
∴点D在∠BAC的平分线上.
（2）解:将条件“BD=CD”与(1)中结论“点D在∠BAC的平分线上”互换仍然成立.理由如下:∵CE⊥AB,BF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°.
∵点D在∠BAC的平分线上,∴DE=DF.
在△BDE与△CDF中,
∴△BDE≌△CDF(ASA).
∴BD=CD.
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】(1)根据垂直的定义得出∠DEB=∠DFC=90°.然后利用AAS判断出△BDE≌△CDF，根据全等三角形对应边相等得出DE=DF.根据角平分线的判定，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出点D在∠BAC的平分线上；
（2）将条件“BD=CD”与(1)中结论“点D在∠BAC的平分线上”互换仍然成立.理由如下:根据垂直的定义得出∠DEB=∠DFC=90°.根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=DF，然后利用ASA判断出△BDE≌△CDF，根据全等三角形对应边相等得出BD=CD.
1 / 12017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：1.4 角平分线 课时1 角平分线的性质与判定
一、填空题
1．角的内部到角的两边的 相等的点在角的 上;因此判定角平分线,需要满足两个条件:“ ”和“ ”.其一般思路是:“作垂直,证相等”.
【答案】距离；平分线；垂直；相等
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解 ：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上;因此判定角平分线,需要满足两个条件:“垂直”和“相等”.其一般思路是:“作垂直,证相等”.
故答案为 ：距离；平分线；垂直；相等。
【分析】角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上;因此判定角平分线,需要满足两个条件:“垂直”和“相等”.其一般思路是:“作垂直,证相等”.
二、选择题
2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（ ）
A．PC>PD B．PC=PD C．PC【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，
∴ PC=PD
故应选：B
【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知PC=PD 。
3．（2017·于洪模拟）如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（ ）
A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD
C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：A．PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO=∠PDO=90°，根据AAS判定定理成立，
B．OC=OD，根据SAS判定定理成立，
C．∠OPC=∠OPD，根据ASA判定定理成立，
D．PC=PD，根据SSA无判定定理不成立，
故选D．
【分析】要得到△POC≌△POD，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．于是答案可得．
4．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA=PB B．PO平分∠APB
C．OA=OB D．AB垂直平分OP
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴PA=PB，故A选项正确；
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（HL），
∴∠AOP=∠BOP，OA=OB，故B、C选项正确；
由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，故D选项错误．
故选D．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PA=PB，再利用“HL”证明△AOP和△BOP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOP=∠BOP，全等三角形对应边相等可得OA=OB．
5．（2017·昆山模拟）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选C．
【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4．
6．（2017八上·宜昌期中）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠BAC=70° B．∠DOC=90° C．∠BDC=35° D．∠DAC=55°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°，
故A选项正确，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABO= ∠ABC= ×50°=25°，
在△ABO中，
∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°，
∴∠DOC=∠AOB=85°，
故B选项错误；
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD= （180°﹣60°）=60°，
∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°，
故C选项正确；
∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∴AD是△ABC的外角平分线，
∴∠DAC= （180°﹣70°）=55°，
故D选项正确．
故选：B．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°；（2）根据角平分线的定义求出∠ABO=25°，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB=85°再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB=85°；（3）根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠ACD=60°，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC=35°；（4）根据三角形内角和两外角的平分线所在的直线交于一点，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC=55°。
7．如图，点P是∠BAC内一点，且到AB，AC的距离PE，PF相等，则△PEA≌△PFA的依据是（ ）
A．HL B．ASA C．SSS D．SAS
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点P到AB、AC的距离相等，
∴PE=PF，∠PFA=∠PEA=90°
又∵PA是公共边，
∴△PEA≌△PFA用的是PA=PA，PE=PF，
符合斜边直角边定理，即HL．
故应选：A．
【分析】根据点P到AB、AC的距离相等，得出PE=PF，∠PFA=∠PEA=90°，又PA是公共边，从而得出△PEA≌△PFA用的是PA=PA，PE=PF，从而得出结论。
8．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是（ ）
A．线段CD的中点 B．CD与∠AOB的平分线的交点
C．CD与过点O作的CD的垂线的交点 D．以上均不对
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可知点P是CD与∠AOB的平分线的交点．
故应选：B．
【分析】要使点P到边OA，OB的距离相等，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，点P应该在∠AOB的平分线上，又点P要在CD上，故应该是两线的交点。
9．如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于F，连接AF，下列结论正确的是（ ）
A．AF平分BC B．AF平分∠BAC
C．AF⊥BC D．以上结论都正确
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过F点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、D，
∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，
∴EF=GF，GF=DF，
∴EF=DF，
∴AF平分∠BAC．
故应选 ；B．
【分析】过F点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、D， 根据角平分线的性质定理得出EF=GF，GF=DF，从而得出EF=DF，根据角平分线的判定定理得出AF平分∠BAC．
10．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（ ）
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠E的平分线
D．组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作 ∠E的平分线，可得点P到AB和CD的距离相等，
∵AB=CD，
∴此时点P满足S△PAB=S△PCD，
故应选：D.
