2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.2.2平行四边形的判定 同步练习
一、选择题
1.已知:如图,四边形ABCD的两对角线AC,BD相交于点O,下列条件中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB=CD,AD=BC B.AB∥CD,AD=BC
C.AB∥CD,AD∥BC D.OA=OC,OB=OD
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解:A、两组对边分别相等的四边形是平行四边,故此选项不符合题意;
B、一组对边相等,另一组对边平行,不能判断其为平行四边形,故此选项符合题意;
C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形,故此选项不符合题意;
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形,故此选项不符合题意;
故答案为:B
【分析】根据平行四边的判定方法,两组对边分别相等的四边形是平行四边;一组对边相等,另一组对边平行,不能判断其为平行四边形;两组对边分别平行的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形.
2.(2017·柘城模拟)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带了两块碎玻璃,其编号应该是( )
A.①,② B.①,④ C.③,④ D.②,③
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解:∵只有②③两块角的两边互相平行,且中间部分相联,角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点,
∴带②③两块碎玻璃,就可以确定平行四边形的大小.
故答案为:D.
【分析】确定有关平行四边形,关键是确定平行四边形的四个顶点,由此即可解决问题.
3.如图,在 ABCD中,已知∠ODA=90°,AC=10cm,BD=6cm,则AD的长为( )
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用;平行四边形的性质
【解析】【解答】解; :∵四边形ABCD是平行四边形,AC=10cm,BD=6cm
∴OA=OC= AC=5cm,OB=OD= BD=3cm,
∵∠ODA=90°,
∴AD= =4cm
∴BC=4cm,故答案为:A
【分析】根据平行四边形的性质对角线互相,得到OA、OD的值,再根据勾股定理求出AD的值.
4.如图, ABCD的对角线交于点O,且AB=5,△OCD的周长为23,△OAD的周长是26 ,则平行四边形ABCD的周长是( )
A.49 B.28 C.30 D.26
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD=5,OA=OC
∵△OCD的周长为23,△OAD的周长是26
∴AD=26-23+5=8,
∵平行四边形的对边相等
∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=26,
故答案为:D.
【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分,和△OCD的周长、△OAD的周长的值,求出AD的值,由平行四边形的对边相等,得到平行四边形ABCD的周长.
5.如图, ABCD的对角线交于点O,且AB=5,△OCD的周长为23,则平行四边形ABCD的两条对角线的和是( )
A.18 B.28 C.36 D.46
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD=5,
∵△OCD的周长为23,
∴OD+OC=23-5=18,
∵BD=2DO,AC=2OC,
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2(DO+OC)=36,故答案为:C.
【分析】根据平行四边形的性质,对角线互相平分和△OCD的周长,求出对角线一半的值,得到平行四边形ABCD的两条对角线的和.
6.四边形形ABCD中,AD‖BC,要判定四边形ABCD是平行四边形,还应满足( )
A.∠A+∠C=180° B.∠B+∠D=180°
C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠D=180°
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解:
A、如图1,∵AD∥CB,∴∠A+∠B=180°,如果∠A+∠C=180°,
则可得:∠B=∠C,这样的四边形是等腰梯形,不是平行四边形,故此选项不符合题意;
B、如图1,∵AD∥CB,∴∠A+∠B=180°,如果∠B+∠D=180°,
则可得:∠A=∠D,这样的四边形是等腰梯形,不是平行四边形,故此选项不符合题意;
C、如图1,∵AD∥CB,∴∠A+∠B=180°,
再加上条件∠A+∠B=180°,也证不出是四边形ABCD是平行四边形,故此选项不符合题意;
D、如图2,∵∠A+∠D=180°,∴AB∥CD,∵AD∥CB,
∴四边形ABCD是平行四边形,故此选项不符合题意;故答案为:D.
