2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程（2） 同步训练）我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题："直田积(矩形面积)，八百六十四(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)，问阔及长各几步．"如果设矩形田地的长为x步，那么同学们列出的下列方程中正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）从正方形铁片上截去 宽的一个矩形，剩余矩形的面积为 ，则原来正方形的面积为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2 ．若设道路的宽为 ，则下面所列方程正确的是（ ）
A．(32-x)(20-x)=32×20-570 B．32x+2×20x=32×20-570
C．32x+2×20x-2x2=570 D．(32-2x)(20-x)= 570
4．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm，由题意可列方程（ ）
A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24
C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48
5．（2017·樊城模拟）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0
C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0
6．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24 B．24或8 C．48 D．8
7．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm 3 ，则原铁皮的边长为（ ）
A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm
8．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律．若前n行点数和为930，则n＝（ ）
A．29 B．30 C．31 D．32
二、填空题
9．（2015八下·绍兴期中）如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米．
10．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）如图，点A的坐标为（﹣4，0），直线y= x+n与坐标轴交于点B、C，连接AC，如果∠ACD=90°，则n的值为 ．
11．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为 ．
12．（2017·阜宁模拟）如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为 ．
13．（2016九上·江夏期中）如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是
14．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小正三角形，若 ＝ ，则正△ABC的边长是 ．
三、解答题
15．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．
16．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
17．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
18．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）如图，某农场有一块长40 m，宽32 m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路．要使种植面积为1140 m2，求小路的宽．
19．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的 ．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
20．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）已知某市2013年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图．
（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；
（2）若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量；
（3）为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2014年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2013年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收 元，若某企业2014年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量．
21．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，
（1）如果P、Q同时出发，几秒后，可使△PBQ的面积为8平方厘米？
（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步．
，得：x（x-12）=864．故本题选B
【分析】设矩形田地的长为x步，宽就应该是（x-12）步．根据矩形面积=长×宽，列出方程即可。
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设正方形的边长为xcm，由题意得
x(x-2)=80，
解之得
x1=10，x2=-8（舍去）.
∴原来正方形的面积为：10×10=100(cm2).
故答案为：A.
【分析】设正方形的边长为xcm，就可表示出剩余矩形的另一边长为（x-2）cm，再根据剩余矩形的面积= 80，列方程求出符合题意的x的值，就可得出原来正方形的面积。
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由图易得该矩形的长为(32 2x)m，宽为（20-x）m，由此根据题意可得：
( 32 2 x ) ( 20 x ) = 570.
故答案为：D.
【分析】通过平移可将六块草坪拼为一块，可得一个大矩形，就可表示出该矩形的长为(32 2x)m，宽为（20-x）m，再根据草坪的面积=570，列方程可解答。
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设x秒后，螳螂走了 2x，蝉走了x，MB=10-2x，NC=8-x，
由题意知 (10－2x)(8－x)＝24，
(10－2x)(8－x)＝48，
故答案为：D
【分析】根据点M、N的移动方向及速度，表示出MB、NC的长，再根据△MNB的面积=24，列方程可解答。
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣1）（x﹣2）=18，
故选C．
【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式方程可列出．
6．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】 (x 6)(x 10)=0，
∴x=6或x=10.
当x=6时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形，
∴高
当x=10时，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形，
∴S=24或 .
