答案
一、单选题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
2+
1.设 =
1+ 2+ 5
，则 =( )
A. 1 2 B. 1 + 2 C. 2 D. 2 +
2 2+ 2+ 【解析】解：∵ = 1， 5 = ，∴ = 2 5 = = 1 2 ，∴ = 1 + 2 .故选： . 1+ +
先对 z进行化简，再根据共轭复数概念写出即可．
本题考查了复数的运算及共轭复数的概念，属简单题．
2.设集合 = ，集合 = { | < 1}， = { | 1 < < 2}，则{ | ≥ 2} =( )
A. ( ∪ ) B. ∪ C. ( ∩ ) D. ∪
【解析】解：由题意： ∪ = { | < 2}，又 = ，∴ ( ∪ ) = { | ≥ 2}.由数据可直接判断，必要
时可借助数轴分析．
本题考查集合的基本运算，属简单题．
3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为
1，则该零件的表面积为( )
A. 24
B. 26
C. 28
D. 30
【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体．
如图所示：
故该几何体的表面积为：4 + 6 + 5 + 5 + 2 + 2 + 2 + 4 = 30.故选： .
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积，主要考查学生的理解能力
和计算能力及空间想象能力，属于基础题．
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4.已知 ( ) = 是偶函数，则 =( )
1
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
【解析】解：∵ ( ) = 的定义域为{ | ≠ 0}，又 ( )为偶函数， 1
∴ ( ) = ( )，∴ = ，∴ = ，∴ = ，∴ = 2.故选： . 1 1 1 1
根据偶函数的性质，运算即可得解．
本题考查偶函数的性质，化归转化思想，属基础题．
5.设 O 为平面坐标系的坐标原点，在区域{( , )|1 ≤ 2 + 2 ≤ 4}内随机取一点，记该点为 A，则直线 OA
的倾斜角不大于 的概率为( )
4
1 1 1 1
A. B. C. D.
8 6 4 2
【解析】解：如图，PQ 为第一象限与第三象限的角平分线，
根据题意可得构成 A 的区域为圆环，
而直线 OA 的倾斜角不大于 的点 A 构成的区域为图中阴影部分，
4
2 1
∴所求概率为 = .
8 4
故选： .
作出图形，根据几何概型的概率公式，即可求解．
本题考查几何概型的概率的求解，属基础题．
2 2
6.已知函数 ( ) = sin( + )在区间( , )单调递增，直线 = 和 = 为函数 = ( )的图像的两条对
6 3 6 3
5
称轴，则 ( ) =( )
12
√ 3 1 1 √ 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
2 2
【解析】解：根据题意可知 = = ，∴ = ，取 > 0，∴ = = 2，
2 3 6 2
又根据“五点法“可得2 × + = + 2
5
， ∈ ，∴ = + 2 ， ∈ ，
6 2 6
5 5
∴ ( ) = sin(2 + 2 ) = sin(2 )，
6 6
5 5 5 5 √ 3
∴ ( ) = sin( ) = sin( ) = sin = .故选： .
12 6 6 3 3 2
先根据题意建立方程求出参数，再计算，即可得解．
本题考查三角函数的性质，方程思想，属基础题．
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7.甲乙两位同学从 6 种课外读物中各自选读 2 种，则这两人选读的课外读物中恰有 1 种相同的选法共有
( )A. 30 种 B. 60 种 C. 120 种 D. 240 种
【解析】解：根据题意可得满足题意的选法种数为： 16
2
5 = 120.故选： .
根据排列组合数公式，即可求解．
本题考查排列组合问题，属基础题．
8.已知圆锥 PO 的底面半径为√ 3，O 为底面圆心，PA，PB 为圆锥的母线，∠ = 120 ，若△ 的面
9√ 3
积等于 ，则该圆锥的体积为( )
4
A. B. √ 6 C. 3 D. 3√ 6
【解析】解：根据题意，设该圆锥的高为 h，即 = ，取 AB 的中点 E，连接
PE、OE，
由于圆锥 PO 的底面半径为√ 3，即 = = √ 3，
而∠ = 120 ，故 = √ 2 + 2 2 cos120 = √ 3 + 3 + 3 =
3，
同时 √ 3 = × sin30 = ，
2
△ 中， = ，E 为 AB 的中点，则有 ⊥ ，
又由△ 的面积等于9√ 3，即1 9√ 3 3√ 3 = ，变形可得 = ，
4 2 4 2
3 27
而 3 = √ 2 + ，则有 2 + = ，解可得 = √ 6，
4 4 4
1
故该圆锥的体积 = × (√ 3)2 = √ 6 .