【分析】选项A,根据两直线平行同旁内角互补,得到∠A+∠B=180°,再由∠A+∠C=180°,得到∠B=∠C,这样的四边形是等腰梯形,不是平行四边形;选项B,根据两直线平行同旁内角互补,得到∠A+∠B=180°,再由∠B+∠D=180°,得到∠A=∠D,这样的四边形是等腰梯形,不是平行四边形;选项C,根据两直线平行同旁内角互补,得到∠A+∠B=180°,再加上条件∠A+∠B=180°,也证不出是四边形ABCD是平行四边形;选项D,根据同旁内角互补两直线平行,由∠A+∠D=180°,得到AB∥CD,再由已知AD∥CB,根据两组对边平行的四边形是平行四边形,得到四边形ABCD是平行四边形.
7.(2017八下·山西期末)四边形ABCD的四个角∠A∶∠B∶∠C∶∠D满足下列哪一条件时,四边形ABCD是平行四边形( )
A.1∶2∶2∶1 B.2∶1∶1∶1 C.1∶2∶3∶4 D.2∶1∶2∶1
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解:由两组对角分别相等的四边形是平行四边形,可知选项D正确; 故选D.
8.如图,图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由甲A地到B地的路线图(箭头表示行进的方向).其中E为AB的中点,AH>HB,判断三人行进路线长度的大小关系为( )
A.甲<乙<丙 B.乙<丙<甲 C.丙<乙<甲 D.甲=乙=丙
【答案】D
【知识点】平行线的判定;平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解:图1中,甲走的路线长是AC+BC的长度;
延长ED和BF交于C,如图2,
∵∠DEA=∠B=60°,
∴DE∥CF,
同理EF∥CD,
∴四边形CDEF是平行四边形,
∴EF=CD,DE=CF,
即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长;
延长AG和BK交于C,如图3,
与以上证明过程类似GH=CK,CG=HK,
即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长;
即甲=乙=丙,
故答案为:D.
【分析】根据题意甲走的路线长是AC+BC的长度;由同位角相等两直线平行,得到DE∥CF、EF∥CD,得到四边形CDEF是平行四边形,再由平行四边形的性质,得到对边相等,得到乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长;同理得到丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长.
二、填空题
9.一个四边形的边长依次为a,b,c,d,且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则这个四边形是 。
【答案】平行四边形
【知识点】完全平方公式及运用;平行四边形的判定;偶次方的非负性
【解析】【解答】解:a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,
(a2-2ac+c2)+(b2-2bd+d2)=0,
(a-c)2+(b-d)2=0,
∴a-c=0,b-d=0,
∴a=c,b=d.
∴四边形是平行四边形,故答案为平行四边形.
【分析】根据代数式的特点,整理代数式,得到两个完全平方式,再根据完全平方式的非负性,得到a=c,b=d;根据两组对边相等的四边形是平行四边形,得到四边形是平行四边形.
10.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,AC、BD相交于点O.若AC=6,则线段AO的长度等于 .
【答案】3
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解:因为AB∥CD,AD∥BC,所以四边形ABCD为平行四边形,根据平四边形的性质得到AO为3.故答案是3.
【分析】由两组对边分别平行,得到四边形ABCD为平行四边形;再根据平四边形的性质,对角线互相平分,得到AO的长度.
11.如图,在△ABC中,AB=AC=5,D是BC上的点,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F,那么四边形AFDE的周长是 。
【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质;平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵AB=AC=5,∴∠B=∠C,
由DF∥AC,得∠FDB=∠C=∠B,
∴FD=FB,
同理,得DE=EC.
∴四边形AFDE的周长=AF+AE+FD+DE
=AF+FB+AE+EC
=AB+AC
=5+5=10.故答案为10.
【分析】根据平行四边形的判定方法,两组对边分别平行的四边形是平行四边形,得到四边形AFDE是平行四边形;由已知和等角对等边得到FD=FB、DE=EC;再根据平行四边形的性质,对边相等,得到四边形AFDE的周长.
12.如图所示,已知E,F,G,H是四边形ABCD各边的中点,则S四边形EFGH:S四边形ABCD的值是 .
【答案】1:2
【知识点】平行四边形的判定与性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:连接AC,BD.
