2017-2018学年数学沪科版八年级下册第19章 四边形 单元检测
一、选择题
1．如图，在 ABCD中，AE平分∠DAB，AB=5，DE=2．则 ABCD的周长是（ ）
A．7 B．10 C．14 D．16
2．如图，在 ABCD中，AB=6，AD=9，AF平分∠BAD交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AF于点G，BG=4 ，EF= AE，则△CEF的周长为（ ）．
A．8 B．10 C．14 D．16
3．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
4．（2016八下·费县期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（2016八下·石城期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．16a B．12a C．8a D．4a
6．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ ）
A． B．2 C． +1 D．2 +1
7．菱形的周长为40，它的一条对角线长为12，则菱形的面积为（ ）
A．24 B．48 C．96 D．192
8．（2017·潮南模拟）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点E从B点出发，沿B﹣C﹣D﹣A运动至A点停止，设运动的路程为x，△ABE的面积为y，则y与x的函数关系用图象表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，正方形ABCD边长为2，点P是线段CD边上的动点（与点C，D不重合），∠PBQ=45°，过点A作AE∥BP，交BQ于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．BP BE=2 B．BP BE=4 C． = D． =
10．如图，矩形ABCD的面积为1cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B…；依此类推，则平行四边形AO2014C2015B的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，菱形ABCD的周长为36cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于 ．
12．（2017八下·荣昌期中）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于 度．
13．（2017·威海模拟）在数学课上，老师提出如下问题：
如图1，将锐角三角形纸片ABC（BC＞AC）经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．
小明的折叠方法如下：
如图2，（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D； （2）C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：小明这样折叠的依据是 ．
14．如图，矩形ABCD中，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD=8，DC=6，则BE的长为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 度．
16．（2017·禹州模拟）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为 ．
17．如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为 ．
18．如图，直线l是矩形ABCD的一条对称轴，点P是直线l上一点，且使得△PAB和△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P共有 个．
三、计算题
19．（2017八下·德州期末）已知：如图，点E，F分别为 ABCD的边BC，AD上的点，且∠1=∠2．
求证：AE=CF．
20．如图，已知E、F分别是 ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
21．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
22．如图6所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
23．在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，发现：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC边上任意一点（点E不与B、C重合），点F在线段AE上，过点F的直线MN⊥AE，分别交AB、CD于点M、N．此时，有结论AE=MN，请进行证明；
（2）如图2：当点F为AE中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD，MN 与BD交于点G，连接BF，此时有结论：BF=FG，请利用图2做出证明．
（3）如图3：当点E为直线BC上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线MN分别交直线AB、CD于点M、N，请你直接写出线段AE与MN之间的数量关系、线段BF与FG之间的数量关系．
24．在 ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5，AB∥CD，BC=AD，
∴∠AED=∠BAE，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE．
∴∠DAE=∠AED．
∴AD=DE=2．
∴ ABCD的周长=2×（2+5）=14；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质，得到对边平行且相等，得到内错角∠AED=∠BAE，再根据角平分线的性质，得到∠DAE=∠AED，根据等角对等边，得到AD=DE的值，求出 ABCD的周长.
2．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAF=∠DFA，∠DAF=∠CEF，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠CEF=∠CFE，∠BAE=∠AEB，
∴EC=FC，AB=BE=6，
∵AD=BC=9，
∴EC=FC=3，
∵BG=4 ，AB=6，
∴AG=2，
∵AB=BE，BG⊥AE，
∴EG=2，
∵EF= AE，
∴EF=2，
∴△CEF的周长为：EC+FC+EF=8．
故答案为：8．故答案为：A
【分析】由平行四边形的性质得到，两组对边平行且相等；由角平分线的性质，得到等腰三角形，得到EC=FC，AB=BE的值，由已知AD=BC的值，求出EC=FC的值，再根据勾股定理求出AG的值，根据三线合一求出EG的值，求出△CEF的周长.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
设正方形S1的边长为x，
∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，
∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，
∴sin∠CAB=sin45°=，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，
∴AC=BC=2CD，
又∵AD=AC+CD=6，
∴CD==2，
∴EC2=22+22，即EC=2；
∴S1的面积为EC2=2×2=8；
∵∠MAO=∠MOA=45°，
∴AM=MO，
∵MO=MN，
∴AM=MN，
∴M为AN的中点，
∴S2的边长为3，
∴S2的面积为3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．
故选B．
【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．
4．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC=AC=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．
故选C．
【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
5．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AB=2a，则菱形ABCD的周长为8a．故选C．
【分析】根据已知可得菱形性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求得菱形的边长即AB=2OE，从而不难求得其周长．
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC=CD= =1，∠BCD=90°，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE= BC= ，CF= CD= ，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF= CE= ，
∴正方形EFGH的周长=4EF=4× =2 ；
故答案为：B．
【分析】根据正方形ABCD的面积，求出边长，由E、F分别是BC、CD的中点，由正方形的性质，得到△CEF是等腰直角三角形，根据勾股定理求出EF的值，得到正方形EFGH的周长.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图：四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，
∵菱形的周长为40，
∴AB=BC=CD=AD=10，
∵一条对角线的长为12，当AC=12，
∴AO=CO=6，
在Rt△AOB中，BO= =8，
∴BD=2BO=16，
∴菱形的面积= AC BD=96，
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质四边相等，由周长得到边长，再根据菱形的对角线互相垂直平分线，由勾股定理求出另一条对角线的长，得到菱形的面积.