3
故选： .
根据题意，设该圆锥的高为 h，即 = ，取 AB 的中点 E，连接 PE，利用余弦定理求出 AB 的长，分析
可得 ⊥ ，由三角形面积公式求出 PE 的长，由此求出 h的值，由圆锥的体积计算可得答案．
本题考查圆锥的体积计算，注意圆锥的体积计算公式，属于基础题．
9.已知△ 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ 为等边三角形，若二面角 为150 ，则直
线 CD 与平面 ABC 所成角的正切值为( )
1 √ 2 √ 3 2
A. B. C. D.
5 5 5 5
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【解析】解：如图，取 AB 的中点 E，连接 CE，DE，
则根据题意易得 ⊥ ， ⊥ ，
∴二面角 的平面角为∠ = 150 ，∵ ⊥ ， ⊥ ，且 ∩ = ，
∴ ⊥平面 AED，又 平面 ABC，∴平面 ⊥平面 ABC，
∴ 在平面 ABC 内的射影为 CE，∴直线 CD 与平面 ABC 所成角为∠ ，
过 D 作 DH 垂直 CE 所在直线，垂足点为 H，设等腰直角三角形 ABC 的斜边长为 2，
3 3 5
则可易得 = 1， = √ 3，又∠ = 30 ，
√ 3
∴ = ， = ，∴ = 1 + = ，
2 2 2 2
√ 3
√ 3
∴ tan∠ = = 2 = .故选： .
5 5
2
取 AB 的中点 E，连接 CE，DE，则根据题意易得二面角 的平面角为∠ = 150 ，又易知平面
⊥平面 ABC，从而得直线 CD 与平面 ABC 所成角为∠ ，再解三角形，即可求解．
本题考查二面角的概念，线面角的求解，化归转化思想，属中档题．
2
10.已知等差数列{ }的公差为 ，集合 = {cos | ∈
}，若 = { , }，则 =( )
3
1 1
A. 1 B. C. 0 D.
2 2
2
【解析】解：设等差数列{ }的首项为 1，又公差为 ， 3
2 2 2 2
∴ = 1 + ( 1)，∴ cos = cos( + 1 )，其周期为 2 = 3， 3 3 3 3
又根据题意可知 S集合中仅有两个元素，∴可利用对称性，对 取特值，
2 4
如 1 = 0， 2 = ， 3 = ， ，或 1 = ， 2 = ， 3 = ， ， 3 3 3 3
1
代入集合 S 中计算易得： = .故选： .
2
根据等差数列的通项公式，三角函数的周期性，特值法，即可求解．
本题考查等差数列的通项公式，三角函数的周期性，特值法，属中档题．
2
11.设 A，B 为双曲线 2 = 1上两点，下列四个点中，可为线段 AB 中点的是( )
9
A. (1,1) B. ( 1,2) C. (1,3) D. ( 1, 4)
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【解析】解：设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，AB 中点为( 0, 0)，
2
21
1 = 1①
9 = 2
1 1+ = 9 × 2
0
{ ，①-2 ②得 = 9 × + ，
2
2 2 1 1 2 0
2 = 1②9
0 1 3 < 9 × < 3 < 0
1 0 即 < > 3 3 3，即 或
0 < 3.