【分析】作 ∠E的平分线，可得点P到AB和CD的距离相等，又AB=CD，根据等底等高的三角形的面积相等得出满足条件的点P在组成∠E的平分线所在的直线(E点除外) 。
11．如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF相交于D，则：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上，正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①
【答案】A
【知识点】垂线；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解 ：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F
∴∠AEB=∠AFC=90 ，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABE≌△ACF，故①正确，
∴AE=AF，
∴BF=CE，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，
∴∠BFD=∠CED=90°
又∵∠BDF=∠CDE，
∴△BDF≌△CDE 故②正确；
∴DF=DE，
∵AE=AF，DE=DF，AD=AD，
∴△AED≌△AFD，
∴∠FAD=∠EAD，
即点D在∠BAC的平分线上；故③正确；
故应选 ：A ，
【分析】根据垂直的定义得出∠AEB=∠AFC=90 ，然后利用AAS判断出△ABE≌△ACF，根据全等三角形对应边相等得出AE=AF，进而得出BF=CE，根据垂直的定义得出∠BFD=∠CED=90°，进而利用AAS判断出△BDF≌△CDE，根据全等三角形对应边相等得出DF=DE，从而利用SSS判断出△AED≌△AFD，根据全等三角形对应角相等得出∠FAD=∠EAD，从而得出即点D在∠BAC的平分线上。
三、解答题
12．如图,点P是△ABC中∠BAC的平分线和△ABC的外角∠BCD的平分线的交点.求证:点P到BC,BE的距离相等
【答案】证明:过点P作PM⊥AB于M,PN⊥BC于N,PH⊥AC于H,如图所示.∵AP平分∠BAC,∴PH=PM.同理,PN=PH.∴PM=PN=PH.即点P到BC,BE的距离相等.
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】过点P作PM⊥AB于M,PN⊥BC于N,PH⊥AC于H,根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PH=PM.同理,PN=PH.从而得出PM=PN=PH.从而得出结论。
13．如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB,交BC于点D,DE⊥AB于点E,若AB=6 cm,求△DEB的周长.
【答案】解:∵AD平分∠CAB,∠C=90°,DE⊥AB,∴CD=DE,∠C=∠DEA=90°.在Rt△ACD和Rt△AED中, ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵CD=DE,∴BC=CD+DB=DE+DB.又∵AC=BC,∴AE=AC=DE+DB,∴DE+DB+BE=AB=6 cm.∴△DEB的周长为6 cm.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等及垂直的定义得出CD=DE,∠C=∠DEA=90°，然后利用HL判断出Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形对应边相等得出AC=AE.又CD=DE,从而得出BC=CD+DB=DE+DB.又AC=BC,从而得出AE=AC=DE+DB,根据三角形的周长得出DE+DB+BE=AB=6 cm。
14．如图,在四边形ABCD中,AC为∠BAD的平分线,AB=AD,E,F在AB,AD上,且AE=DF,请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD面积的一半.
