天津市五区县重点校2023-2024学年高一上学期1月期末联考数学试题（含答案）

天津市五区县重点校2023-2024学年高一上学期1月期末联考数学
第Ⅰ卷（共36分）
选择题（本题共9小题，每题4分，共36分）
1．已知全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
2.“”是 “”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．若角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
5．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．下列代数式的值为1的有（ ）
① ②
③ ④
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．若关于的方程恰有四个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共84分）
填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）
10．已知扇形的面积为，半径为，则扇形的圆心角为 弧度.
11．函数的单调递减区间是 .
12．已知正数，满足，则的最小值为 .
13．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 .
14．函数的部分图象如图所示，则的值是 .

解答题（本题共5小题，共59分）
15.（本小题满分10分）
若函数为幂函数，且在单调递减.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若函数，且，
（i）写出函数的单调性，无需证明；
（ii）求使不等式成立的实数的取值范围.
16．（本小题满分12分）
已知，，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
17．（本小题满分12分）
函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.
18．（本小题满分12分）
某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元至0.75元之间，而用户期望电价为0.4元.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比，且比例系数为（注：若与成反比，且比例系数为，则其关系表示为）．该地区的电力成本价为0.3元．
（Ⅰ）下调后的实际电价为（单位：元），写出新增用电量关于的函数解析式；
（Ⅱ）写出本年度电价下调后电力部门的收益y（单位：元）关于实际电价x（单位：元）的函数解析式；（注：收益=实际电量×（实际电价-成本价））
（Ⅲ）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？
19.（本小题满分13分）
已知函数为奇函数．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求关于的不等式的解集；
（Ⅲ）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
高一数学 答案
选择题（本题共9小题，每题4分，共36分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B A A C D D B C D
填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）
10. 2； 11. ； 12. 24；
13. ； 14. ；
解答题（本题共5小题，共59分）
15. （本小题满分10分）
（Ⅰ）由题意知，解得：或，
当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意；
当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意；
所以实数的值为. ……………………………………… 4分
（Ⅱ）（i）,
在区间单调递增； …………………………6分
（ii）由（i）知，在区间单调递增，
则， ……………………………………………8分
解得.………………………………………………10分
16. （本小题满分12分）
（Ⅰ）∵，∴，……………………1分
又，，
∴，………………………………………………3分
∴
.……………………6分
（Ⅱ）∵，，
∴，………………………………………………7分
，，
∴，……………………………………………………8分
∴………………………………10分
. …………………………………………12分
17. （本小题满分12分）
（Ⅰ）
， …………………………3分
因为，所以的最小正周期为…………4分
令，解得，
所以函数的单调减区间为. …………6分
注：不写扣一分.
（Ⅱ）的图象先向左平移个单位得到
，将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），
得到， …………………………………………8分
时，，
所以当时，解得，此时函数为增函数；
当时，解得，此时函数为减函数；
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为…10分
所以函数的最大值为
又因为，，所以函数的最小值为
所以的值域为.……………………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
（Ⅰ）下调后的电价为x元，
依题意知用电量关于的函数表达式为， ……3分
注：不写定义域扣一分.
（Ⅱ）电力部门的收益为；………7分
注：不写定义域扣一分.
（Ⅲ）依题意有， …………10分
整理得，
解此不等式组得． ……………………………11分
答：当电价最低定为0.6元仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．
…………………………………………………………………12分
19. （本小题满分13分）
（Ⅰ）由已知函数需满足，
因为函数为奇函数，所以，
即在上恒成立，
即，.………………………………3分
（Ⅱ）解法一：由（1）知，…………4分
所以函数在和上单调减，…………………5分
且当时，，当时，，………6分
所以，解得； …………………………7分
所以此时不等式的解集为. ………………………………8分
注：解集写成区间不扣分.
解法二： 因为，
令，则可化简为，………………………4分
即， ………………………………6分
解得，即. ………………………………7分
所以此时不等式的解集为. ………………………………8分
（Ⅲ）由（1）得在的值域，…………9分
又，…………10分
设，，则，
当时，取最小值为，当时，取最大值为，
即在上的值域，…………………………11分
又对任意的，总存在，使得成立，
即， …………………………12分
所以，
解得. …………………………………………13分