8．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：当点E在BC上运动时，三角形的面积不断增大，最大面积= = =6；
当点E在DC上运动时，三角形的面积为定值6．
当点E在AD上运动时三角形的面不断减小，当点E与点A重合时，面积为0．
故选：B．
【分析】当点E在BC上运动时，三角形的面积不断增大，当点E在DC上运动时，三角形的面积不变，当点E在AD上运动时三角形的面积不等减小，然后计算出三角形的最大面积即可得出答案．
9．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AP，作EM⊥PB于M．
∵AE∥PB，
∴S△PBE=S△ABP= S正方形ABCD=2，
∴ PB EM=2，
∵∠EBM=45°，∠EMB=90°，
∴EM= BE，
∴ PB BE=2，
∴PB BE=4 ．
故答案为：B．
【分析】根据正方形的性质，得到S△PBE=S△ABP=S正方形ABCD÷2，得到PB EM=4，得到PB BE的值.
10．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵O1为矩形ABCD的对角线的交点，
∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的 ，
∴平行四边形AOC1B的面积= ×1= ，
∵平行四边形AO1C2B的对角线交于点O2，
∴平行四边形AOC2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的 ，
∴平行四边形ABC3O2的面积= × ×1= ，
…，
依此类推，平行四边形ABC2014O2015的面积= cm2．
故答案为：C．
【分析】由矩形和平行四边形的性质，得到平行四边形AOC1B的面积与平行四边形ABC3O2的面积；根据规律依此类推，得到平行四边形ABC2014O2015的面积.
11．【答案】 cm
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为36cm，
∴CD= =9cm．
∵四边形ABCD为菱形，且AC与BD交点为O，
∴O为AC的中点，
又∵E是AD的中点，
∴OE为△ACD的中位线，
∴OE= CD= cm．
故答案为： cm．
【分析】根据菱形的性质四边相等，由周长求出边长，再根据菱形的对角线互相平分，得到OE为△ACD的中位线，根据中位线定理，求出OE的长.
12．【答案】65
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，
在△ABE与△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴∠AEB=∠AED，∠ABE=∠ADE，
∵∠CBF=20°，
∴∠ABE=70°，
∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°，
故答案为：65
【分析】根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用SAS证明△ABE与△ADE全等，再利用三角形的内角和解答即可．
13．【答案】CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接DF、DE．
根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD=OC，OE=OF．
则四边形DECF恰为菱形．
故答案是：．
【分析】根据折叠的性质得到CD和EF互相垂直且平分，结合菱形的判定定理“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”证得结论．
14．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=DC=6，BC=AD=8，AD∥BC，∠B=90°．
∵△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，
∴∠DAC=∠D′AC．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB．
∴∠D′AC=∠ACB．
∴AE=EC．
设BE=x，则EC=8﹣x，AE=8﹣x．
∵在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，
∴62+x2=（8﹣x）2，解得x= ，即BE的长为 ．
【分析】根据矩形的性质对边平行且相等，四个角都等于90°，由折叠的性质和勾股定理，求出BE的长.
15．【答案】22.5°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB═OC，
∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∴∠AOE=∠OBC+∠OCB=2∠OBC，
∵∠EAC=2∠CAD，
∴∠EAO=∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°，
∴∠AOE=45°，
∴∠OAB=∠OBA= =67.5°，
∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．
故答案为22.5°．
【分析】根据矩形的性质对角线互相平分且相等，四个角是90°，得到OA=OB═OC，根据三角形的外角性质，得到∠AOE=∠OBC+∠OCB=2∠OBC，由∠EAC=2∠CAD，得到∠EAO=∠AOE，由已知AE⊥BD，得到∠BAE的度数.
