四川省内江市2023-2024学年高二上学期1月期末检测数学试题（PDF版含答案）

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内江市 ２０２３ ～ ２０２４ 学年度第一学期高二期末检测题
数学参考答案及评分意见
一、单项选择题：（本大题共８个小题，每小题５分，共４０分．）
１． Ｃ　 　 ２． Ｂ　 　 ３． Ｃ　 　 ４． Ａ　 　 ５． Ｄ　 　 ６． Ｄ　 　 ７． Ｂ　 　 ８． Ａ
二、多项选择题：（本大题共４个小题，每小题５分，共２０分．全部选对得５分，部分选对得
２分，选错得０分．）
９． ＡＢＣ　 　 １０． ＢＤ　 　 １１． ＡＣ　 　 １２． ＢＣ
三、填空题：（本大题共４小题，每小题５分，共２０分．）
１３． ２ｎ ＋ １　 　 １４． ３槡５１０ ａ　 　 １５．①椭圆　 ② ＞ 　 　 １６．（槡
６
２ ，槡３］
解答题（本大题共６小题，共７０分．）
１７．解：（１）线段ＡＢ的垂直平分线方程为ｙ ＝ － ｘ ＋ ３ ２分
!!!!!!!!!!!!!
与ｘ － ｙ － １ ＝ ０联立得，ｘ ＝ ２，ｙ ＝ １，即圆心Ｃ（２，１），
所以圆Ｃ的半径Ｒ ＝ ｜ＡＣ ｜ ＝ ２槡２ ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
所以，圆Ｃ的标准方程为（ｘ － ２）２ ＋（ｙ － １）２ ＝ ８ ５分
!!!!!!!!!!!!!!!
（２）∵ ｜ＣＰ ｜ ＝ ｜ＣＱ ｜ ＝ ２槡２，ＣＰ⊥ＣＱ，∴圆心Ｃ到直线ｍ的距离ｄ ＝ ２． ６分!!!!!!
当直线ｍ的斜率存在时，设直线ｍ的方程为ｙ ＝ ｋ（ｘ － ４）．
由ｄ ＝ ｜２ｋ ＋ １ ｜得ｋ ＝ ３４ ８分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!槡ｋ２ ＋ １
当直线ｍ的斜率不存在时，直线ｍ方程为ｘ ＝ ４，Ｃ到ｍ距离为２， ９分
!!!!!!!
综上可得，直线ｍ方程为３ｘ － ４ｙ － １２ ＝ ０或ｘ － ４ ＝ ０ １０分
!!!!!!!!!!!!
１８．解：（１）．数列｛ａｎ｝是等比数列．理由如下： １分!!!!!!!!!!!!!!!!
由Ｓｎ － ａｎ ＋ １ ＋ ２ ＝ ０，得Ｓｎ ＝ ａｎ ＋ １ － ２　 　 ①
则当ｎ≥２时，Ｓｎ － １ ＝ ａｎ － ２　 　 ②
① －②得Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ａｎ ＋ １ － ａｎ．所以ａｎ ＝ ａｎ ＋ １ － ａｎ，即ａｎ ＋ １ ＝ ２ａｎ ４分!!!!!!!!
又因为ａ１ ＝ ２，且ａ２ ＝ ａ１ ＋ ２ ＝ ４，所以｛ａｎ｝是公比为２的等比数列．所以ａｎ ＝ ２ｎ ６分!!
（２）证明：由（１）知ｂｎ ＝ ｌｏｇ２２ｎ ＝ ｎ， ７分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
则１ ＝ １ １ １ １ｂｎｂｎ ＋ ２ ｎ（ｎ ＋ ２）＝ ２ （ｎ － ｎ ＋ ２） ９分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
所以Ｔｎ ＝ １２ ［（１ －
１ ）＋（１ １ １ １ １ １３ ２ － ４ ）＋（３ － ５ ）＋…＋（ｎ － ｎ ＋ ２）］
＝ １ （１ ＋ １ － １ １ ３ １２ ２ ｎ ＋ １ － ｎ ＋ ２）＝ ４ － ２ （
１
ｎ ＋ １ ＋
１ ３
ｎ ＋ ２）＜ ４ １２分!!!!!!!
１９．解：（１）因为直三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１，所以ＡＡ１⊥平面ＡＢＣ，
因为ＣＤ?平面ＡＢＣ，所以ＡＡ１⊥ＣＤ； ２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
因为△ＡＢＣ是等边三角形，Ｄ是棱ＡＢ的中点，所以ＣＤ⊥ＡＢ； ３分!!!!!!!!!