因为G、F为CD、BC边中点,所以GF=DB.
由于△CGF∽△CDB,所以
S△CGF=S△CDB,
同理可得S△DHG=S△CDA,S△HAE=S△DAB,S△BEF=S△CAB,于是
S△CGF+S△DHG+S△HAE+S△BEF=(S△CDB+S△CDA+S△DAB+S△CAB)=×2S四边形ABCD=S四边形ABCD,
S四边形EFGH:S四边形ABCD=1:2
【分析】根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定性质,得到△CGF∽△CDB和相似比;由相似三角形的性质,面积比等于相似比的平方,得到S四边形EFGH:S四边形ABCD的比值.
13.如图,在 ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF、CF,则下列结论中一定成立的是 .(把所有正确结论的序号都填在横线上)
①∠DCF=∠BCD;②EF=CF;③S△BEC=2S△CEF;④∠DFE=3∠AEF.
【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理;全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质
【解析】【解答】解:①∵F是AD的中点,
∴AF=FD,
∵在 ABCD中,AD=2AB,
∴AF=FD=CD,
∴∠DFC=∠DCF,
∵AD∥BC,
∴∠DFC=∠FCB,
∴∠DCF=∠BCF,
∴∠DCF=∠BCD,故此选项不符合题意;
延长EF,交CD延长线于M,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠A=∠MDE,
∵F为AD中点,
∴AF=FD,
在△AEF和△DFM中,
,
∴△AEF≌△DMF(ASA),
∴FE=MF,∠AEF=∠M,
∵CE⊥AB,
∴∠AEC=90°,
∴∠AEC=∠ECD=90°,
∵FM=EF,
∴FC=EF,故②正确;
③∵EF=FM,
∴S△EFC=S△CFM,
∵MC>BE,
∴S△BEC<2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误;
④设∠FEC=x,则∠FCE=x,
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x,
∴∠EFC=180°﹣2x,
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x,
∵∠AEF=90°﹣x,
∴∠DFE=3∠AEF,故此选项不符合题意.
故答案为:①②④.
【分析】根据图形得知∠DCF≠∠BCD;由平行四边形的性质和已知得到AF=FD=CD,AB∥CD,由ASA得到△AEF≌△DMF,得到对应边、对应角相等,根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半;得到FC=EF;根据等底同高的三角形面积相等,S△EFC=S△CFM,由MC>BE,得到S△BEC≠2S△CEF;根据三角形内角和定理和平行四边形的性质,得到∠DFE=3∠AEF.
三、计算题
14.已知:如图,在四边形ABCD中,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,DE=BF,∠ADB=∠CBD.求证:四边形ABCD是平行四边形.
【答案】证明:∵∠ADB=∠CBD,∴AD∥BC,∴∠DAE=∠BCF,在△ADE和△CBF中∵ ,∴△ADE≌△CBF(AAS),∴AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形
【知识点】全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定
【解析】【分析】由内错角相等得到AD∥BC,得到内错角相等,再由AAS得到△ADE≌△CBF,得到对应边相等,再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得到四边形ABCD是平行四边形.
15.如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.
求证:
(1)△AFD≌△CEB;
(2)四边形ABCD是平行四边形.
【答案】(1)证明:∵DF∥BE,∴∠DFE=∠BEF.
又∵AF=CE,DF=BE,∴△AFD≌△CEB(SAS).
(2)证明:由(1)知△AFD≌△CEB,∴∠DAC=∠BCA,AD=BC,
∴AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
【知识点】全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定
【解析】【分析】(1)根据题意两直线平行内错角相等,得到∠DFE=∠BEF,再由SAS得到△AFD≌△CEB;(2)由(1)知△AFD≌△CEB,得到对应边、对应角相等,再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得到四边形ABCD是平行四边形.
16.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB垂足为D,AE平分∠CAB交CD于点F,交BC于点E,EH⊥AB,垂足为H,连接FH.
求证:
(1)CF=CE
(2)四边形CFHE是平行四边形.