故选： . 0 0 0 0
设 AB 中点为( 0, 0)，利用点差法求得中点弦斜率，列不等式组求解即可．
本题考查双曲线的方程和性质，是中档题．
12.已知⊙ 的半径为 1，直线 PA 与⊙ 相切于点 A，直线 PB 与⊙ 交于 B，C 两点，D 为 BC 的中点，
若| | = √ 2，则 的最大值为( )
1+√ 2 1+2√ 2
A. B. C. 1 + √ 2 D. 2 + √ 2
2 2
【解析】解：如图，设∠ = ，则 ≤ ≤ ，
4 4
根据题意可得：∠ = 45 ，
∴ = | | | | cos( + )
4
1 + cos2 sin2
= 1 × √ 2cos cos( + ) = cos2 sin cos =
4 2
1 √ 2
= + cos(2 + )，又 ≤ ≤ ，
2 2 4 4 4
∴当2 + = 0， = ，cos(2 + ) = 1时，
1 √ 2
4 8 4
取得最大值 + .
2 2
故选： .
设∠ = ，则 ≤ ≤ ，根据题意可得∠ = 45 ，再将 转化为 的函数，最后通过函数思4 4
想，即可求解．本题考查向量数量积的最值的求解，函数思想，属中档题．
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13.已知点 (1,√ 5)在抛物线 C： 2 = 2 上，则 A 到 C 的准线的距离为______ .
【解析】解：点 (1,√ 5)在抛物线 C： 2 = 2 上，
5
则5 = 2 ，解得 = ，
2
5 9 9
由抛物线的定义可知，A 到 C 的准线的距离为 + = 1 + = .故答案为： . 2 4 4 4
根据已知条件，先求出 p，再结合抛物线的定义，即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
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3 ≤ 1
14.若 x，y 满足约束条件{ + 2 ≤ 9 ，则 = 2 的最大值为______ .
3 + ≥ 7
【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：
由 = 2 可得 = 2 ，
则 表示直线 = 2 在 y 轴上的截距，截距越小，z 越
大，
结合图形可知，当 = 2 经过点 A 时，Z 最大，
3 = 1
由{ 可得 = 2， = 5，即 (5,2)，
+ 2 = 9
此时 z取得最大值8.
故答案为：8.
作出可行域，变形目标函数，平移直线 = 2 ，由截距的几何意义可得．
本题考查线性规划，准确作图是解决问题的关键，属基础题．
15.已知{ }为等比数列， 2 4 5 = 3 6， 9 10 = 8，则 7 =______ .
【解析】解：∵等比数列{ }，
∴ 2 4 5 = 2 3 6 = 3 6，解得 2 = 1，
而 = 7 8 = ( )2 159 10 2 2 2 = 8，可得
15 = ( 5)3 = 8，即 5 = 2，
7 =
5
2 = 1 × ( 2) = 2.故答案为： 2.
根据等比数列的性质即可求解．本题考查等比数列的性质，是基础题．
16.设 ∈ (0,1)，若函数 ( ) = + (1 + ) 在(0,+∞)上单调递增，则 a的取值范围是______ .
【答案】 √ 5 1[ , 1)
2
【解析】解：∵函数 ( ) = + (1 + ) 在(0,+∞)上单调递增，
∴ ′( ) = ln + (1 + ) ln(1 + ) ≥ 0在(0,+∞)上恒成立，
1+ ln
即(1 + ) ln(1 + ) ≥ ln ，化简可得( ) ≥ 在(0,+∞)上恒成立，
ln(1+ )
1+
而在(0,+∞)上( ) > 1，
ln 1
故有1 ≥ ，由 ∈ (0,1)，化简可得ln(1 + ) ≥ ln ，
ln(1+ )
1
即1 + ≥ ， 2 + 1 ≥ 0，解答√ 5 1 ≤ < 1，
2
故 a的取值范围是 √ 5 1 √ 5 1[ , 1).故答案为：[ , 1).
2 2
第 6页，共 14页
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由函数 ( ) = + (1 + ) 在(0,+∞)上单调递增，可得导函数 ′( ) ≥ 0在(0,+∞)上恒成立，再参变量分
离求解即可得出答案．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，恒成立问题的求解，指数函数的性质，是中档题．
三、解答题：本题共 7小题，共 82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 12 分)
某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 10 次配对试验，每次配对试验选用材质相
同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸
缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 ， ( = 1,2,…10).试验结果如下：
试验序
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
号 i
伸缩率
545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率
536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记 = ( = 1,2, ,10)，记 1， 2， ， 10的样本平均数为 ，样本方差为
2.