因为ＡＢ、ＡＡ１?平面ＡＢＢ１Ａ１，且ＡＢ∩ＡＡ１ ＝ Ａ，所以ＣＤ⊥平面ＡＢＢ１Ａ１， ４分!!!!!!
因为ＣＤ?平面Ａ１ＣＤ，所以平面Ａ１ＣＤ⊥平面ＡＢＢ１Ａ１ ５分!!!!!!!!!!!!!
（２）分别取ＡＣ、Ａ１Ｃ１的中点为Ｏ、Ｅ，连接ＯＢ、ＯＥ，因为△ＡＢＣ是等边三角形，Ｏ是ＡＣ中
高二数学试题答案第　１页（共４页）
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点，所以ＯＢ⊥ＯＣ，因为直三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１，
所以ＡＡ１⊥平面ＡＢＣ，因为ＯＢ、ＯＣ?平面ＡＢＣ，
所以ＡＡ１⊥ＯＢ，ＡＡ１⊥ＯＣ，
因为Ｏ、Ｅ为ＡＣ、Ａ１Ｃ１的中点，所以ＯＥ∥ＡＡ１，
所以ＯＥ⊥ＯＢ、ＯＥ⊥ＯＣ，即ＯＢ、ＯＣ、ＯＥ两两垂直， ６分!!!!!
以｛?Ｏ→Ｂ，?Ｏ→Ｃ，?Ｏ→Ｅ｝为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
!
７分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
则Ａ１（０，－ １，２），Ｃ（０，１，０），Ｄ（槡３２ ，－
１
２ ，０），
所以?Ａ→１Ｃ ＝（０，２，－ ２），?Ｃ→Ｄ ＝（槡３２ ，－
３
２ ，０） ８分!!!!!!!!!!!!!!!!!!
珗ｎ·?Ａ→１Ｃ ＝ ２ｙ － ２ｚ ＝ ０
设平面Ａ１ＣＤ的法向量为珗ｎ ＝（ｘ，ｙ，ｚ），所以{珗ｎ·?Ｃ→ ，Ｄ ＝槡３２ ｘ － ３２ ｙ ＝ ０
取ｙ ＝ １，则珗ｎ ＝（槡３，１，１）， ９分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
平面ＡＣＣ１Ａ１的一个法向量为ｍ珝＝（１，０，０）； １０分!!!!!!!!!!!!!!!!
则｜ ｃｏｓ〈ｍ珝，珗ｎ〉 珝 珗｜ ＝ ｜ｍ·ｎ ｜ 槡３ 槡１５｜ｍ珝｜·｜珗ｎ ｜ ＝ ＝ ５ ， １１分!!!!!!!!!!!!!!!!!!槡５
所以锐二面角Ｄ － Ａ Ｃ － Ａ的余弦值为槡１５１ ５ １２分!!!!!!!!!!!!!!!!
２０．解：（１）若选①Ｓ４ ＝ １５，Ｓ２ ＝ ３：设｛ａｎ｝公比为ｑ（ｑ ＞ ０），显然ｑ≠１．
ａ （１ － ｑ４由 １ ） ａ１（１ － ｑ
２）
Ｓ １ － ｑ
４
４ ＝ １ － ｑ ＝ １５，Ｓ２ ＝ １ － ｑ ＝ ３，两式作商可得 ２ ＝ ５， ２分!!!!!!!１ － ｑ
整理得ｑ２ ＝ ４，解得ｑ ＝ ２或ｑ ＝ － ２（舍去）， ４分
!!!!!!!!!!!!!!!!!
将 ａ （１ － ｑ
２）
ｑ ＝ ２代入Ｓ２ ＝ １ １ － ｑ ＝ ３可得ａ１ ＝ １，所以ａｎ ＝ ａ ｑ
ｎ － １
１ ＝ ２
ｎ － １； ６分
!!!!!!
若选②ａ１ ＋ ａ２ ＝ ３，ａ３ ＝ ４：设｛ａｎ｝公比为ｑ（ｑ ＞ ０），显然ｑ≠１．由ａ１ ＋ ａ２ ＝ ａ１（１ ＋ ｑ）＝ ３，
２
ａ３ ＝ ａ１ｑ
２ ＝ ４，两式作商可得ｑ ＝ ４１ ＋ ｑ ３ ， ２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
整理得３ｑ２ － ４ｑ － ４ ＝ ０，解得ｑ ＝ ２或ｑ ＝ － ２３ （舍去）， ４分!!!!!!!!!!!!