【答案】(1)证明:如图所示:∵∠ACB=90°,CD⊥AB垂足为D,∴∠1+∠5=90°,∠2+∠3=90°,又∵∠AE平分∠CAB,∴∠1=∠2,∴∠3=∠5,∵∠3=∠4,∴∠4=∠5,
∴CF=CE
(2)证明:∵AE平分∠CAB,CE⊥AC,EH⊥AB,∴CE=EH,
由(1)CF=CE,
∴CF=EH,
∵CD⊥AB,EH⊥AB,
∴∠CDB=90°,∠EHB=90°,∴∠CDB=∠EB,
∴CD∥EH,
即CF∥EH,
∴四边形CFHE是平行四边形.
【知识点】三角形内角和定理;角平分线的性质;等腰三角形的性质;平行四边形的判定
【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理和已知,得到∠4=∠5,再根据等角对等边,得到CF=CE;(2)根据角平分线上的点到角两边的距离相等;得到CE=EH;由(1)知道CF=CE,得到CF=EH,再由已知得到CF∥EH,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得到四边形CFHE是平行四边形.
17.如图,平行四边形ABCD中,∠ABC=60°,点E,F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,CF= .
(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)求AB的长.
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=CD,∵AE∥BD,
∴四边形ABDE是平行四边形
(2)解:由(1)知,AB=DE=CD,即D为CE中点,∵EF⊥BC,∴∠EFC=90°,∵AB∥CD,
∴∠DCF=∠ABC=60°,
∴∠CEF=30°,
∴AB=CD= .
【知识点】含30°角的直角三角形;平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质,对边平行,再由AE∥BD,根据两组对边平行的四边形是平行四边形,得到四边形ABDE是平行四边形;(2)由(1)知,AB=DE=CD,得到D为CE中点,由∠DCF=∠ABC=60°,得到∠CEF=30°,根据在直角三角形中,30度角所对的边是斜边的一半;得到AB=CD=CF.
1 / 12017-2018学年数学沪科版八年级下册19.2.2平行四边形的判定 同步练习
一、选择题
1.已知:如图,四边形ABCD的两对角线AC,BD相交于点O,下列条件中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB=CD,AD=BC B.AB∥CD,AD=BC
C.AB∥CD,AD∥BC D.OA=OC,OB=OD
2.(2017·柘城模拟)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带了两块碎玻璃,其编号应该是( )
A.①,② B.①,④ C.③,④ D.②,③
3.如图,在 ABCD中,已知∠ODA=90°,AC=10cm,BD=6cm,则AD的长为( )
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
4.如图, ABCD的对角线交于点O,且AB=5,△OCD的周长为23,△OAD的周长是26 ,则平行四边形ABCD的周长是( )
A.49 B.28 C.30 D.26
5.如图, ABCD的对角线交于点O,且AB=5,△OCD的周长为23,则平行四边形ABCD的两条对角线的和是( )
A.18 B.28 C.36 D.46
6.四边形形ABCD中,AD‖BC,要判定四边形ABCD是平行四边形,还应满足( )
A.∠A+∠C=180° B.∠B+∠D=180°
C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠D=180°
7.(2017八下·山西期末)四边形ABCD的四个角∠A∶∠B∶∠C∶∠D满足下列哪一条件时,四边形ABCD是平行四边形( )
A.1∶2∶2∶1 B.2∶1∶1∶1 C.1∶2∶3∶4 D.2∶1∶2∶1
8.如图,图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由甲A地到B地的路线图(箭头表示行进的方向).其中E为AB的中点,AH>HB,判断三人行进路线长度的大小关系为( )
A.甲<乙<丙 B.乙<丙<甲 C.丙<乙<甲 D.甲=乙=丙
二、填空题
9.一个四边形的边长依次为a,b,c,d,且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则这个四边形是 。
10.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,AC、BD相交于点O.若AC=6,则线段AO的长度等于 .
11.如图,在△ABC中,AB=AC=5,D是BC上的点,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F,那么四边形AFDE的周长是 。
12.如图所示,已知E,F,G,H是四边形ABCD各边的中点,则S四边形EFGH:S四边形ABCD的值是 .