(1)求 ， 2；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高. (如果 ≥
2
2√ ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则
10
不认为有显著提高)
【答案】解：(1)根据表中数据，计算 = ( = 1,2,…，10)，填表如下：
试验序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
i
伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
9 6 8 8 15 11 19 18 20 12
=
1 10 1计算平均数为 = ∑ =1 = × (9 + 6 + 8 8 + 15 + 11 + 19 + 18 + 20 + 12) = 11， 10 10
1 1
方差为 2 = ∑10 =1( )
2 = × [( 2)2 + ( 5)2 + ( 3)2 + ( 19)2 + 42 + 02 + 82 + 72 + 92 + 12] =
10 10
61.
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2
(2)由(1)知， = 11， √ 2 = 2√ 6.1 < 2√ 6.25 = 5，
10
2
所以 ≥ 2√
，认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提
10
高．
【解析】(1)根据表中数据，计算 = ( = 1,2,…，10)，求平均数 和方差
2.
2
(2)根据 和 √ 2 ，比较大小即可得出结论．
10
本题考查了平均数与方差的计算问题，也考查了数据分析与运算求解能力，是基础题．
18.(本小题 12 分)
在△ 中，已知∠ = 120 ， = 2， = 1.
(1)求sin∠ ；
(2)若 D 为 BC 上一点.且∠ = 90 ，求△ 的面积.
【答案】解：(1)在△ 中，由余弦定理可知 2 = 22 + 12 2 × 1 × 2 × cos120 = 7，
7+4 1 5√ 7
= √ 7，∴由余弦定理可得cos∠ = = ，
2×√ 7×2 14
又∠ ∈ (0, )， 25 √ 21∴ sin∠ = √ 1 cos2∠ = √ 1 = ，
28 14
(2)由(1)知： 5√ 7， √ 21cos∠ = sin∠ = ，
14 14
√ 3 1 √ 3 2√ 3
∴ tan∠ = ，∴ = ，∴ = ，
5 2 5 5
∴△ 的面积为1 1 2√ 3 1 √ 3× × × sin∠ = × × 1 × = .
2 2 5 2 10
【解析】(1)由余弦定理可求 BC，进而可求sin∠ ；
(2)由已知可求tan∠ ，进而可得 AD，可求面积．
本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积的计算，属基础题．
19.(本小题 12 分)如图，在三棱锥 中， ⊥ ， = 2， = 2√ 2， = = √ 6， =
√ 5 ，BP，AP，BC 的中点分别为 D，E，O，点 F 在 AC 上， ⊥ .
(1)证明： //平面 ADO；
(2)证明：平面 ⊥平面 BEF；
(3)求二面角 的正弦值.
第 8页，共 14页
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【答案】证明：(1)由题可知，| | = 2√ 3，设 = ，
∵ = | || |cos∠ = 4，
1 1 1 1 1
则 = ( ) ( + ) = | |2 | |2 + ( ) = 8 4 = 0，解得 =
2 2 2 2 2 2
1 1
，∴ // ， = ，
2 2
1
而 // ， = ，∴ // ， = ，∴四边形 ODEF 为平行四边形，
2
∴ // ，∵ 平面 ADO， 平面 ADO，
∴ //平面 .
证明：(2) = √ 2 + 2 = √ 6 = = 2 ， = √ 5 ，
∴ 2 = 2 + 2，即 ⊥ ， ⊥ ，
∵ ⊥ ， ∩ = ，∴ ⊥平面 BEF，
∵ 平面 ADO，∴平面 ⊥平面 .
解：(3)设二面角 的平面角为 ，
∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ 为 和 的夹角，
|
1
| = | | = √ 3，|
1 √ 6 | = | | = ，
2 2 2
1
(
3 3
3 )
2 2 2 √ 2cos = = = = =
|
，
|| | | || | | || | √ 6√ 3× 2
2
√ 2 √ 2
sin = ，∴二面角 的正弦值为 .