故答案为：B
【分析】先利用因式分解法求出方程的根，利用三角形三边关系定理可得出第三边的长是6或10，然后根据三角形的形状，利用三角形的面积公式求解。
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设原铁皮的边长为xcm
由题意得
【分析】设正方形铁皮的边长应是x厘米，可表示出做成没有盖的长方体盒子的长、宽为（x-6）厘米，高为3厘米，根据长方体的体积=长×宽×高，列方程解答即可。
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设前n行的点数和为s．
则s=2+4+6+…+2n= =n（n+1）．
若s=930，则n（n+1）=930．
∴（n+31）（n-30）=0．
∴n=-31或30．
故答案为：B
【分析】观察图形，可得出前n行的点数和为2+4+6++2n=n（n+1）=930，解方程可求解。
9．【答案】1
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）=532，
整理，得x2﹣35x+34=0．
解得，x1=1，x2=34．
∵34＞30（不合题意，舍去），
∴x=1．
答：小道进出口的宽度应为1米．
故答案为：1．
【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．
10．【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵直线y= x+n与坐标轴交于点B，C，
∴B点的坐标为（﹣ n，0），C点的坐标为（0，n），
∵A点的坐标为（﹣4，0），∠ACD=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∵AC2=AO2+OC2，BC2=0B2+0C2，
∴AB2=AO2+OC2+0B2+0C2，
即（﹣ n+4）2=42+n2+（﹣ n）2+n2
解得n= ，n=0（舍去）．
故答案为：
【分析】根据一次函数解析式求出点B、C的坐标，再利用勾股定理得出AC2=AO2+OC2，BC2=0B2+0C2，AB2=AC2+BC2，可推出AB2=AO2+OC2+0B2+OC2，据此建立关于n的方程，解方程求出符合题意的n的值即可。
11．【答案】10
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：依题意有
n（n+1）+1=56，
解得x1=﹣11（不合题意舍去），x2=10．
答：n的值为10．
故答案为：10
【分析】根据图形寻找规律，可知n条直线最多将平面分成 n（n+1）+1，就可得出等量关系：n条直线最多可将平面分成56个部分，列方程求解即可。
12．【答案】 或
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P
∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，
∴MD′=PD′，
设MD′=x，则PD′=BM=x，
∴AM=AB﹣BM=7﹣x，
又折叠图形可得AD=AD′=5，
∴x2+（7﹣x）2=25，解得x=3或4，
即MD′=3或4．
在Rt△END′中，设ED′=a，①当MD′=3时，AM=7﹣3=4，D′N=5﹣3=2，EN=4﹣a，
∴a2=22+（4﹣a）2，
解得a= ，即DE= ，②当MD′=4时，AM=7﹣4=3，D′N=5﹣4=1，EN=3﹣a，
∴a2=12+（3﹣a）2，
解得a= ，即DE= ．
故答案为： 或 ．
【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．
13．【答案】2或5
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，
∴BD=DB′，AB′=AB=10．
如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．
设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8﹣x．
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2=AF2+FB′2，即（6+x）2+（8﹣x）2=102．
解得：x1=2，x2=0（舍去）．
∴BD=2．
如图2所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合．
∵AB′=10，AC=6，
∴B′E=4．
设BD=DB′=x，则CD=8﹣x．
在Rt△′BDE中，DB′2=DE2+B′E2，即x2=（8﹣x）2+42．
解得：x=5．
∴BD=5．
综上所述，BD的长为2或5．
故答案为：2或5．
【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后由翻折的性质可知：AB′=10，DB=DB′，接下来分为∠B′DE=90°和∠B′ED=90°，两种情况画出图形，设DB=DB′=x，然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可．
14．【答案】12
【知识点】菱形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设正△ABC的边长为x，则高为 x，S△ABC＝ x· x＝ x2.
∵所分成的都是正三角形，
∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为 x－ ，
较短的对角线为( x－ ) ＝ x－1，
∴黑色菱形的面积＝ ＝ (x－2)2，
∴ ＝ ＝ ，
整理得，11x2－144x＋144＝0，解得x1＝ (不符合题意，舍去)，x2＝12.∴△ABC的边长是12.