13.如图,在 ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF、CF,则下列结论中一定成立的是 .(把所有正确结论的序号都填在横线上)
①∠DCF=∠BCD;②EF=CF;③S△BEC=2S△CEF;④∠DFE=3∠AEF.
三、计算题
14.已知:如图,在四边形ABCD中,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,DE=BF,∠ADB=∠CBD.求证:四边形ABCD是平行四边形.
15.如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.
求证:
(1)△AFD≌△CEB;
(2)四边形ABCD是平行四边形.
16.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB垂足为D,AE平分∠CAB交CD于点F,交BC于点E,EH⊥AB,垂足为H,连接FH.
求证:
(1)CF=CE
(2)四边形CFHE是平行四边形.
17.如图,平行四边形ABCD中,∠ABC=60°,点E,F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,CF= .
(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)求AB的长.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解:A、两组对边分别相等的四边形是平行四边,故此选项不符合题意;
B、一组对边相等,另一组对边平行,不能判断其为平行四边形,故此选项符合题意;
C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形,故此选项不符合题意;
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形,故此选项不符合题意;
故答案为:B
【分析】根据平行四边的判定方法,两组对边分别相等的四边形是平行四边;一组对边相等,另一组对边平行,不能判断其为平行四边形;两组对边分别平行的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形.
2.【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解:∵只有②③两块角的两边互相平行,且中间部分相联,角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点,
∴带②③两块碎玻璃,就可以确定平行四边形的大小.
故答案为:D.
【分析】确定有关平行四边形,关键是确定平行四边形的四个顶点,由此即可解决问题.
3.【答案】A
【知识点】勾股定理的应用;平行四边形的性质
【解析】【解答】解; :∵四边形ABCD是平行四边形,AC=10cm,BD=6cm
∴OA=OC= AC=5cm,OB=OD= BD=3cm,
∵∠ODA=90°,
∴AD= =4cm
∴BC=4cm,故答案为:A
【分析】根据平行四边形的性质对角线互相,得到OA、OD的值,再根据勾股定理求出AD的值.
4.【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD=5,OA=OC
∵△OCD的周长为23,△OAD的周长是26
∴AD=26-23+5=8,
∵平行四边形的对边相等
∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=26,
故答案为:D.
【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分,和△OCD的周长、△OAD的周长的值,求出AD的值,由平行四边形的对边相等,得到平行四边形ABCD的周长.
5.【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD=5,
∵△OCD的周长为23,
∴OD+OC=23-5=18,
∵BD=2DO,AC=2OC,
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2(DO+OC)=36,故答案为:C.
【分析】根据平行四边形的性质,对角线互相平分和△OCD的周长,求出对角线一半的值,得到平行四边形ABCD的两条对角线的和.
6.【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解:
A、如图1,∵AD∥CB,∴∠A+∠B=180°,如果∠A+∠C=180°,
则可得:∠B=∠C,这样的四边形是等腰梯形,不是平行四边形,故此选项不符合题意;
B、如图1,∵AD∥CB,∴∠A+∠B=180°,如果∠B+∠D=180°,
则可得:∠A=∠D,这样的四边形是等腰梯形,不是平行四边形,故此选项不符合题意;
C、如图1,∵AD∥CB,∴∠A+∠B=180°,
再加上条件∠A+∠B=180°,也证不出是四边形ABCD是平行四边形,故此选项不符合题意;
D、如图2,∵∠A+∠D=180°,∴AB∥CD,∵AD∥CB,
∴四边形ABCD是平行四边形,故此选项不符合题意;故答案为:D.