【答案】解:分别过C作CG⊥AB于G,CH⊥AD于H,如图所示.∵AC为∠BAD的平分线,∴CG=CH.∵AB=AD,∴△ABC的面积=△ACD的面积.又∵AE=DF,∴△AEC的面积=△CDF的面积.∵△BCE的面积=△ABC的面积-△AEC的面积,△ACF的面积=△ACD的面积-△CDF的面积,∴△BCE的面积=△ACF的面积.∵四边形AECF的面积=△AEC的面积+△ACF的面积,∴四边形AECF的面积=△AEC的面积+△BCE的面积.∴四边形AECF的面积=△ABC的面积.∵四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积,∴四边形ABCD的面积=2△ABC的面积.∴四边形AECF的面积为四边形ABCD面积的一半.
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【分析】分别过C作CG⊥AB于G,CH⊥AD于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出CG=CH，又AB=AD,根据等底等高的三角形面积相等得出△ABC的面积=△ACD的面积.△AEC的面积=△CDF的面积.根据割补法得出△BCE的面积=△ABC的面积-△AEC的面积,△ACF的面积=△ACD的面积-△CDF的面积,从而得出△BCE的面积=△ACF的面积.又因四边形AECF的面积=△AEC的面积+△ACF的面积,四边形AECF的面积=△AEC的面积+△BCE的面积.四边形AECF的面积=△ABC的面积.四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积,四边形ABCD的面积=2△ABC的面积.四边形AECF的面积为四边形ABCD面积的一半.
15．如图,AE∥CF,AG,CG分别平分∠EAC和∠FCA,过点G的直线BD⊥AE,交AE于B,交CF于D.
求证:AB+CD=AC.
【答案】证明:过G作GH⊥AC于H,如图所示.方法一:∵AE∥CF,BD⊥AE交CF于D,∴GD⊥CF.∵AG,CG分别平分∠EAC和∠FCA,∴∠BAG=∠GAH,∠GCH=∠GCD.易得∠BGA=∠HGA,∠HGC=∠DGC.又由CD⊥GD,CH⊥GH,AH⊥GH,AB⊥GB.易得CD=CH,AB=AH.∴AB+CD=AH+CH=AC.方法二:∵AE∥CF,BD⊥AE交CF于D.∴GD⊥CF,∵AG平分∠EAC,∴BG=HG.在Rt△AGH和Rt△AGB中,∴Rt△AGH≌Rt△AGB(HL).∴AH=AB.同理可得,CD=CH.∴AB+CD=AH+CH=AC.
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】过G作GH⊥AC于H，方法一 ：根据平行线的性质定理得出GD⊥CF.根据角平分线的定义∠BAG=∠GAH,∠GCH=∠GCD.根据等角的余角相等得出∠BGA=∠HGA,∠HGC=∠DGC.根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出CD=CH,AB=AH，根据线段的和差及等量代换得出AB+CD=AH+CH=AC.
方法二：根据平行线的性质定理得出GD⊥CF，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出BG=HG，然后利用HL判断出Rt△AGH≌Rt△AGB，根据全等三角形对应边相等得出AH=AB.同理可得,CD=CH，根据线段的和差及等量代换得出AB+CD=AH+CH=AC.
16．如图,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC.
求证:∠BAD+∠C=180°.
【答案】证明:过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E,作DF⊥BC于F,如图所示.∵BD平分∠ABC,∴DE=DF.在Rt△ADE和Rt△CDF中,∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).∴∠EAD=∠C.∵∠EAD+∠BAD=180°,∴∠BAD+∠C=180°.
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E,作DF⊥BC于F,根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=DF.然后利用HL判断出Rt△ADE≌Rt△CDF，根据全等三角形对应角相等得出∠EAD=∠C.根据邻补角的定义得出∠EAD+∠BAD=180°,等量代换得出答案∠BAD+∠C=180°.
17．如图,PA=PB,∠1+∠2=180°.求证:OP平分∠AOB.
【答案】证明:过点P作PE⊥AO,PF⊥OB,垂足分别为E,F,则∠AEP=∠BFP=90°. ∵∠1+∠2=180°,∠2+∠PBO=180°,∴∠1=∠PBO.在△PAE和△PBF中, ∴△PAE≌△PBF(AAS).∴PE=PF.∴OP为∠AOB的平分线,即OP平分∠AOB.
