新人教版数学九年级上册第二十二章第一节二次函数y＝ax 图象课时练习
一、单选题
1．若二次函数 的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4） B．（－2，－4）
C．（－4，2） D．（4，－2）
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】二次函数 关于y轴对称，故y(-x)=y(x)，点P（-2，4）在图象上，则（2，4）必在图象上，故选A．
【分析】应用二次函数的对称性，明确函数 的对称轴是x=0，应用此规律解题．
2．如图所示的四个函数的图象分别对应的函数是① ；② ；③ ；④ ，则a， b， c， d的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】由二次函数 的性质，当a>0时，开口向上，a<0时，开口向下，a的绝对值越大，越靠近y轴，故a>b>c>d，故选A．
【分析】熟悉二次函数 的图象特征，明确图象开口方向和形状与a的数量关系．
3．（2017·黄石模拟）如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且0＜x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：根据题意和图形可知：y=x2，0＜x≤10，所以y与x之间函数关系的大致图象是．
故选D．
【分析】主要考查了能通过分析题中的实际意义找出变量之间的关系和函数图象的读图能力．
4．关于函数 的性质的叙述，错误的是（ ）
A．对称轴是y轴 B．顶点是原点
C．当x>0时，y随x的增大而增大 D．y有最大值
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】由二次函数 的性质可得A、B、C均为正确， 时，y有最小值，故D错误，故选D．
【分析】熟记二次函数的图象特征，明确对称轴，增减性，顶点，最值的性质．
5．在同一坐标系中，抛物线 ， ， 的共同点是（ ）
A．开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点
B．对称轴是y轴，顶点是原点
C．开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点
D．有最小值为0
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】抛物线 的共同特点是对称轴是y轴，顶点是原点，其他特征由a的取值决定，故选B。
【分析】熟记二次函数 的共同特点，为解答更多复杂问题奠定基础．
6．在同一平面直角坐标系中，同一水平线上开口最大的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】抛物线 的开口大小由 a 的绝对值决定， a 的绝对值越小，开口越大，由于 的绝对值最小，故开口最大，故选B．
【分析】熟记二次函数 的开口程度与 a 值的大小关系，熟练解题．
7．下列函数中，具有过原点，且当 时， 随 的增大而减小，这两个特征的有（ ）
①②
③④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】①、②满足题设条件，③、④不过原点，故选B．
【分析】过分析一次函数和二次函数的单调性和图象上点的特征．
8．若对任意实数x，二次函数 的值总是非负数，则 a 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】由题意当 时， ， 不是二次函数，不合题意；当 ， 的值总是非负数，故 a 的取值范围是 ，故选C．
【分析】此题要把握函数是二次函数且其值总是非负数这两个条件．
9．下列说法错误的是（ ）
A．在二次函数 中，当 时， 随 的增大而增大
B．在二次函数 中，当 时， 有最大值
C．a 越大图象开口越小， a 越小图象开口越大
D．无论 a 是正数或负数， 的顶点一定是坐标原点
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】二次函数图象的开口大小是 a 的绝对值越大图象开口越小， a 的绝对值越小图象开口越大，故C错误，A、B、D均正确，故选C．
【分析】熟知 a 的绝对值大小与 a 的大小在 a 取负数时正好相反，所以C说法不正确．
10．已知点A( ， ），B（ ， ），C（2， ）在抛物线 上，则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】由抛物线的对称性C（2， ）与 （ ， ）对称，当 时，抛物线 的函数值随 的增大而减小，由于 ，所以 ，故选D．
【分析】利用二次函数的对称性和单调性是解这类比较大小问题的一个方法．
11．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】由 ，得两函数图象的交点为（0，0）和（1， a ），故选C．
【分析】判断函数图象是找出交点、顶点，及抛物线开口方向、直线的倾斜方向都是有效的方法．
12．函数y=ax2(a≠0)的图象与a的符号有关的是( )
A．对称轴 B．顶点坐标 C．开口方向 D．开口大小
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】二次函数图象中 a 的符号决定了抛物线的开口方向，故选C．
【分析】利用数形结合的思想，熟记抛物线当中的某些性质和系数的关系，是学习抛物线知识的重要方法．
13．下列各点中与点(1，4)在同一个二次函数y=ax2图象上的是( )
A．(2，-16) B．( -2，16) C．(-2，-16) D．(16，2)
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】由题意，（1，4）在二次函数图象上，故 ，故 ，所以函数为 ，当 时， ，故选B．
【分析】先用待定系数法求出函数解析式，然后逐个代入 值，求解 值，看是否是函数上的点．
14．下列函数中，当x＞0时y随x的增大而减小的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】由一次函数和二次函数的图象知A、B、C，都满足当x＞0时y随x的增大而增大，唯有D符合当x＞0时y随x的增大而减小，故选D．
【分析】能够根据所学的一次函数、反比例函数、二次函数图象与系数的关系，定性的判断函数的增减性是一个有效的学习能力．
15．抛物线 ， ， 的图象开口最小的是( )
A． B．y= -3x2 C．y=2x2 D．不确定；
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】二次函数图象的开口大小取决于 a 的绝对值的大小， a 的绝对值越大，开口越小，故选B．
【分析】由二次函数的图象比较分析抛物线开口大小与 a 值的数量关系，从而比较其开口大小程度．
二、填空题
16．如果一个二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），试写出一个符合要求的函数解析式： .