2 2
1
【解析】(1)利用限量法可得 // ， = ，四边形 ODEF 为平行四边形，根据线面平行的判定定
2
理即可证明；
(2)由勾股定理可得 ⊥ ， ⊥ ，根据面面垂直的判定定理即可证明；
(3)设二面角 的平面角为 ，可知 为 和 的夹角，利用向量的夹角公式求解即可．
本题考查直线与平面、平面与平面位置关系的判定定理，考查二面角的计算，是难题．
第 9页，共 14页
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2 2
20.(本小题 12 分)已知椭圆 C： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为
√ 5，点 ( 2,0)在 C 上.
3
(1)求 C 的方程；
(2)过点( 2,3)的直线交 C 于点 P，Q 两点，直线 AP，AQ 与 y 轴的交点分别为 M，N，证明：线段 MN 的
中点为定点.
√ 5
= = 3
【答案】解：(1)由题意，{ 3 ，解得{ = 2 .
= 2
2 = 2 + 2 = √ 5
2 2
∴椭圆 C 的方程为 + = 1；
9 4
证明：(2)如图，
要使过点( 2,3)的直线交 C 于点 P，Q 两点，则 PQ 的斜率存在且小于 0，
设 PQ： 3 = ( + 2)，即 = + 2 + 3， < 0， ( 1, 1)，
( 2, 2)，
= + 2 + 3
联立{ 2 2 2 2 ，得(4 + 9) + 8 (2 + 3) + 16 ( + 3) = 0.
+ = 1
9 4
= [8 (2 + 3)]2 4(4 2 + 9) 16 ( + 3) = 1728 > 0.
8 (2 +3) 16 ( +3)
1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，
4 +9 4 +9
1 2
直线 AP： = ( + 2) (0, 1 ) 1+2
，取 = 0，得 ；
1+2
2
直线 AQ： = 2 ( + 2) (0, 2 ). ，取 = 0，得 2+2 2+2
2 2 2 ( + 2) + 2 ( + 2)
∴ 1 + 2 = 1
2 2 1
1 + 2 2 + 2 ( 1 + 2)( 2 + 2)
( 1 + 2 + 3)( 2 + 2)( 2 + 2 + 3)( 1 + 2)
= 2
1 2 + 2( 1 + 2) + 4
2 1 2 + (4 + 3)( 1 + 2) + 4(2 + 3)
= 2
1 2 + 2( 1 + 2) + 4
16 ( + 3) 8 (2 + 3)
2 2 + (4 + 3) 2 + 4(2 + 3)
= 2 4 + 9 4 + 9
16 ( + 3) 8 (2 + 3)
2 + 2 4 + 9 4 2
+ 4
+ 9
32 3 + 96 2 64 3 96 2 48 2 72 + 32 3 + 72 + 48 2 + 108
= 2
16 2 + 48 32 2 48 + 16 2 + 36
108
= 2 × = 6.
36
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∴ 的中点为(0,3)，为定点．
【解析】(1)由题意列关于 a，b，c 的方程组，求得 a，b，c 的值，可得椭圆 C 的方程；
(2)设 PQ： 3 = ( + 2)，即 = + 2 + 3， < 0， ( 1, 1)， ( 2, 2)，联立直线方程与椭圆方
程，化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得 1 + 2与 1 2的值，写出直线 AP、AQ 的方
程，求得 M 与 N 的坐标，再由中点坐标公式即可证明 MN 的中点为定点．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
1
21.(本小题 12 分)已知函数 ( ) = ( + )ln(1 + ).
(1)当 = 1时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
1
(2)是否存在 a，b，使得曲线 = ( )关于直线 = 对称，若存在，求 a，b的值，若不存在，说明理由；
(3)若 ( )在(0,+∞)存在极值，求 a 的取值范围.
【答案】解：(1) = 1时， (1) = 0，
1 1 1
′( ) = 2 ln( + 1) + ( 1)( )， ′(1) = ln2， +1
∴曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 = ln2( 1).
1 +1
(2) ( ) = ( + )ln( )，定义域为( ∞, 1) ∪ (0,+∞)，
1 1
要使函数 ( )的图像关于 = 对称，则由 ≠ 0，且 ≠ 1，可知 = ，
2
1 +1 1
即 ( ) = ( + )ln( )的图像关于 = 对称，
2
1 1
则 (1) = (1 + )ln2， ( 2) = ( 2 + )ln = ( 2)ln2，得1 + = 2 ，解得 = .