答案 12
【分析】设正△ABC的边长为x，根据等边三角形的高为边长的倍，求出正△ABC的面积，再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积，然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解。
15．【答案】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，（8﹣2x）（80-3x）=56，解得：x1=2，x2= （不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设人行道的宽度为x米，利用平移法，可得出矩形绿地的长为(20-3x)m，宽为（8-2x）m，再根据绿地的面积=56，列方程求出符合题意的x的值，即可解答。
16．【答案】解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x=400，
解得 x1=20，x2=5．
则100﹣4x=20或100﹣4x=80．
∵80＞25，
∴x2=5舍去．
即AB=20，BC=20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】根据题意可得出2AB+BC=100，设AB的长度为x可表示出BC的长，再根据矩形ABCD的面积=400，列方程求解，然后根据AB≤25，可得出答案。
17．【答案】（1）解：设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，由题意，得（ ）2+（ ）2=58，
解得：x1=12，x2=28，
当x=12时，较长的为40﹣12=28cm，
当x=28时，较长的为40﹣28=12＜28（舍去）．
答：李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段
（2）解：李明的说法正确．理由如下：
设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm，由题意，得
（ ）2+（ ）2=48，
变形为：m2﹣40m+416=0，
∵△=（﹣40）2﹣4×416=﹣64＜0，
∴原方程无实数根，
∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意可知两正方形的周长和为40，因此设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，就可表示出两正方形的边长，再根据两正方形的面积之和=58，列方程求出符合题意的x的值，可解答。
（2）等量关系为：两个正方形的面积之和为48，列方程，再判断方程根的情况，可得出答案。
18．【答案】解：设小路的宽为x m．图中的小路平移到矩形边上时，种植面积是不改变的．
∴（40－x）（32－x）=1140．
解得x 1=2，x2=70（不合题意，舍去）．
∴小路的宽为2 m．
答：小路的宽为2 m
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设小路的宽为x m，利用平移法可得出种植的矩形的长为（40-x）米，宽为（32-x）米。再根据种植面积=1140，建立方程求解即可。
19．【答案】（1）解：设条纹的宽度为x米．依题意得
2x×5+2x×4﹣4x2= ×5×4，
解得：x1= （不符合，舍去），x2= ．
答：配色条纹宽度为 米
（2）解：条纹造价： ×5×4×200=850（元）
其余部分造价：（1﹣ ）×4×5×100=1575（元）
∴总造价为：850+1575=2425（元）
答：地毯的总造价是2425元
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得出等量关系为：配色条纹所占的面积=整个地毯的面积×.列方程求解即可。
（2）地毯的总造价=条纹的面积×条纹的单价+其余部分的面积×其余部分的单价。列式计算可解答。
20．【答案】（1）解：设y关于x的函数关系式y=kx+b，∵直线y=kx+b经过点（50，200），（60，260）∴ 解得
∴y关于x的函数关系式是y=6x﹣100
（2）解：由图可知，当y=620时，x＞50∴6x﹣100=620，解得x=120．
答：该企业2013年10月份的用水量为120吨
（3）解：由题意得6x﹣100+ （x﹣80）=600，
化简得x2+40x﹣14000=0
解得：x1=100，x2=﹣140（不合题意，舍去）．
答：这个企业2014年3月份的用水量是100吨
【知识点】一元二次方程的其他应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）观察图像可得出当x≥50时，图像经过点（50，200），（60，260），利用待定系数法求出y与x的函数解析式。
（2）将y=620代入方程求出该企业2013年10月份的用水量。
（3）等量关系为：某企业2014年3月份的水费+污水处理费=600，设未知数列方程求解即可。
21．【答案】（1）解：设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有： （6-x） 2x=8，
解得x1=2，x2=4，
经检验，x1，x2均符合题意，
故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2
（2）解：不能，理由如下：设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有：S△ABC = ×6×8=24，
（6﹣y） 2y=12，
y2﹣6y+12=0，∵△=b2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，根据点P和点Q的运动方向和速度可得出PB=6-X，QB=2X，再根据△PBQ的面积等于8，建立方程求解即可。
（2）设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，根据题意可得出△PBQ的面积=12，列方程，若方程有符合题意的解，则可得出线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，否则不能。
1 / 12018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程（2） 同步训练）我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题："直田积(矩形面积)，八百六十四(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)，问阔及长各几步．"如果设矩形田地的长为x步，那么同学们列出的下列方程中正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步．
，得：x（x-12）=864．故本题选B
【分析】设矩形田地的长为x步，宽就应该是（x-12）步．根据矩形面积=长×宽，列出方程即可。
2．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）从正方形铁片上截去 宽的一个矩形，剩余矩形的面积为 ，则原来正方形的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设正方形的边长为xcm，由题意得
x(x-2)=80，
解之得
x1=10，x2=-8（舍去）.
