2023-2024学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含解析）

2023-2024学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模）
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题中，真命题是( )
A. 两个直角三角形一定相似 B. 两个等腰三角形一定相似
C. 两个钝角三角形一定相似 D. 两个等边三角形一定相似
2.在中，，，，那么的值是( )
A. B. C. D.
3.下列说法错误的是( )
A. 如果与都是单位向量，那么
B. 如果，那么或
C. 如果为非零向量，那么
D. 如果，为非零向量，那么与平行
4.如图，已知，直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知二次函数的解析式为，下列关于函数图象的说法正确的是( )
A. 对称轴是直线 B. 图象经过原点
C. 开口向上 D. 图象有最低点
6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，如果实数表示的值，实数表示的值，那么、的大小关系为( )
A.
B.
C.
D. 无法确定
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.计算： ______ ．
8.已知，那么 ______ ．
9.计算： ______ ．
10.在中，，如果，，那么 ______ ．
11.如图，在中，点在边上，点在边上，，：：，那么的值为______ ．
12.将抛物线向上平移个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是______ ．
13.抛物线的对称轴是直线，如果点、在此抛物线上，那么 ______ 填“”、“”或“”
14.小明沿斜坡坡面向上前进了米，垂直高度上升了米，那么这个斜坡的坡比是______ ．
15.已知反比例函数，如果，，那么 ______ 填“”或“”
16.“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为步和步两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离”如图，已知，，是上一点，，在处测得点的俯角为，，，那么 ______ ．
17.新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数黄金数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”如图，是“精准三角形”，，，垂足为点，那么的长度为______ ．
18.如图，在中，，，点为边上的点，联结，将沿翻折，点落在平面内点处，边交边于点，联结，如果，那么的值为______ ．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：．
20.本小题分
如图，在平行四边形中，点，分别是边、的中点，设，．
______ ， ______ ；用含有向量、的式子表示
在图中画出在向量和方向上的分向量不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论
21.本小题分
如图，在坐标平面中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
求这个反比例函数的解析式；
过点作轴，垂足为点，将一次函数图象向右平移，且经过点，求平移后的一次函数的解析式．
22.本小题分
诱发高速公路夜间行车安全事故的一个重要原因是眩光现象夜间会车时，对向车辆车灯的强光射向驾驶员，存在安全隐患目前主要措施是设置防眩装置遮挡车辆灯光，避免强光射向对向车道的驾驶员．
如图所示，一条东西方向的双向笔直道路，中央隔离带中轴线垂直平分每块遮光板，遮光板宽度是米，即米一辆摩托车自西向东行驶，车灯位于点时，车灯发出的光线经过相邻个遮光板外侧的点和点，光线经过遮光板外侧的点，点和点在对向车道驾驶员行驶路线上于点，两侧驾驶员行驶路线之间的距离米，光线和行驶路线的夹角，点，，，，，，，在同一平面内参考数据：
的长度是多少米？
相邻遮光板的距离是多少米？
23.本小题分
如图，在中，点、在边上，，，过点作交边于点．
求证：∽；
求证：．
24.本小题分
如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等；
如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数．
已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为抛物线：上有一点，以点为顶点的抛物线经过点点与点不重合，抛物线和形状相同，开口方向相反．
当抛物线经过点时，求抛物线的表达式；
求抛物线的对称轴；
当时，设抛物线的顶点为，抛物线的对称轴与轴的交点为，联结、、，求证：平分．
25.本小题分
如图，在中，，以，为边在外部作等边三角形和等边三角形，且联结．
如图，联结，，求证：≌；
如图，延长交线段于点．
当点为线段中点时，求的值；
请用直尺和圆规在直线上方作等边三角形不要求写作法，保留作图痕迹，并写明结论，当点在的内部时，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，不正确，不符合三角形相似的判定方法，是假命题，不符合题意；
，不正确，没有指明相等的角或边的比例，是假命题，不符合题意；
，不正确，没有指明另一个锐角或边的比例，是假命题，不符合题意；
，正确，等边三角形的三个角均相等，能通过有两个角相等的三角形相似来判定，是真命题，符合题意．
故选：．
根据相似三角形的判定定理对各个选项进行分析即可．
本题考查命题和定理，三角形相似的判定，正确记忆相关内容是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，得，
故选：．
根据直角三角形中余弦的定义计算即可．
本题考查锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中计算锐角三角函数的方法是本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：如果与都是单位向量，那么，
故A选项正确，不符合题意；
如果，那么或，
故B选项正确，不符合题意；
如果为非零向量，那么，
故C选项不正确，符合题意；
，为非零向量，
，
即，
，
与平行．
故D选项正确，不符合题意．
故选：．
根据平面向量的运算法则逐一判断即可．
本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
，选项符合题意；
，选项不符合题意；
，选项不符合题意；
，选项不符合题意；
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可判断．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，函数图象有最高点，当时，，即图象过原点．
故选：．
依据题意，将二次函数解析式化为顶点式求解．
本题主要考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
6.【答案】
【解析】解：二次函数的图象经过，，
，对称轴为直线，
抛物线开口向下，
，
，
，
，
．
故选：．
根据二次函数的图象经过，，得，对称轴为直线，根据抛物线开口向下，得，，所以，即可得出答案．
本题考查了二次函数的图象和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象与系数是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据零指数和负整数指数幂公式可解答．
本题考查了零指数和负整数指数幂，掌握，为正整数是解本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：
根据比例的性质“如果，那么”计算即可．
本题考查比例的性质，理解并灵活运用它是本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