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】由题意，二次函数对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），故符合 的形式，其图象开口向下，故可取a=－1，所以符合要求的函数解析式为 ．
【分析】根据要求写出一个符合题目要求的解析式即可，此题答案不唯一．
17．已知A（－1，y1），B(－2，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 .
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】由题意C（3， ）和P(－3， ）关于二次函数 对称，而当 时，此二次函数函数值随x的增大而增大，由于 ，所以 ．
【分析】熟悉二次函数的单调性（即y值随x的变化而如何递增或递减），是比较二次函数上函数值大小的关键．
18．已知二次函数 的图象开口向下，则m的值为 .
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】由题意， ， ，解之得， ．
【分析】熟练应用二次函数 图象与 a 的取值的关系，可以快速解答此类型题目．
19．若点A（1，n）在二次函数 的图象上，则点A关于抛物线对称轴的对称点 的坐标是 ，这两点间的线段被对称轴 ．
【答案】；垂直平分
【知识点】二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】在二次函数 中点（x，y）和（-x，y）关于对称轴对称，当 时， ，且对称点的连线被对称轴垂直平分．
【分析】熟知二次函数 是一个轴对称图形，能够明确对称点的坐标特征，对称点的连线被对称轴垂直平分．
20．若二次函数 的图象过点（1，－2），则 a 的值是 ．
【答案】－2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】由题意得： ，解之得 ．
【分析】利用函数图象上的点满足函数解析式，代入解析式，求参数 a ．
三、解答题
21．已知函数 是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的k的值；
（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点；
（3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？
【答案】（1）解：由题意， ， ，解之得 或
（2）解：抛物线有最高点时 ，所以 ，最高点为抛物线顶点（0，0）
（3）解：抛物线有最小值时 ，所以 ，最小值为0．
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】熟知二次函数 图象与 a 的关系，能够根据题意判断 a 值的正负．
22．二次函数 与直线 交于点P（1，b）．
（1）求a、b的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
【答案】（1）解：由题意，有 ，解之得 ，
（2）解：二次函数的解析式为 ，开口向下，当 时，函数y随x的增大而减小．
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】利用两函数的交点同时满足两个函数的解析式，得到关于 a 、 b 的方程组，正确求解；利用二次函数图象与系数的关系判断函数的单调性(即y随x变化的变化情况）．
23．已知函数 是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，当x为何值时，y随x的增大而增大；
（3）m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？
【答案】（1）解：由题意，有 且 ，解之得 或 .
（2）解：当 时，二次函数有最低点，此时 ，最低点为（0，0），且当 时，y随x的增大而增大.
（3）解：当 时，抛物线有最大值，最大值为0，且当 时，y随x的增大而减小.