∴原来正方形的面积为：10×10=100(cm2).
故答案为：A.
【分析】设正方形的边长为xcm，就可表示出剩余矩形的另一边长为（x-2）cm，再根据剩余矩形的面积= 80，列方程求出符合题意的x的值，就可得出原来正方形的面积。
3．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2 ．若设道路的宽为 ，则下面所列方程正确的是（ ）
A．(32-x)(20-x)=32×20-570 B．32x+2×20x=32×20-570
C．32x+2×20x-2x2=570 D．(32-2x)(20-x)= 570
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由图易得该矩形的长为(32 2x)m，宽为（20-x）m，由此根据题意可得：
( 32 2 x ) ( 20 x ) = 570.
故答案为：D.
【分析】通过平移可将六块草坪拼为一块，可得一个大矩形，就可表示出该矩形的长为(32 2x)m，宽为（20-x）m，再根据草坪的面积=570，列方程可解答。
4．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm，由题意可列方程（ ）
A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24
C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设x秒后，螳螂走了 2x，蝉走了x，MB=10-2x，NC=8-x，
由题意知 (10－2x)(8－x)＝24，
(10－2x)(8－x)＝48，
故答案为：D
【分析】根据点M、N的移动方向及速度，表示出MB、NC的长，再根据△MNB的面积=24，列方程可解答。
5．（2017·樊城模拟）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0
C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣1）（x﹣2）=18，
故选C．
【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式方程可列出．
6．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24 B．24或8 C．48 D．8
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】 (x 6)(x 10)=0，
∴x=6或x=10.
当x=6时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形，
∴高
当x=10时，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形，
∴S=24或 .
故答案为：B
【分析】先利用因式分解法求出方程的根，利用三角形三边关系定理可得出第三边的长是6或10，然后根据三角形的形状，利用三角形的面积公式求解。
7．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm 3 ，则原铁皮的边长为（ ）
A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设原铁皮的边长为xcm
由题意得
【分析】设正方形铁皮的边长应是x厘米，可表示出做成没有盖的长方体盒子的长、宽为（x-6）厘米，高为3厘米，根据长方体的体积=长×宽×高，列方程解答即可。
8．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律．若前n行点数和为930，则n＝（ ）
A．29 B．30 C．31 D．32
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设前n行的点数和为s．
则s=2+4+6+…+2n= =n（n+1）．
若s=930，则n（n+1）=930．
∴（n+31）（n-30）=0．
∴n=-31或30．
故答案为：B
【分析】观察图形，可得出前n行的点数和为2+4+6++2n=n（n+1）=930，解方程可求解。
二、填空题
9．（2015八下·绍兴期中）如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）=532，
整理，得x2﹣35x+34=0．
解得，x1=1，x2=34．
∵34＞30（不合题意，舍去），
∴x=1．
答：小道进出口的宽度应为1米．
故答案为：1．
【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．
10．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）如图，点A的坐标为（﹣4，0），直线y= x+n与坐标轴交于点B、C，连接AC，如果∠ACD=90°，则n的值为 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵直线y= x+n与坐标轴交于点B，C，
