【优加学】初中数学鲁教版七年级上册 第三章综合提升
一、通摸拟
1．△ABC的三边长分别是a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A=∠B-∠C B．a：b：c=5：12：13
C．∠A：∠B：∠C=3：4：5 D．a2=(b+c)(b一c)
2．如图所示，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．
3．如图所示，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA=CD，求物品中转站与车站之间的距离．
4．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
如图所示，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
二、通中考
5．（2017·东营）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．
6．如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B-∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B-∠C+∠B+∠C=180°，
解之：∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，故A不符合题意；
B、∵a：b：c=5：12：13
设a=5x，b=12x，c=13x
∴a2+b2=（5x）2+（12x）2=169x2，c2=169x2；
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，故B不符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5
设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，
∴∠A+∠B+∠C=180°即3x+4x+5x=180°
解之：x=15°
∴∠C=5x=75°≠90°，
∴△ABC不是直角三角形，故C符合题意；
D、∵ a2=(b+c)(b一c)
∴a2+c2=b2，
∴∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形的内角和定理，可知∠A+∠B+∠C=180°，由∠A=∠B-∠C，可求出∠B的度数，可对A作出判断；利用勾股定理的逆定理，分别求出a2+b2，c2，比较大小，可对B作出判断；利用三角形的内角和定理，设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可求出∠C的度数，可对C作出判断；利用勾股定理的逆定理可对D作出判断.
2．【答案】10
【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】如图 所示，将长方体展开，连接AB'，因为AA'=1+3+1+3=8(cm)，A'B'=6 cm，根据两点之间线段最短，AB'2=82+ 62=102 cm，所以AB'=10 cm．
【分析】将长方体展开，连接AB'，利用已知可求出AA'，A'B'的长；再利用两点之间线段最短，可知 所用细线最短就是AB'的长；利用勾股定理求出 AB'的长即可.
3．【答案】解：因为AB⊥l于B，AB=3千米，
AD=5千米，
所以BD2=AD2-AB2=4千米．
设CD=x千米，
则CB=(4-x)千米，所以x2=(4-x)2+ 32，
解得x=3.125．
答：物品中转站与车站之间的距离为3.125千米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】利用已知可求出AD的长，利用勾股定理求出BD2的值，设CD=x千米，可表示出CB的；然后利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值即可.
4．【答案】解：在△ABC中，AB= 15，BC= 14，AC= 13，
设BD=x，则CD=14-x，
由勾股定理，得AD2=AB2- BD2=152-x2，AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2，所以152-x2=132-(14-x)2，解得x=9，
所以AD= 12，所以S△ABC = BC·AD= ×14×12= 84．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【分析】设BD=x，可表示出CD的长，再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可求出AD的长；然后利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积.
5．【答案】25
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，
另一条直角边长5×3=15（尺），
因此葛藤长为 =25（尺）．
故答案为：25．
【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
6．【答案】4.8
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】根据垂线段最短，得到 BP⊥AC时，BP最短，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，如图所示.
因为AB=AC，AD⊥BC，所以D为BC的中点，又BC=6，
所以BD=CD=3，在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，
根据勾股定理，得AD2=AC2- DC2=42，所以AD=4．
又因为S△ABC= BC·AD= BP·AC，
所以BP= =4.8
故答案为：4.8.
【分析】利用垂线段最短，得可知当BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，利用等腰三角形的性质，可求出BD，CD的长，在Rt△ADC中，利用勾股定理求出AD的长；再利用三角形的面积公式可求出BP的长.
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一、通摸拟
1．△ABC的三边长分别是a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A=∠B-∠C B．a：b：c=5：12：13
C．∠A：∠B：∠C=3：4：5 D．a2=(b+c)(b一c)
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B-∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B-∠C+∠B+∠C=180°，
解之：∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，故A不符合题意；
B、∵a：b：c=5：12：13
设a=5x，b=12x，c=13x
∴a2+b2=（5x）2+（12x）2=169x2，c2=169x2；
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，故B不符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5
设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，
∴∠A+∠B+∠C=180°即3x+4x+5x=180°
解之：x=15°
∴∠C=5x=75°≠90°，
∴△ABC不是直角三角形，故C符合题意；
D、∵ a2=(b+c)(b一c)
∴a2+c2=b2，
∴∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形的内角和定理，可知∠A+∠B+∠C=180°，由∠A=∠B-∠C，可求出∠B的度数，可对A作出判断；利用勾股定理的逆定理，分别求出a2+b2，c2，比较大小，可对B作出判断；利用三角形的内角和定理，设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可求出∠C的度数，可对C作出判断；利用勾股定理的逆定理可对D作出判断.
2．如图所示，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．
【答案】10
【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】如图 所示，将长方体展开，连接AB'，因为AA'=1+3+1+3=8(cm)，A'B'=6 cm，根据两点之间线段最短，AB'2=82+ 62=102 cm，所以AB'=10 cm．
【分析】将长方体展开，连接AB'，利用已知可求出AA'，A'B'的长；再利用两点之间线段最短，可知 所用细线最短就是AB'的长；利用勾股定理求出 AB'的长即可.
3．如图所示，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA=CD，求物品中转站与车站之间的距离．
【答案】解：因为AB⊥l于B，AB=3千米，
AD=5千米，
所以BD2=AD2-AB2=4千米．
设CD=x千米，
则CB=(4-x)千米，所以x2=(4-x)2+ 32，
解得x=3.125．
答：物品中转站与车站之间的距离为3.125千米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】利用已知可求出AD的长，利用勾股定理求出BD2的值，设CD=x千米，可表示出CB的；然后利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值即可.
4．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
如图所示，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
【答案】解：在△ABC中，AB= 15，BC= 14，AC= 13，
设BD=x，则CD=14-x，
由勾股定理，得AD2=AB2- BD2=152-x2，AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2，所以152-x2=132-(14-x)2，解得x=9，
所以AD= 12，所以S△ABC = BC·AD= ×14×12= 84．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【分析】设BD=x，可表示出CD的长，再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可求出AD的长；然后利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积.
二、通中考
5．（2017·东营）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．
【答案】25
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，
另一条直角边长5×3=15（尺），
因此葛藤长为 =25（尺）．
故答案为：25．
【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
6．如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是
【答案】4.8
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】根据垂线段最短，得到 BP⊥AC时，BP最短，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，如图所示.
因为AB=AC，AD⊥BC，所以D为BC的中点，又BC=6，
所以BD=CD=3，在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，
根据勾股定理，得AD2=AC2- DC2=42，所以AD=4．
又因为S△ABC= BC·AD= BP·AC，
所以BP= =4.8
故答案为：4.8.
【分析】利用垂线段最短，得可知当BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，利用等腰三角形的性质，可求出BD，CD的长，在Rt△ADC中，利用勾股定理求出AD的长；再利用三角形的面积公式可求出BP的长.
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