2 2
1 1
综上， = ， = ；
2 2
1 1 1 1 2+
(3) ′( ) = 2 ln( + 1) + ( + )( ) = [ln( + 1) ]， +1 2 +1
2
要使 ( )在(0,+∞)存在极值点，则方程 + ln( + 1) = 0有正根，
+1
记
2+
( ) = ln( + 1) ， > 0， ′( ) = 2 × ( + 2 1)，
+1 (1+ )
①当 ≤ 0时， ′( ) > 0，故 ( )在(0,+∞)上单调递增， ( ) > (0) = 0，不符合题意；
1
②当 ≥ 时， ′( ) < 0，故 ( )在(0,+∞)上单调递减， ( ) < (0) = 0，不符合题意；
2
1 1 2 1 2
③当0 < < 时，令 ′( ) > 0，0 < < ，令 ′( ) < 0， > ，
2
故 ( )在(0,+∞)上单调递增， ( ) > (0) = 0，不符合题意；
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{#{QQABLQqEggAoQAAAAAhCEwXaCgIQkBCAAAoOgAAIIAAACAFABAA=}#}
易知 → +∞时， ( ) → ∞，
2
(1 2 ) 1 2
故只需 1 2 1 2
+ 1
( ) ≤ ( ) = ln( + 1) ，
1 2
= ln( 1) + 4 2 > 0
+1
4 21 4 ( 2)
记 ( ) = ln( 1) + 2， > 2， ′( ) = 2 = 2 > 0， 1 ( 1)
故 ( )在(2,+∞)上单调递增，
1 1 1 1 2
∴ ( ) > (2) = 0，故取 = ，0 < < ，有ln( 1) + 4 2 > 0，即 ( ) > 0，符合题意；
2
1
综上所述， ∈ (0, )时， ( )在(0,+∞)存在极值点．
2
【解析】本题考查利用导数求切线方程，利用函数对称性求参数，考查利用导数研究函数的极值问题，体
现了转化的思想方法，属于难题．
(1) = 1时，求得 (1) = 0，再根据导数的几何意义求得切线斜率，利用点斜式求解即可；
1
(2)根据函数的定义域和对称性可求得 = ，再利用赋值法求 a；
2
2
(3)要使 ( )在(0,+∞)存在极值点，则 ′( ) = 0有正根，即方程 + ln( + 1) = 0有正根，记 ( ) =
+1
2+
ln( + 1) ， > 0，利用导数与极值的关系分类讨论即可求解．
+1
22.(本小题 10分)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1
= 2cos
的极坐标方程为 = 2sin ( ≤ ≤ )，曲线 2：{ ( 为参数， < < ). 4 2 = 2sin 2
(1)写出 1的直角坐标方程；
(2)若直线 = + 既与 1没有公共点，也与 2没有公共点、求 m 的取值范围.
【答案】解：(1)曲线 1的极坐标方程为 = 2sin ( ≤ ≤ )， 4 2
= cos
根据{ = sin 转换为直角坐标方程为 2 + ( 1)2 = 1，
2 + 2 = 2
因为 ≤ ≤ ， ≤ 2 ≤ ， = cos = 2sin cos = sin2 ∈ [0,1]，
4 2 2
= sin = 2sin2 = 1 cos2 ∈ [1,2]，
所以 2 21的直角坐标方程为 + ( 1) = 1， ∈ [0,1]， ∈ [1,2]；
= 2cos
(2)由于曲线 1的方程为
2 + ( 1)2 = 1，(0 ≤ ≤ 1,1 ≤ ≤ 2)，曲线 2：{ ( 为参数， < = 2sin 2
< )，转换为直角坐标方程为 2 + 2 = 4，( 2 < < 0,0 < < 2)；
如图所示：
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{#{QQABLQqEggAoQAAAAAhCEwXaCgIQkBCAAAoOgAAIIAAACAFABAA=}#}
由于 = 与圆 1相交于点(1,1)，即 = 0，
当 < 0时，直线 = + 与曲线 1没有公共点；
| |
当曲线 2与直线 = + 相切时，圆心 2(0,0)到直线 = + 的距离 = = 2，解得 = 2√ 2(负值√ 2
舍去)，
由于直线 = + 与曲线 2没有公共点，
所以 > 2√ 2，
故直线 = + 既与 1没有公共点，也与 2没有公共点、实数 m 的取值范围为( ∞,0) ∪ (2√ 2,+∞).