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】二次函数 当 a 取正负值时，抛物线开口方向改变，增减性改变。
24．已知抛物线 过点（ ， ）和点（1，6），
（1）求这个函数解析式；
（2）当x为何值时，函数y随x的增大而减小；
【答案】（1）解：由题意有 ， ，解之得 ， ，故函数的解析式为 ．
（2）解：由于 ，所以当 时，函数y随x的增大而减小．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】运用待定系数法求解函数解析式，并用 a 的正负判断函数的单调区间．
25．直线 与抛物线 交于A、B两点，点P在抛物线 上，若三角形PAB 的面积为 ，求点P的坐标．
【答案】由，解得A（，0），B（，0）AB=，则P点到AB的距离为，故P点纵坐为0或－4，故P点为坐标原点（0，0）或（－2，－4）或（2，4）．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】此题运用一次函数与抛物线的交点求出AB的距离，再用三角形面积公式求出P点到AB的距离，从而求出P点纵坐标，进一点求出P点横坐标．
1 / 1新人教版数学九年级上册第二十二章第一节二次函数y＝ax 图象课时练习
一、单选题
1．若二次函数 的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4） B．（－2，－4）
C．（－4，2） D．（4，－2）
2．如图所示的四个函数的图象分别对应的函数是① ；② ；③ ；④ ，则a， b， c， d的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2017·黄石模拟）如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且0＜x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．关于函数 的性质的叙述，错误的是（ ）
A．对称轴是y轴 B．顶点是原点
C．当x>0时，y随x的增大而增大 D．y有最大值
5．在同一坐标系中，抛物线 ， ， 的共同点是（ ）
A．开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点
B．对称轴是y轴，顶点是原点
C．开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点
D．有最小值为0
6．在同一平面直角坐标系中，同一水平线上开口最大的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列函数中，具有过原点，且当 时， 随 的增大而减小，这两个特征的有（ ）
①②
③④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若对任意实数x，二次函数 的值总是非负数，则 a 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法错误的是（ ）
A．在二次函数 中，当 时， 随 的增大而增大
B．在二次函数 中，当 时， 有最大值
C．a 越大图象开口越小， a 越小图象开口越大
D．无论 a 是正数或负数， 的顶点一定是坐标原点
10．已知点A( ， ），B（ ， ），C（2， ）在抛物线 上，则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
11．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（ ）
A． B．
C． D．
12．函数y=ax2(a≠0)的图象与a的符号有关的是( )
A．对称轴 B．顶点坐标 C．开口方向 D．开口大小
13．下列各点中与点(1，4)在同一个二次函数y=ax2图象上的是( )
A．(2，-16) B．( -2，16) C．(-2，-16) D．(16，2)
14．下列函数中，当x＞0时y随x的增大而减小的有（ ）
A． B． C． D．
15．抛物线 ， ， 的图象开口最小的是( )
A． B．y= -3x2 C．y=2x2 D．不确定；
二、填空题
16．如果一个二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），试写出一个符合要求的函数解析式： .
17．已知A（－1，y1），B(－2，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 .
18．已知二次函数 的图象开口向下，则m的值为 .
19．若点A（1，n）在二次函数 的图象上，则点A关于抛物线对称轴的对称点 的坐标是 ，这两点间的线段被对称轴 ．
20．若二次函数 的图象过点（1，－2），则 a 的值是 ．
三、解答题
21．已知函数 是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的k的值；
（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点；
（3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？
22．二次函数 与直线 交于点P（1，b）．
（1）求a、b的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
23．已知函数 是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，当x为何值时，y随x的增大而增大；
（3）m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？
24．已知抛物线 过点（ ， ）和点（1，6），
（1）求这个函数解析式；
（2）当x为何值时，函数y随x的增大而减小；
25．直线 与抛物线 交于A、B两点，点P在抛物线 上，若三角形PAB 的面积为 ，求点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】二次函数 关于y轴对称，故y(-x)=y(x)，点P（-2，4）在图象上，则（2，4）必在图象上，故选A．
【分析】应用二次函数的对称性，明确函数 的对称轴是x=0，应用此规律解题．
2．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】由二次函数 的性质，当a>0时，开口向上，a<0时，开口向下，a的绝对值越大，越靠近y轴，故a>b>c>d，故选A．
【分析】熟悉二次函数 的图象特征，明确图象开口方向和形状与a的数量关系．
3．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：根据题意和图形可知：y=x2，0＜x≤10，所以y与x之间函数关系的大致图象是．
故选D．
【分析】主要考查了能通过分析题中的实际意义找出变量之间的关系和函数图象的读图能力．
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】由二次函数 的性质可得A、B、C均为正确， 时，y有最小值，故D错误，故选D．
【分析】熟记二次函数的图象特征，明确对称轴，增减性，顶点，最值的性质．