【知识点】余角、补角及其性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】过点P作PE⊥AO,PF⊥OB,垂足分别为E,F,则∠AEP=∠BFP=90°. 根据邻补角的定义得出∠2+∠PBO=180°,又因∠1+∠2=180°，根据同角的补角相等得出∠1=∠PBO.然后根据AAS判断出△PAE≌△PBF，根据全等三角形对应角相等得出PE=PF.根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出OP为∠AOB的平分线,即OP平分∠AOB.
18．如图,已知F,G是OA上两点,M,N是OB上两点,且FG=MN,△PFG和△PMN的面积相等.试判断点P是否在∠AOB的平分线上,并说明理由.
【答案】.解:点P在∠AOB的平分线上.理由:如图,过P分别作PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.
∵S△PFG= FG·PD,S△PMN= MN·PE,
S△PFG=S△PMN,
∴ FG·PD= MN·PE.
又∵FG=MN,
∴PD=PE.
∴点P在∠AOB的平分线上.
【知识点】三角形的面积；角平分线的判定
【解析】【分析】点P在∠AOB的平分线上.理由:如图,过P分别作PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.根据面积法得出S△PFG= FG·PD,S△PMN= MN·PE,又因S△PFG=S△PMN,FG=MN，从而得出PD=PE.根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出点P在∠AOB的平分线上.
19．如图,李明计划在张村E、李村F之间建一家超市,张、李两村坐落在两相交公路内.超市的位置应满足下列条件:(1)使其到两公路的距离相等;(2)为了方便群众,超市到两村的距离之和最短,请你通过作图确定要建超市的位置(简要说明作法).
【答案】解:如图,连接EF,作∠ACB的平分线交EF于点O,则点O就是所要建超市的位置.
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；角平分线的性质
【解析】【分析】由于超市的位置到两公路的距离相等，故超市应建在∠ACB的角平分线上，为了方便群众,超市到两村的距离之和最短，根据两边之间线段最短故超市应该建在线段EF上，从而得出超市应该在EF与∠ACB的角平分线的交点上。
20．如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC.若连接AM,则AM是否平分∠DAB 并说明理由.
【答案】解:AM平分∠DAB.理由如下:过点M作ME⊥AD,垂足为E. ∵∠CDM=∠EDM,MC⊥CD,ME⊥AD,∴ME=MC.∵M是BC的中点,∴MC=MB.∴ME=MB.又∵MB⊥AB,ME⊥AD,∴AM平分∠DAB.
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】AM平分∠DAB.理由如下:过点M作ME⊥AD,垂足为E. 根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出 ME=MC.根据中点的定义得出 MC=MB.从而得出 ME=MB.然后根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出 AM平分∠DAB.
21．如图,CE⊥AB,BF⊥AC,垂足分别为E,F,BF交CE于点D,BD=CD.
（1）求证:点D在∠BAC的平分线上.
（2）若将条件“BD=CD”与(1)中结论“点D在∠BAC的平分线上”互换,成立吗 试说明理由.
【答案】（1）证明:∵CE⊥AB,BF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°.在△BDE和△CDF中,
∴△BDE≌△CDF(AAS).
∴DE=DF.
∴点D在∠BAC的平分线上.
（2）解:将条件“BD=CD”与(1)中结论“点D在∠BAC的平分线上”互换仍然成立.理由如下:∵CE⊥AB,BF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°.
∵点D在∠BAC的平分线上,∴DE=DF.
在△BDE与△CDF中,
∴△BDE≌△CDF(ASA).
∴BD=CD.
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】(1)根据垂直的定义得出∠DEB=∠DFC=90°.然后利用AAS判断出△BDE≌△CDF，根据全等三角形对应边相等得出DE=DF.根据角平分线的判定，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出点D在∠BAC的平分线上；
（2）将条件“BD=CD”与(1)中结论“点D在∠BAC的平分线上”互换仍然成立.理由如下:根据垂直的定义得出∠DEB=∠DFC=90°.根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=DF，然后利用ASA判断出△BDE≌△CDF，根据全等三角形对应边相等得出BD=CD.
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