【分析】选项A,根据两直线平行同旁内角互补,得到∠A+∠B=180°,再由∠A+∠C=180°,得到∠B=∠C,这样的四边形是等腰梯形,不是平行四边形;选项B,根据两直线平行同旁内角互补,得到∠A+∠B=180°,再由∠B+∠D=180°,得到∠A=∠D,这样的四边形是等腰梯形,不是平行四边形;选项C,根据两直线平行同旁内角互补,得到∠A+∠B=180°,再加上条件∠A+∠B=180°,也证不出是四边形ABCD是平行四边形;选项D,根据同旁内角互补两直线平行,由∠A+∠D=180°,得到AB∥CD,再由已知AD∥CB,根据两组对边平行的四边形是平行四边形,得到四边形ABCD是平行四边形.
7.【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解:由两组对角分别相等的四边形是平行四边形,可知选项D正确; 故选D.
8.【答案】D
【知识点】平行线的判定;平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解:图1中,甲走的路线长是AC+BC的长度;
延长ED和BF交于C,如图2,
∵∠DEA=∠B=60°,
∴DE∥CF,
同理EF∥CD,
∴四边形CDEF是平行四边形,
∴EF=CD,DE=CF,
即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长;
延长AG和BK交于C,如图3,
与以上证明过程类似GH=CK,CG=HK,
即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长;
即甲=乙=丙,
故答案为:D.
【分析】根据题意甲走的路线长是AC+BC的长度;由同位角相等两直线平行,得到DE∥CF、EF∥CD,得到四边形CDEF是平行四边形,再由平行四边形的性质,得到对边相等,得到乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长;同理得到丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长.
9.【答案】平行四边形
【知识点】完全平方公式及运用;平行四边形的判定;偶次方的非负性
【解析】【解答】解:a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,
(a2-2ac+c2)+(b2-2bd+d2)=0,
(a-c)2+(b-d)2=0,
∴a-c=0,b-d=0,
∴a=c,b=d.
∴四边形是平行四边形,故答案为平行四边形.
【分析】根据代数式的特点,整理代数式,得到两个完全平方式,再根据完全平方式的非负性,得到a=c,b=d;根据两组对边相等的四边形是平行四边形,得到四边形是平行四边形.
10.【答案】3
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解:因为AB∥CD,AD∥BC,所以四边形ABCD为平行四边形,根据平四边形的性质得到AO为3.故答案是3.
【分析】由两组对边分别平行,得到四边形ABCD为平行四边形;再根据平四边形的性质,对角线互相平分,得到AO的长度.
11.【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质;平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵AB=AC=5,∴∠B=∠C,
由DF∥AC,得∠FDB=∠C=∠B,
∴FD=FB,
同理,得DE=EC.
∴四边形AFDE的周长=AF+AE+FD+DE
=AF+FB+AE+EC
=AB+AC
=5+5=10.故答案为10.
【分析】根据平行四边形的判定方法,两组对边分别平行的四边形是平行四边形,得到四边形AFDE是平行四边形;由已知和等角对等边得到FD=FB、DE=EC;再根据平行四边形的性质,对边相等,得到四边形AFDE的周长.
12.【答案】1:2
【知识点】平行四边形的判定与性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:连接AC,BD.
因为G、F为CD、BC边中点,所以GF=DB.
由于△CGF∽△CDB,所以
S△CGF=S△CDB,
同理可得S△DHG=S△CDA,S△HAE=S△DAB,S△BEF=S△CAB,于是
S△CGF+S△DHG+S△HAE+S△BEF=(S△CDB+S△CDA+S△DAB+S△CAB)=×2S四边形ABCD=S四边形ABCD,
S四边形EFGH:S四边形ABCD=1:2
【分析】根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定性质,得到△CGF∽△CDB和相似比;由相似三角形的性质,面积比等于相似比的平方,得到S四边形EFGH:S四边形ABCD的比值.