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】抛物线 的共同特点是对称轴是y轴，顶点是原点，其他特征由a的取值决定，故选B。
【分析】熟记二次函数 的共同特点，为解答更多复杂问题奠定基础．
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】抛物线 的开口大小由 a 的绝对值决定， a 的绝对值越小，开口越大，由于 的绝对值最小，故开口最大，故选B．
【分析】熟记二次函数 的开口程度与 a 值的大小关系，熟练解题．
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】①、②满足题设条件，③、④不过原点，故选B．
【分析】过分析一次函数和二次函数的单调性和图象上点的特征．
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】由题意当 时， ， 不是二次函数，不合题意；当 ， 的值总是非负数，故 a 的取值范围是 ，故选C．
【分析】此题要把握函数是二次函数且其值总是非负数这两个条件．
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】二次函数图象的开口大小是 a 的绝对值越大图象开口越小， a 的绝对值越小图象开口越大，故C错误，A、B、D均正确，故选C．
【分析】熟知 a 的绝对值大小与 a 的大小在 a 取负数时正好相反，所以C说法不正确．
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】由抛物线的对称性C（2， ）与 （ ， ）对称，当 时，抛物线 的函数值随 的增大而减小，由于 ，所以 ，故选D．
【分析】利用二次函数的对称性和单调性是解这类比较大小问题的一个方法．
11．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】由 ，得两函数图象的交点为（0，0）和（1， a ），故选C．
【分析】判断函数图象是找出交点、顶点，及抛物线开口方向、直线的倾斜方向都是有效的方法．
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】二次函数图象中 a 的符号决定了抛物线的开口方向，故选C．
【分析】利用数形结合的思想，熟记抛物线当中的某些性质和系数的关系，是学习抛物线知识的重要方法．
13．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】由题意，（1，4）在二次函数图象上，故 ，故 ，所以函数为 ，当 时， ，故选B．
【分析】先用待定系数法求出函数解析式，然后逐个代入 值，求解 值，看是否是函数上的点．
14．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】由一次函数和二次函数的图象知A、B、C，都满足当x＞0时y随x的增大而增大，唯有D符合当x＞0时y随x的增大而减小，故选D．
【分析】能够根据所学的一次函数、反比例函数、二次函数图象与系数的关系，定性的判断函数的增减性是一个有效的学习能力．
15．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】二次函数图象的开口大小取决于 a 的绝对值的大小， a 的绝对值越大，开口越小，故选B．
【分析】由二次函数的图象比较分析抛物线开口大小与 a 值的数量关系，从而比较其开口大小程度．
16．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】由题意，二次函数对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），故符合 的形式，其图象开口向下，故可取a=－1，所以符合要求的函数解析式为 ．
【分析】根据要求写出一个符合题目要求的解析式即可，此题答案不唯一．
17．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】由题意C（3， ）和P(－3， ）关于二次函数 对称，而当 时，此二次函数函数值随x的增大而增大，由于 ，所以 ．
【分析】熟悉二次函数的单调性（即y值随x的变化而如何递增或递减），是比较二次函数上函数值大小的关键．
18．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】由题意， ， ，解之得， ．
【分析】熟练应用二次函数 图象与 a 的取值的关系，可以快速解答此类型题目．
19．【答案】；垂直平分
【知识点】二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】在二次函数 中点（x，y）和（-x，y）关于对称轴对称，当 时， ，且对称点的连线被对称轴垂直平分．
【分析】熟知二次函数 是一个轴对称图形，能够明确对称点的坐标特征，对称点的连线被对称轴垂直平分．
20．【答案】－2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】由题意得： ，解之得 ．
【分析】利用函数图象上的点满足函数解析式，代入解析式，求参数 a ．
21．【答案】（1）解：由题意， ， ，解之得 或
（2）解：抛物线有最高点时 ，所以 ，最高点为抛物线顶点（0，0）
（3）解：抛物线有最小值时 ，所以 ，最小值为0．
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】熟知二次函数 图象与 a 的关系，能够根据题意判断 a 值的正负．
22．【答案】（1）解：由题意，有 ，解之得 ，
（2）解：二次函数的解析式为 ，开口向下，当 时，函数y随x的增大而减小．
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】利用两函数的交点同时满足两个函数的解析式，得到关于 a 、 b 的方程组，正确求解；利用二次函数图象与系数的关系判断函数的单调性(即y随x变化的变化情况）．
23．【答案】（1）解：由题意，有 且 ，解之得 或 .
（2）解：当 时，二次函数有最低点，此时 ，最低点为（0，0），且当 时，y随x的增大而增大.
（3）解：当 时，抛物线有最大值，最大值为0，且当 时，y随x的增大而减小.
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】二次函数 当 a 取正负值时，抛物线开口方向改变，增减性改变。
24．【答案】（1）解：由题意有 ， ，解之得 ， ，故函数的解析式为 ．
（2）解：由于 ，所以当 时，函数y随x的增大而减小．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】运用待定系数法求解函数解析式，并用 a 的正负判断函数的单调区间．
25．【答案】由，解得A（，0），B（，0）AB=，则P点到AB的距离为，故P点纵坐为0或－4，故P点为坐标原点（0，0）或（－2，－4）或（2，4）．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】此题运用一次函数与抛物线的交点求出AB的距离，再用三角形面积公式求出P点到AB的距离，从而求出P点纵坐标，进一点求出P点横坐标．
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