江西省吉安市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（含解析）

吉安市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测
数学试题
2024.1
（测式时间：120分钟 卷面总分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知空间中点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
3.两平行直线和间的距离为（ ）
A. B. C. D.
4.抛物线的焦点到点的距离为（ ）
A.4 B. C. D.2
5.将8个外观相同的苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少分到1个苹果，共有不同的分法（ ）
A.15种 B.18种 C.21种 D.24种
6.一条经过点的直线与圆：交于，两点，若，则的方程为（ ）
A.或 B.或
C.或 D.或
7.在三棱锥中，平面，为正三角形，，，点在线段上，且，当时，（ ）
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为该椭圆上位于轴上方一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A. B. C.或 D.或
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知直线：，则（ ）
A.的一个方向向量为
B.的截距式方程为
C.若与直线垂直，则
D.点到的距离为1
10.的展开式中（ ）
A.二项式系数之和为32 B.最高次项系数为32
C.所有项系数之和为 D.所有项系数之和为1
11.双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于，两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则（ ）
A.
B.
C.平行四边形各边所在直线斜率均不为
D.
12.在棱长为1的正方体中，，，则下列说法正确的是（ ）
A.平面
B.直线与底面所成的角的正弦值为
C.平面与底面夹角的余弦值为
D.点到平面的距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围是______.
14.第19届杭州亚运会开幕前需在某高中招募10名志愿者作为高中组志愿者代表，分成两组，每组5人，共有15人报了名.其中小王、小张也报了名，则两人都被选中且被分在不同组的概率为______.
15.抛物线上有一点，过作曲线的切线，切点为，则最小值为______.
16.已知实数，满足，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
判断是否能被8整除？并推理证明.
18.（本小题满分12分）
已知为过点，，三点的圆.
（1）求圆的方程；
（2）若直线：与圆有交点，求的取值范围.
19.（本小题满分12分）
在空间直角坐标系中，，，，.
（1）求；
（2）判断点，，，是否共面，并说明理由.
20.（本小题满分12分）
已知过轴正半轴上一点的直线：交抛物线：于，两点，且，证明点为定点，并求出该定点的坐标.
21.（本小题满分12分）
如图，直四棱柱的棱长均为2，底面是菱形，，为的中点，且上一点满足（）.
（1）若，证明：；
（2）若，且与平面所成角的正弦值为，求.
22.（本小题满分12分）
设，，向量，分别为直角坐标平面内轴、轴正方向上的单位向量，若向量，，且.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知，，斜率不为0的直线过点且与轨迹交于，两点，若平分，求直线的方程.
吉安市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测
数学试题参考答案
2024.1
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C A B C C D
题号 7 8 9 10 11 12
答案 C C AD ABD BC AB
1.【答案】C
【解析】直线的斜率，其倾斜角（），
则，∴.
2.【答案】A
【解析】空间中点，则点关于平面对称的点的坐标是.
3.【答案】B
【解析】直线，即，则平行线间距离.
4.【答案】C
【解析】依题意可得抛物线的焦点坐标是，则两点间的距离.
5.【答案】C
【解析】挡板法：8个苹果间会产生7个空隙，任选2个空隙将苹果分开，即分成三份，共有种分法.
6.【答案】D
【解析】设直线的方程为，即，由题意知，，，则点到直线的距离，解得或，代入得或.
7.【答案】C
【解析】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系如图所示，
∵，，
∴，，，，
∴，，
已知是棱上一点，（），
则，
∵，∴，解得.
8.【答案】C
【解析】则，，设，
则，
设（），则，
直线的方程为，
则的坐标为，
直线的方程为，
则的坐标为，
∴，解得或.
9.【答案】AD
【解析】直线的斜率为，
∴的一个方向向量为，∴A正确.
令得，∴B错误.
直线的斜率为，∵与直线垂直，∴，∴C错误.
点到的距离为，∴D正确.
10.【答案】ABD
【解析】二项式系数之和为，A正确.
设展开式第项为，最高次项的系数为，B正确.
令得，所有项系数之和为，C错误，D正确.
11.【答案】BC
【解析】由题意可得，，则，故A错误.
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：，
则，B正确.
设任一边所在直线为（斜率存在时），
联立得，
则，即，C正确.
由，
设：（）；，，
联立得，
∴，，
则
，
设，则，
∴，
又，∴，
故，D错误.
12.【答案】AB
【解析】如图所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，
则，，，，，，
，，
∴，∵平面，平面，∴平面，故A正确.
平面的法向量，
设直线与底面所成的角为，
则，故B正确.
，，设平面的法向量，
则令，则.
设平面与底面的夹角为，
则，
∴平面与底面夹角的余弦值为，故C错误.
∵，平面，平面，
又，平面的法向量，
∴点到平面的距离即为直线与平面的距离，
故D错误.
13.【答案】
【解析】∵二元二次方程表示圆，
∴，故，解得.
14.【答案】
【解析】该两人都被选中且被分在不同组为目标分组，分法种数为，15人选10人分两组的分法种数为，∴两人都被选中且被分在不同组的概率.
15.【答案】
【解析】曲线，可化为，
令，设，当最小时，即最小，
其中，则，
∴.
16.【答案】
【解析】∵，∴，.
根据数形结合，，，可看作是椭圆的一半（如下图）.
又等价于过点和点的直线斜率.
画出示意图可知，当直线与椭圆相切时，斜率取最值.
设直线为，联立
消得.
令，
解得，∴，即的取值范围是.
17.解：能被8整除，
证明：
，
∵最终所得的式子中每一项都能被8整除，
∴能被8整除.
18.解：（1）设圆的方程为：，
代入，，三点坐标可得
解得
∴圆的方程为：
（2）由（1）知，
即圆心，半径为，
由题意可知到：的距离.
19.解：（1）由题意知，，
∴.
（2）∵，，
设，则无解，
即不存在，使得，，共面，
故点，，，不共面.
20.解：设，，联立方程组
整理得，，
则，.
，
，，
则，
由，
得，
整理得，
∵，∴.
故，即.故此时.
21.解：（1）连接，交于点，如图所示.
∵底面是菱形，
∴，且，互相平分.
又，
∴，，
连接，交于点，连接，
则平面，
∴，，两两相互垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，
，，.
∴，∴，
∴，
∴时，.
∵，∴.
（2）由（1）可得，
，，
设平面的法向量为，
则即
∴，令，得，
则，
设与平面所成角为，
则，
化简得
解得或（舍去）.
22.解：（1）∵，，且，
∴，
该式子可看作是点到两个定点，的距离之和为4，
由椭圆定义可得，，，即，，
∴点的轨迹的方程为.
（2）直线斜率不为0，设：，，，
联立
消去，得，
，
∴，，①
由平分知，
即，又，
则.
整理得.
把①式代入，化简得，，
∴直线的方程为.