13.【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理;全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质
【解析】【解答】解:①∵F是AD的中点,
∴AF=FD,
∵在 ABCD中,AD=2AB,
∴AF=FD=CD,
∴∠DFC=∠DCF,
∵AD∥BC,
∴∠DFC=∠FCB,
∴∠DCF=∠BCF,
∴∠DCF=∠BCD,故此选项不符合题意;
延长EF,交CD延长线于M,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠A=∠MDE,
∵F为AD中点,
∴AF=FD,
在△AEF和△DFM中,
,
∴△AEF≌△DMF(ASA),
∴FE=MF,∠AEF=∠M,
∵CE⊥AB,
∴∠AEC=90°,
∴∠AEC=∠ECD=90°,
∵FM=EF,
∴FC=EF,故②正确;
③∵EF=FM,
∴S△EFC=S△CFM,
∵MC>BE,
∴S△BEC<2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误;
④设∠FEC=x,则∠FCE=x,
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x,
∴∠EFC=180°﹣2x,
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x,
∵∠AEF=90°﹣x,
∴∠DFE=3∠AEF,故此选项不符合题意.
故答案为:①②④.
【分析】根据图形得知∠DCF≠∠BCD;由平行四边形的性质和已知得到AF=FD=CD,AB∥CD,由ASA得到△AEF≌△DMF,得到对应边、对应角相等,根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半;得到FC=EF;根据等底同高的三角形面积相等,S△EFC=S△CFM,由MC>BE,得到S△BEC≠2S△CEF;根据三角形内角和定理和平行四边形的性质,得到∠DFE=3∠AEF.
14.【答案】证明:∵∠ADB=∠CBD,∴AD∥BC,∴∠DAE=∠BCF,在△ADE和△CBF中∵ ,∴△ADE≌△CBF(AAS),∴AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形
【知识点】全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定
【解析】【分析】由内错角相等得到AD∥BC,得到内错角相等,再由AAS得到△ADE≌△CBF,得到对应边相等,再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得到四边形ABCD是平行四边形.
15.【答案】(1)证明:∵DF∥BE,∴∠DFE=∠BEF.
又∵AF=CE,DF=BE,∴△AFD≌△CEB(SAS).
(2)证明:由(1)知△AFD≌△CEB,∴∠DAC=∠BCA,AD=BC,
∴AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
【知识点】全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定
【解析】【分析】(1)根据题意两直线平行内错角相等,得到∠DFE=∠BEF,再由SAS得到△AFD≌△CEB;(2)由(1)知△AFD≌△CEB,得到对应边、对应角相等,再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得到四边形ABCD是平行四边形.
16.【答案】(1)证明:如图所示:∵∠ACB=90°,CD⊥AB垂足为D,∴∠1+∠5=90°,∠2+∠3=90°,又∵∠AE平分∠CAB,∴∠1=∠2,∴∠3=∠5,∵∠3=∠4,∴∠4=∠5,
∴CF=CE
(2)证明:∵AE平分∠CAB,CE⊥AC,EH⊥AB,∴CE=EH,
由(1)CF=CE,
∴CF=EH,
∵CD⊥AB,EH⊥AB,
∴∠CDB=90°,∠EHB=90°,∴∠CDB=∠EB,
∴CD∥EH,
即CF∥EH,
∴四边形CFHE是平行四边形.
【知识点】三角形内角和定理;角平分线的性质;等腰三角形的性质;平行四边形的判定
【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理和已知,得到∠4=∠5,再根据等角对等边,得到CF=CE;(2)根据角平分线上的点到角两边的距离相等;得到CE=EH;由(1)知道CF=CE,得到CF=EH,再由已知得到CF∥EH,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得到四边形CFHE是平行四边形.
17.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=CD,∵AE∥BD,
∴四边形ABDE是平行四边形
(2)解:由(1)知,AB=DE=CD,即D为CE中点,∵EF⊥BC,∴∠EFC=90°,∵AB∥CD,
∴∠DCF=∠ABC=60°,
∴∠CEF=30°,
∴AB=CD= .
【知识点】含30°角的直角三角形;平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质,对边平行,再由AE∥BD,根据两组对边平行的四边形是平行四边形,得到四边形ABDE是平行四边形;(2)由(1)知,AB=DE=CD,得到D为CE中点,由∠DCF=∠ABC=60°,得到∠CEF=30°,根据在直角三角形中,30度角所对的边是斜边的一半;得到AB=CD=CF.
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