∴B点的坐标为（﹣ n，0），C点的坐标为（0，n），
∵A点的坐标为（﹣4，0），∠ACD=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∵AC2=AO2+OC2，BC2=0B2+0C2，
∴AB2=AO2+OC2+0B2+0C2，
即（﹣ n+4）2=42+n2+（﹣ n）2+n2
解得n= ，n=0（舍去）．
故答案为：
【分析】根据一次函数解析式求出点B、C的坐标，再利用勾股定理得出AC2=AO2+OC2，BC2=0B2+0C2，AB2=AC2+BC2，可推出AB2=AO2+OC2+0B2+OC2，据此建立关于n的方程，解方程求出符合题意的n的值即可。
11．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为 ．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：依题意有
n（n+1）+1=56，
解得x1=﹣11（不合题意舍去），x2=10．
答：n的值为10．
故答案为：10
【分析】根据图形寻找规律，可知n条直线最多将平面分成 n（n+1）+1，就可得出等量关系：n条直线最多可将平面分成56个部分，列方程求解即可。
12．（2017·阜宁模拟）如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为 ．
【答案】 或
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P
∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，
∴MD′=PD′，
设MD′=x，则PD′=BM=x，
∴AM=AB﹣BM=7﹣x，
又折叠图形可得AD=AD′=5，
∴x2+（7﹣x）2=25，解得x=3或4，
即MD′=3或4．
在Rt△END′中，设ED′=a，①当MD′=3时，AM=7﹣3=4，D′N=5﹣3=2，EN=4﹣a，
∴a2=22+（4﹣a）2，
解得a= ，即DE= ，②当MD′=4时，AM=7﹣4=3，D′N=5﹣4=1，EN=3﹣a，
∴a2=12+（3﹣a）2，
解得a= ，即DE= ．
故答案为： 或 ．
【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．
13．（2016九上·江夏期中）如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是
【答案】2或5
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，
∴BD=DB′，AB′=AB=10．
如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．
设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8﹣x．
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2=AF2+FB′2，即（6+x）2+（8﹣x）2=102．
解得：x1=2，x2=0（舍去）．
∴BD=2．
如图2所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合．
∵AB′=10，AC=6，
∴B′E=4．
设BD=DB′=x，则CD=8﹣x．
在Rt△′BDE中，DB′2=DE2+B′E2，即x2=（8﹣x）2+42．
解得：x=5．
∴BD=5．
综上所述，BD的长为2或5．
故答案为：2或5．
【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后由翻折的性质可知：AB′=10，DB=DB′，接下来分为∠B′DE=90°和∠B′ED=90°，两种情况画出图形，设DB=DB′=x，然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可．
14．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小正三角形，若 ＝ ，则正△ABC的边长是 ．
【答案】12
【知识点】菱形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设正△ABC的边长为x，则高为 x，S△ABC＝ x· x＝ x2.
∵所分成的都是正三角形，
∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为 x－ ，
较短的对角线为( x－ ) ＝ x－1，
∴黑色菱形的面积＝ ＝ (x－2)2，
∴ ＝ ＝ ，
整理得，11x2－144x＋144＝0，解得x1＝ (不符合题意，舍去)，x2＝12.∴△ABC的边长是12.