将ｑ ＝ ２代入ａ３ ＝ ａ ２１ｑ ＝ ４可得ａ１ ＝ １， ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
所以ａｎ ＝ ａ ｎ － １１ｑ ＝ ２ｎ － １ ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
（２）由（１）知，ａ ＝ ２ｎ － １ｎ ，
则ｎ ＝ ｎ ，所以Ｔ ＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ｎａ ｎ － １ ｎ ０ １ ２ ＋…＋ ｎ － １， ８分!!!!!!!!!!!!!!!!ｎ ２ ２ ２ ２ ２
１ Ｔ ＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋…＋ ｎ２ ｎ １ ２ ３ ｎ两式相减，则２ ２ ２ ２
１
０［１ －（１ ）ｎ］１ Ｔ ＝ １ ＋ １ ＋ １ ＋…＋ １ － ｎ ＝ ２ ２ － ｎ ＝ ２ －（１ ）ｎ － １ ｎ２ ｎ ２０ ２１ ２２ ２ｎ － １ ２ｎ １ ２ｎ ２ － ２ｎ， １１分!!１ － ２
高二数学试题答案第　２页（共４页）
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所以Ｔ ＝ ４ －（１ ）ｎ － ２ － ｎ ＝ ４ －（ｎ ＋ ２）（１ ）ｎ － １ｎ ２ ｎ － １ ２ １２分!!!!!!!!!!!!!!２
２１．解：（１）取ＡＤ的中点Ｏ，连接ＯＰ、ＯＢ，如图．
因为ＰＡ ＝ ＰＤ，所以ＯＰ⊥ＡＤ．
因为平面ＰＡＤ⊥平面ＡＢＣＤ且平面ＰＡＤ∩平面ＡＢＣＤ ＝ ＡＤ，
ＯＰ?平面ＰＡＤ，
所以ＯＰ⊥平面ＡＢＣＤ．
因为ＯＢ?平面ＡＢＣＤ，所以ＯＰ⊥ＯＢ．
在菱形ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ ＝ ６０°，
所以△ＡＢＤ是等边三角形，所以ＯＢ⊥ＡＤ ２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!
所以ＯＡ、ＯＢ、ＯＰ两两相互垂直，由此建立空间直角坐标系，
则Ｐ（０，０，２），Ａ（１，０，０），Ｂ（０，槡３，０），Ｃ（－ ２，槡３，０），Ｄ（－ １，０，０）， ３分!!!!!!!
所以?Ａ→Ｐ ＝（－ １，０，２），?Ｄ→Ｐ ＝（１，０，２），?Ｐ→Ｃ ＝（－ ２，槡３，－ ２）．
所以?Ｄ→Ｍ ＝ ?Ｄ→Ｐ ＋ ?Ｐ→Ｍ ＝ ?Ｄ→Ｐ ＋ ３ ?Ｐ→４ Ｃ ＝（１，０，２）＋
３
４ （－ ２，槡３，－ ２）
＝（－ １ ，３槡３，１２ ４ ２ ）． ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
设直线ＡＰ与ＤＭ所成的角为θ，
?→ ?→ １ ＋ １
则ｃｏｓθ ＝ ＡＰ·ＤＭ?→ ?→ ＝ ２ ６槡７｜ＡＰ ｜ ｜ＤＭ ｜ ＝ ３５ ６分!!!!!!!!!!!!!