根据平面向量的运算法则计算即可．
本题考查平面向量，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
利用正切的定义计算即可．
本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握并灵活运用各锐角三角函数的定义是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
∽，
：：，
：：，
，
，
故答案为：．
根据平行线可推出∽，依据面积比等于相似比的平方进行解答即可．
本题考查了相似三角形的判定及性质，熟记面积比等于相似比的平方是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：将抛物线向上平移个单位，
平移后的抛物线的解析式为：．
平移后的抛物线的顶点坐标为：．
故答案为：．
依据题意，直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出顶点坐标．
本题主要考查了二次函数图象的平移变换，解题时要熟练掌握并能正确理解平移规律是关键．
13.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，，
当时，随着的增大而增大．
，
．
故答案为：．
依据题意，首先利用对称轴和二次项系数的符号确定增减性，然后写出答案即可．
本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能理解函数的增减性是关键．
14.【答案】：
【解析】解：由勾股定理得：小明行走的水平距离是米，
这个斜坡的坡比：．
故答案为：：．
由勾股定理求出小明行走的水平距离，由坡比的定义即可计算．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角，关键是掌握斜坡的坡比的定义．
15.【答案】
【解析】解：，，
点和点在第二象限，
．
故答案为：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征可确定的符号．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和图象与的关系，先根据题意判断出函数的图象所在的象限是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：由题知，
在点处测得点的俯角为，
．
在中，
，
又，
．
同理可得，．
又，
．
在中，
．
．
故答案为：．
先解，求出和，再由，利用勾股定理求出即可解决问题．
本题考查解直角三角形，熟知特殊角的三角函数值及勾股定理的巧妙运用是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：作的中线，
是“精准三角形”，
，
，
，
是中点，
，
令，则，
，
，
，
，
．
故答案为：．
作的中线，由精准三角形的定义得到，求出的长，由线段中点定义得到，令，由勾股定理得到，求出，得到即可求出的长．
本题考查勾股定理，黄金分割，等腰三角形的性质，关键是由精准三角形的定义求出的长，由勾股定理列出关于方程．
18.【答案】
【解析】解：如图所示：过作于，过作于，
，
∽，
，
设，
，
，，
，
将沿翻折，点落在平面内点处，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先过作于，过作于，再根据相似三角形的性质及解直角三角形求解．
本题考查了翻折的性质，掌握等腰三角形的性质和解直角三角形是解题的关键．
19.【答案】解：原式
．
【解析】根据特殊角的三角函数值、分数指数幂和二次根式的分母有理化计算即可．
本题考查分数指数幂、实数的运算和特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是本题的关键．
20.【答案】
【解析】解：，
，，
，，
．
故答案为：，；
如图，，即为所求．
利用三角形法则求解；
利用平行四边形法则求解．
本题考查作图复杂作图，三角形中位线定理，平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则．
21.【答案】解：点在上，
，
，
，
在上，
，
反比例函数的解析式为：；
设平移后的一次函数的解析式为：，
轴，且，
，
把点代入中，得：，
，
平移后的一次函数的解析式为：．
【解析】把点代入得到，把代入，求得，于是得到结论；
根据平移前后的一次函数的解析式相等，设平移后的一次函数的解析式为：，将点的坐标代入可得结论．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
22.【答案】解：，
米；
过作于，过作于，中轴线与交于点，如图：
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
是中点，也是的中点，
米，米，
米，
，
，
，
米．
答：相邻遮光板的距离是米．
【解析】根据锐角三角函数的定义求解即可；
过作于，过作于，中轴线与交于点，然后根据平行线的性质求出的长，再根据矩形的判定与性质求出以及的长，最后根据平行线的性质，求出，从而可以求出．
本题主要考查了解直角三角形，正确理解锐角三角形正切的定义是本题解题的关键．
23.【答案】证明：，
，
又，
∽；
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【解析】根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可得解；
根据平行线分线段成比例定理求出，根据比例性质及等量代换求解即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：将点代入抛物线，
得，解得，
得抛物线得表达式为；
由抛物线和形状相同，开口方向相反，设抛物线得表达式为，
把代入抛物线：，得，
则抛物线得表达式为，
由点在抛物线上，设点的坐标为，
由点是抛物线的顶点，得，解得，
得点的坐标为，
即抛物线的对称轴为直线；
由点是抛物线的顶点，得，
过点作轴，轴，垂足分别为点，，交轴于点，如下图所示，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，即，
设直线表达式为，
代入，，得，
直线表达式为，
把代入，得，
得点的坐标为，
，
，，
≌，
，
平分．
【解析】将点的坐标代入抛物线的解析式，求出的值；
通过题意求出抛物线的解析式，假设点的坐标，代入抛物线求出的值，从而得到抛物线的对称轴；
过点作轴，轴，垂足分别为点，，交轴于点，利用表示点、点的坐标，得到各边的数量关系，通过证明≌，得到平分．
本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数顶点的坐标，全等三角形的性质与判定等知识点．
25.【答案】证明：等边三角形和等边三角形，
，，，
，
≌；
解：如图，延长到点，使，连接、，
是的中点，
，
，
≌，
，，
，都是等边三角形，
，，，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
垂直平分，
，
是等边三角形，
，
，
．
如图，分别以、为圆心，长为半径在上方画弧，两弧交于点，连接、，
则为所求作的等边三角形，
由作图可知，所以为等边三角形，
当在边上且为中点时，由知：
可得，
当在边上时，假设，如图，
，和为等边三角形，，
，，
，，，
，
，，
，
点在线段上．
，，
，
，
，，
，
时，在边上，
此时，
的取值范围是．
【解析】由等边三角形的性质得出相等的边和相等的角，再利用角的和得出，从而得出全等．
根据已知条件得出≌，再根据得出的结论证明≌，从而得出是等边三角形，求出即可．
作等边三角形，由作法可以证明是等边三角形，分类讨论当在边上时，当在边上时，分别求出的值，即可得出的取值范围．
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，尺规作图，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
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