答案 12
【分析】设正△ABC的边长为x，根据等边三角形的高为边长的倍，求出正△ABC的面积，再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积，然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解。
三、解答题
15．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．
【答案】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，（8﹣2x）（80-3x）=56，解得：x1=2，x2= （不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设人行道的宽度为x米，利用平移法，可得出矩形绿地的长为(20-3x)m，宽为（8-2x）m，再根据绿地的面积=56，列方程求出符合题意的x的值，即可解答。
16．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
【答案】解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x=400，
解得 x1=20，x2=5．
则100﹣4x=20或100﹣4x=80．
∵80＞25，
∴x2=5舍去．
即AB=20，BC=20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】根据题意可得出2AB+BC=100，设AB的长度为x可表示出BC的长，再根据矩形ABCD的面积=400，列方程求解，然后根据AB≤25，可得出答案。
17．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
【答案】（1）解：设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，由题意，得（ ）2+（ ）2=58，
解得：x1=12，x2=28，
当x=12时，较长的为40﹣12=28cm，
当x=28时，较长的为40﹣28=12＜28（舍去）．
答：李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段
（2）解：李明的说法正确．理由如下：
设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm，由题意，得
（ ）2+（ ）2=48，
变形为：m2﹣40m+416=0，
∵△=（﹣40）2﹣4×416=﹣64＜0，
∴原方程无实数根，
∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意可知两正方形的周长和为40，因此设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，就可表示出两正方形的边长，再根据两正方形的面积之和=58，列方程求出符合题意的x的值，可解答。
（2）等量关系为：两个正方形的面积之和为48，列方程，再判断方程根的情况，可得出答案。
18．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）如图，某农场有一块长40 m，宽32 m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路．要使种植面积为1140 m2，求小路的宽．
【答案】解：设小路的宽为x m．图中的小路平移到矩形边上时，种植面积是不改变的．
∴（40－x）（32－x）=1140．
解得x 1=2，x2=70（不合题意，舍去）．
∴小路的宽为2 m．
答：小路的宽为2 m
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设小路的宽为x m，利用平移法可得出种植的矩形的长为（40-x）米，宽为（32-x）米。再根据种植面积=1140，建立方程求解即可。
19．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的 ．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
【答案】（1）解：设条纹的宽度为x米．依题意得
2x×5+2x×4﹣4x2= ×5×4，
解得：x1= （不符合，舍去），x2= ．
答：配色条纹宽度为 米
（2）解：条纹造价： ×5×4×200=850（元）
其余部分造价：（1﹣ ）×4×5×100=1575（元）
∴总造价为：850+1575=2425（元）
答：地毯的总造价是2425元
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得出等量关系为：配色条纹所占的面积=整个地毯的面积×.列方程求解即可。
（2）地毯的总造价=条纹的面积×条纹的单价+其余部分的面积×其余部分的单价。列式计算可解答。
20．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）已知某市2013年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图．
（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；
（2）若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量；
（3）为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2014年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2013年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收 元，若某企业2014年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量．
【答案】（1）解：设y关于x的函数关系式y=kx+b，∵直线y=kx+b经过点（50，200），（60，260）∴ 解得
∴y关于x的函数关系式是y=6x﹣100
（2）解：由图可知，当y=620时，x＞50∴6x﹣100=620，解得x=120．
答：该企业2013年10月份的用水量为120吨
（3）解：由题意得6x﹣100+ （x﹣80）=600，
化简得x2+40x﹣14000=0
解得：x1=100，x2=﹣140（不合题意，舍去）．
答：这个企业2014年3月份的用水量是100吨
【知识点】一元二次方程的其他应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）观察图像可得出当x≥50时，图像经过点（50，200），（60，260），利用待定系数法求出y与x的函数解析式。
（2）将y=620代入方程求出该企业2013年10月份的用水量。
（3）等量关系为：某企业2014年3月份的水费+污水处理费=600，设未知数列方程求解即可。
21．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用（2） 同步练习）如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，
（1）如果P、Q同时出发，几秒后，可使△PBQ的面积为8平方厘米？
（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
【答案】（1）解：设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有： （6-x） 2x=8，
解得x1=2，x2=4，
经检验，x1，x2均符合题意，
故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2
（2）解：不能，理由如下：设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有：S△ABC = ×6×8=24，
（6﹣y） 2y=12，
y2﹣6y+12=0，∵△=b2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，根据点P和点Q的运动方向和速度可得出PB=6-X，QB=2X，再根据△PBQ的面积等于8，建立方程求解即可。
（2）设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，根据题意可得出△PBQ的面积=12，列方程，若方程有符合题意的解，则可得出线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，否则不能。
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