槡５ ×槡１ ＋ ２７ ＋ １４ １６ ４
（２）由（１）知?Ａ→Ｐ ＝（－ １，０，２），?Ｐ→Ｂ ＝（０，槡３，－ ２），?Ｄ→Ｍ ＝（－ １ ，３槡３，１ ），?Ｄ→２ ４ ２ Ｂ ＝（１，槡３，０）．
设平面ＢＤＭ的法向量为珗ｎ ＝（ｘ，ｙ，ｚ），
{珗ｎ·?Ｄ→Ｍ ＝ － １ ｘ ＋ ３槡３ １则 ２ ４ ｙ ＋ ２ ｚ ＝ ０珗ｎ·?Ｄ→Ｂ ＝ ｘ ＋槡３ｙ ＝ ０
取ｙ ＝ ２槡３，得珗ｎ ＝（－ ６，２槡３，－ １５） ８分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
设ＰＮＰＢ ＝ λ，则
?Ｐ→Ｎ ＝ λ ?Ｐ→Ｂ（０ ＜ λ ＜ １），
所以?Ａ→Ｎ ＝ ?Ａ→Ｐ ＋ ?Ｐ→Ｎ ＝ ?Ａ→Ｐ ＋ λ ?Ｐ→Ｂ ＝（－ １，０，２）＋ λ（０，槡３，－ ２）
＝（－ １，槡３λ，２ － ２λ） １０分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
若ＡＮ∥平面ＢＤＭ，则?Ａ→Ｎ·珗ｎ ＝ ６ ＋ ６λ － １５（２ － ２λ）＝ － ２４ ＋ ３６λ ＝ ０，解得λ ＝ ２３ ，
所以在棱ＰＢ上存在点Ｎ，使ＡＮ∥平面ＢＤＭ，此时ＰＮ ＝ ２ＰＢ ３ １２分!!!!!!!!!!
２２．解：（１）由题意知｜ＡＢ ｜ ＝ ２ａ ＝ ４，ａ ＝ ２，又离心率ｅ ＝ ｃ ＝ １ａ ２ ，即ｃ ＝ １，
ｘ２ ２∴ ｂ２ ＝ ａ２ － ｃ２ ＝ ３，椭圆Ｃ的方程为 ＋ ｙ４ ３ ＝ １ ３分!!!!!!!!!!!!!!!!
高二数学试题答案第　３页（共４页）
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２ ２
（２）∵ Ｆ（１，０），设ＭＮ的方程为ｘ ＝ ｙ ＋ １带入ｘ ＋ ｙ４ ３ ＝ １有：
３（ｙ ＋ １）２ ＋ ４ｙ２ － １２ ＝ ０，即７ｙ２ ＋ ６ｙ － ９ ＝ ０ ４分
!!!!!!!!!!!!!!!!!
设Ｍ（ｘ１，ｙ ６ ９１）、Ｎ（ｘ２，ｙ２），则ｙ１ ＋ ｙ２ ＝ － ７ ，ｙ１ｙ２ ＝ － ７
∴ ｜ ｙ１ － ｙ２ ｜ ＝槡（ｙ１ ＋ ｙ ）２２ － ４ｙ１ｙ ＝槡（－ ６ ）２ ＋ ４ × ９ ＝ １２槡２２ ７ ７ ７ ５分!!!!!!!!!
∴ Ｓ １ １ １２槡２ １８槡２△ＡＭＮ ＝ ２ ＡＦ·｜ ｙ１ － ｙ２ ｜ ＝ ２ × ３ × ７ ＝ ７ ７分!!!!!!!!!!!!!!
（３）由（１）得Ａ（－ ２，０），Ｂ（２，０），
设Ｐ（ｍ，ｎ），则３ｍ２ ＋ ４ｎ２ ＝ １２，即４ｎ２ ＝ １２ － ３ｍ２；
直线ＰＡ：ｙ ＝ ｎｍ ＋ ２（ｘ ＋ ２），直线ＰＢ：ｙ ＝
ｎ
ｍ － ２（ｘ － ２），
∴ Ｄ点纵坐标ｙ ＝ ６ｎＤ ｍ ＋ ２，Ｅ点纵坐标ｙ ＝
２ｎ
Ｅ ｍ － ２，
即Ｄ（４，６ｎｍ ＋ ２），Ｅ（４，
２ｎ
ｍ － ２）， ９分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
∴以ＤＥ为直径的圆的方程为：（ｘ － ４）（ｘ － ４）＋（ｙ － ２ｎｍ － ２）（ｙ －
６ｎ
ｍ ＋ ２）＝ ０ １０分!!!
由对称性可知：以ＤＥ为直径的圆所过定点位于ｘ轴上，
设ｙ ＝ ０，∴ （ｘ － ４）２ ＋ ２ｎ ６ｎｍ － ２ × ｍ ＋ ２ ＝ ０
２ ２
∴ （ｘ － ４）２ ＋ １２ｎ２ ＝ ０，∴ （ｘ － ４）２ ＋ ３６ － ９ｍｍ － ４ ｍ２ ＝ ０－ ４
∴ （ｘ － ４）２ ＝ ９，解得ｘ ＝ １或ｘ ＝ ７
∴以ＤＥ为直径的圆过点（１，０），（７，０） １２分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
高二数学试题答案第　４页（共４页）
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