【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程和直角坐标坐标方程之间进行转换；
(2)利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式求出实数 m 的取值范围．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系，点到直
线的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
23.(本小题 12 分)
已知 ( ) = 2| | + | 2|.
(1)求不等式 ( ) ≤ 6 的解集；
( ) ≤
(2)在直角坐标系 xOy 中，求不等式组{ 所确定的平面区域
+ 6 ≤ 0
的面积.【答案】解：(1)当 ≥ 2时， ( ) = 2 + 2 = 3 2，
当0 < < 2时， ( ) = 2 + 2 = + 2，
当 ≤ 0时， ( ) = 2 + 2 = 3 + 2，
则当 ≥ 2时，由 ( ) ≤ 6 得3 2 ≤ 6 ，得4 ≤ 8，即 ≤ 2，
此时 = 2.
当0 < < 2时，由 ( ) ≤ 6 得 + 2 ≤ 6 ，得2 < 4，即 <
2，此时0 < < 2.
当 ≤ 0时，由 ( ) ≤ 6 得 3 + 2 ≤ 6 ，得2 ≥ 4，即 ≥ 2，此时 2 ≤ ≤ 0.
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{#{QQABLQqEggAoQAAAAAhCEwXaCgIQkBCAAAoOgAAIIAAACAFABAA=}#}
综上 2 < ≤ 2，即不等式的解集为[ 2,2].
( ) ≤ ≥ 2| | + | 2|
(2)不等式组{ 等价为{ ，
+ 6 ≤ 0 + 6 ≤ 0
作出不等式组对应的平面区域如图：则 (0,2)， (0,6)，
+ 6 = 0 = 2
由{ ，得{ ，即 (2,4)，
= + 2 = 4
+ 6 = 0 = 2
由{ ，得{ ，即 ( 2,8)，
= 3 + 2 = 8
1 1
则阴影部分的面积 = △ + △ = × (6 2) × 2 + × (6 2) × 2 = 4 + 4 = 8. 2 2
【解析】(1)根据绝对值的意义，表示成分段函数，然后解不等式即可．
(2)作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，根据三角形的面积公式进行求解即可．
本题主要考查绝对值不等式的解法以及二元一次不等式表示区域，利用分类讨论思想进行求解是解决本题
的关键，是中档题．
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{#{QQABLQqEggAoQAAAAAhCEwXaCgIQkBCAAAoOgAAIIAAACAFABAA=}#}2023-2024 学年度上学期武汉西藏中学山南班期末考试
高三数学试卷
考试时间：2024年 1 月 24日 14：00-16：00 试卷满分：150 分
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的选项
中，只有一项是符合题目要求的。
+
1.设 = ，则 =( ) + +
A. B. + C. D. +
2.设集合 = ，集合 = { | < }， = { | < < }，则{x|x≥2}=( )
A. ( ∪ ) B. ∪ C. ( ∩ ) D. ∪
3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格
小正方形的边长为 1，则该零件的表面积为( )
A. 24
B. 26
C. 28
D. 30
4.已知 ( ) = 是偶函数，则 =( )
A. B. C. 1 D. 2
5.设 O 为平面坐标系的坐标原点，在区域{( , )| ≤ + ≤ }内随机取一点，记
该点为 A，则直线 OA 的倾斜角不大于 的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知函数 ( ) = ( + )在区间( , )单调递增，直线 = 和 = 为函数 =
( )的图像的两条对称轴，则 ( ) =( )
√ √ A. B. C. D.
