2023-2024学年黑龙江省牡丹江市海林市重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省牡丹江市海林市重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等差数列中，，，则公差等于( )
A. B. C. D.
2.若三个实数，，成等比数列，其中，，则( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
4.在等差数列中，已知，则该数列前项和( )
A. B. C. D.
5.已知数列的通项公式为，则是这个数列的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
6.等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
7.圆心为，半径为的圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
8.下列方程表示焦点在轴上且短轴长为的椭圆是( )
A. B. C. D.
9.已知直线的斜率是，且在轴上的截距是，则直线的方程是( )
A. B. C. D.
10.已知等比数列中，，，则的值( )
A. B. C. D.
11.椭圆：的左、右焦点为，，过的直线交于，两点，且的周长为，则为( )
A. B. C. D.
12.一个等比数列的前项和为，前项和为，则前项和为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如果，，三点在同一条直线上，那么的值是______．
14.双曲线的焦点坐标是______ ．
15.以直线为准线的抛物线的标准方程为______ ．
16.点到直线的距离为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在等差数列中，已知，，，求数列的通项公式．
18.本小题分
求椭圆的长轴和短轴长，离心率，焦点坐标和顶点坐标．
19.本小题分
若数列的前项和，求数列的通项公式．
20.本小题分
已知函数，，若等比数列满足，求的值．
21.本小题分
已知为数列的前项和，且，若，，是的前项和，求．
22.本小题分
已知正项等比数列满足，．
求数列的通项公式；
若数列的公比为正整数，令，求数列的前项和，并求满足的最小正整数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在等差数列中，由，，
得．
故选：．
直接由已知结合等差数列的通项公式得答案．
本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．
2.【答案】
【解析】解：三个实数，，成等比数列，
则，
则，
故选：．
根据等比数列的性质即可求出．
本题考查了等比数列的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：等差数列中，，，
，解得，
则．
故选：．
由等差数列的通项公式，可得首项，再由等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式，求出首项是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：在等差数列中，，
则该数列前项和：
．
故选：．
利用等差数列的前项和公式、通项公式能求出该数列前项和．
本题考查等差数列的前项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：令，．
解得．
是这个数列的第项．
故选：．
令，，解得即可得出．
本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：等差数列中，，，
，解得，．
．
故选：．
利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．
本题考查等差数列的第项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：所求圆的圆心为，半径为，
所求圆的标准方程为：．
故选：．
利用圆的标准方程即可求得答案．
本题考查圆的标准方程，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．利用椭圆的方程判断焦点坐标的位置以及短轴长即可．
【解答】
解：的焦点坐标在轴上，短半轴长为，短轴才为；所以A正确；
选项B、，焦点坐标在轴上，不正确；选项C，短轴长为，不正确；
故选A．
9.【答案】
【解析】解：直线的斜率是，且在轴上的截距是，
则直线的方程为．
故选：．
根据已知条件，结合直线的斜截式方程，即可求解．
本题主要考查直线的斜截式方程，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：在正项等比数列中，由，，
得
即．
所以．
故选：．
直接利用等比中项的定义求解．
本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比中项的概念，在等比数列中，若，，，，且，则此题是基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．
由椭圆的定义可得，，即可得出答案．
【解答】解：椭圆：，
椭圆的焦点在轴上，
则由椭圆的定义可得，
的周长
，
解得，
故选B．
12.【答案】
【解析】解：由等比数列的性质得：
，，成等比数列，
等比数列的前项和为，前项和为，
，，成等比数列，
，
解得．
故选：．
由等比数列的性质得，，成等比数列，由此能求出结果．
本题考查等比数列的前项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
13.【答案】
【解析】解：，，三点在同一条直线上，
和的斜率相等，
，，
故答案为．
利用斜率公式以及和的斜率相等，解方程求出的值．
本题考查三点共线的性质以及斜率公式的应用，判断和的斜率相等是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意可得：双曲线的方程为：，
所以，，所以，
又因为双曲线的焦点在轴上，
所以双曲线的坐标为．
故答案为：．
根据双曲线的方程为：，可得，，所以，又因为双曲线的焦点在轴上，进而得到双曲线的焦点坐标．
解决此类问题的关键是熟练掌握双曲线中的有关数值的关系，并且灵活的运用标准方程解决有关问题．
15.【答案】
【解析】解：因为抛物线的准线为，则，
解得，
所以由抛物线的定义可知所求抛物线方程为．
故答案为：．
根据抛物线的概念直接求解即可．
本题主要考查了抛物线的标准方程，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：利用点到直线的距离可得：．
故答案为：．
利用点到直线的距离公式即可得出．
本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：设数列的公差为，由条件可得，
解得，
则，．
【解析】由条件，代入等差数列的基本量，求公差，即可求数列的通项公式．
本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
18.【答案】解：椭圆的方程为，
，，
．
椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率，
焦点坐标为，顶点坐标为，．
【解析】本题考查了椭圆的简单性质，属于基础题．
根据椭圆的性质及有关公式得出结论．
19.【答案】解：当时，．
当时，，
显然当时，不满足上式，
故数列的通项公式为．
【解析】结合数列的递推式求数列通项公式即可．
本题考查了数列的递推式，重点考查了数列通项公式的求法，属中档题．
20.【答案】解：因为，
当时，，
又因为为等比数列，
则由等比数列的性质知：，
所以，，，，
所以．
【解析】利用的解析式推得，再利用等比数列的性质与并项求和法即可得解．
本题考查函数的性质，考查等比数列的性质，属于中档题．
21.【答案】解：因为，
所以，，
相减得，，
所以，
所以，
得，，
所以，
所以，，
所以为等差数列，
因为，
所以，
又，
所以数列的公差，
所以，
则，
所以．
【解析】首先利用公式，化简等式，得到，再得到，两式相减后，可判断数列是等差数列，求得数列的通项公式，再利用裂项相消法求和．
本题考查了数列的递推式，重点考查了裂项相消法求和，属中档题．
22.【答案】解：设等比数列的公比为，
由可得，由可得，即，
两式相除可得，整理得，
由可得或，
当时，此时数列通项公式为，
当时，此时数列的通项公式为．
由可知，
则，
，
两式作差得，
则，故．
当时，，即，
令函数，易知为增函数，
因为，，
所以满足的最小正整数为．
【解析】根据等比数列的通项公式，列方程组求解即可；
利用错位相减法求和，进而利用单调性解不等式即可．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
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