7.甲乙两位同学从 6 种课外读物中各自选读 2 种，则这两人选读的课外读物中恰有 1
种相同的选法共有( )
A. 30 种 B. 60 种 C. 120 种 D. 240 种
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{#{QQABLQqEggAoQAAAAAhCEwXaCgIQkBCAAAoOgAAIIAAACAFABAA=}#}
8.已知圆锥 PO 的底面半径为√ ，O 为底面圆心，PA，PB 为圆锥的母线，∠ =
△ ，若 的面积等于 √ ，则该圆锥的体积为( )
A. B. √ C. D. √
9.已知△ 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ 为等边三角形，若二面角
为 ，则直线 CD 与平面 ABC 所成角的正切值为( )
√ √
A. B. C. D.
10.已知等差数列{ }的公差为 ，集合 = { | ∈
}，若 = { , }，则
=( )
A. B. C. 0 D.
11.设 A，B 为双曲线 = 上两点，下列四个点中，可为线段 AB 中点的是( )
A. ( , ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , )
12.已知⊙ 的半径为 1，直线 PA 与⊙ 相切于点 A，直线 PB 与⊙ 交于 B，C 两
点，D 为 BC 的中点，若| | = √ ，则 的最大值为( )
+√ + √
A. B. C. + √ D. + √
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13.已知点 ( ,√ )在抛物线 C： = 上，则 A 到 C 的准线的距离为______ .
≤
14.若 x，y满足约束条件{ + ≤ ，则 = 的最大值为______ .
+ ≥
15.已知{ }为等比数列， = ， = ，则 =______ .
16.设 ∈ ( , )，若函数 ( ) = + ( + ) 在( ,+∞)上单调递增，则 a的取值范围
是______ .
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{#{QQABLQqEggAoQAAAAAhCEwXaCgIQkBCAAAoOgAAIIAAACAFABAA=}#}
三、解答题：本题共 7小题，共 82分。解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤。
(一)必考题：60分
17.(本小题 12 分)
某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 10 次配对试验，每次配
对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙
工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸
缩率分别记为 ， ( = , ,… ).试验结果如下：
试验
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
序号 i
伸缩
545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
率
伸缩
536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
率
记 = ( = , , , )，记 ， ， ， 的样本平均数为 ，样本方差为
.
( )求 ， ；
( )判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有
显著提高. (如果 ≥ √ ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后
的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)
18.(本小题 12 分)
在△ 中，已知∠ = ， = ， = .
( )求 ∠ ；
( )若 D 为 BC 上一点.且∠ = ，求△ 的面积.
19.(本小题 12 分)
如图，在三棱锥 中， ⊥ ， = ， = √ ， = = √ ，
= √ ，BP，AP，BC 的中点分别为 D，E，O，点 F 在 AC 上， ⊥ .
( )证明： //平面 ADO；
( )证明：平面 ⊥平面 BEF；
( )求二面角 的正弦值.
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{#{QQABLQqEggAoQAAAAAhCEwXaCgIQkBCAAAoOgAAIIAAACAFABAA=}#}
20.(本小题 12 分)
已知椭圆 C： + = ( > > )的离心率为
√ ，点 ( , )在 C 上.
( )求 C 的方程；
( )过点( , )的直线交 C 于点 P，Q 两点，直线 AP，AQ 与 y 轴的交点分别为 M，
N，证明：线段 MN 的中点为定点.
21.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = ( + ) ( + ).
( )当 = 时，求曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线方程；
( )是否存在 a，b，使得曲线 = ( )关于直线 = 对称，若存在，求 a，b的值，若
不存在，说明理由；
( )若 ( )在( ,+∞)存在极值，求 a的取值范围.
(二)选考题：共 10分.请考生在第 22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的
第一题计分.
22.(本小题 10 分)【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系 xOy中，以坐标原点 O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
=
的极坐标方程为 = ( ≤ ≤ )，曲线 ：{ ( 为参数， < < =
).
( )写出 的直角坐标方程；
( )若直线 = + 既与 没有公共点，也与 没有公共点、求 m的取值范围.
23.(本小题 10 分)【选修 4-5：不等式选讲】
已知 ( ) = | | + | |.
( )求不等式 ( ) ≤ 的解集；
( ) ≤
( )在直角坐标系 xOy 中，求不等式组{ 所确定的平面区域的面积.
+ ≤
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