16．【答案】（10，3）
【知识点】坐标与图形性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形A0CD为矩形，D的坐标为（10，8），
∴AD=BC=10，DC=AB=8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD=AF=10，DE=EF，
在Rt△AOF中，OF= =6，
∴FC=10﹣6=4，
设EC=x，则DE=EF=8﹣x，
在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2，即（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，
即EC的长为3．
∴点E的坐标为（10，3），
故答案为：（10，3）．
【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理来求OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8﹣x，CF=10﹣6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．
17．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
∵BD=BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE=60°，
∴∠A=∠BDE，
∴AC∥DE，
∵四边形DEFG是正方形，GF=6，
∴DE∥GF，
∴AC∥DE∥GF，
∴KH=18× ﹣6× ﹣6=9 ﹣3 ﹣6=6 ﹣6，
∴F点到AC的距离为6 ﹣6．
故答案为：6 ﹣6．
【分析】根据等边三角形的性质和已知BD=BE，得到△BDE是等边三角形，得到AC∥DE，由正方形的性质和等腰三角形的三线合一，求出KH的值，得到F点到AC的距离是KH的值.
18．【答案】5
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，
如图，在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，
同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB，
如图，在长方形外l上作点P，使AB=AP，DC=PD，
同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC，
故答案为5．
【分析】根据题意和矩形的性质对角线互相平分且相等，由对称的性质使得△PAB和△PBC均为等腰三角形，得到在l上满足条件的点P共5个点.
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠1，
∵∠1=∠2，
∴∠DAE=∠2，
∴AE∥CF，
∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】先由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，再根据平行线的性质得到∠DAE=∠1，而∠1=∠2，于是∠DAE=∠2，根据平行线的判定得到AE∥CF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形AECF是平行四边形，从而根据平行四边形的对边相等得到AE=CF．
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：如图，∵四边形AECF是菱形，∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠3=90°﹣∠2，∠4=90°﹣∠1，∴∠3=∠4，
∴AE=BE，
∴BE=AE=CE= BC=5．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质，得到对边平行且相等，再由BE=DF，得到AF=EC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形AECF是平行四边形；（2）根据菱形的性质四边相等，得到∠1=∠2，由已知条件，得到AE=BE，得到BE=AE=CE的值.
21．【答案】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得到四边形AEBD是平行四边形，再根据等腰三角形的三线合一得到∠ADB=90°，得到平行四边形AEBD是矩形；（2）由∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，根据在直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半，得到AD=BD=CD，由（1）得四边形AEBD是矩形，得到矩形AEBD是正方形．
22．【答案】（1）证明：∵点E是AD的中点，∴AE＝DE．∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE．
∴△EAF≌△EDC．
∴AF＝DC．
∵AF＝BD，
∴BD＝DC，即D是BC的中点．
（2）证明：四边形AFBD是矩形．证明如下：∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
∵AB＝AC，又由(1)可知D是BC的中点，
∴AD⊥BC．
∴ AFBD是矩形
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据AF∥BC，得到内错角相等，由点E是AD的中点，根据AAS得到△EAF≌△EDC；得到对应边相等，得到BD＝DC，即D是BC的中点；（2）由（1）知四边形AFBD是平行四边形，D是BC的中点，根据等腰三角形的三线合一，得到AD⊥BC，得到 AFBD是矩形.
23．【答案】（1）证明：在图1中，过点D作PD∥MN交AB于P，则∠APD=∠AMN，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，AB∥DC，∠DAB=∠B=90°，
∴四边形PMND是平行四边形且PD=MN，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵MN⊥AE于F，
∴∠BAE+∠AMN=90°，
∴∠BEA=∠AMN=∠APD，
又∵AB=AD，∠B=∠DAP=90°，
∴△ABE≌△DAP，
∴AE=PD=MN；
（2）证明：在图2中，连接AG、EG、CG，
由正方形的轴对称性△ABG≌△CBG，
∴AG=CG，∠GAB=∠GCB，
∵MN⊥AE于F，F为AE中点，
∴AG=EG，
∴EG=CG，∠GEC=∠GCE，
∴∠GAB=∠GEC，
由图可知∠GEB+∠GEC=180°，
∴∠GEB+∠GAB=180°，
又∵四边形ABEG的内角和为360°，∠ABE=90°，
∴∠AGE=90°，
在Rt△ABE 和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点，
∴BF= AE，FG= AE，
∴BF=FG；
（3）证明：①AE与 MN的数量关系是：AE=MN，理由是：
如图3，过N作NQ⊥AB于Q，
∵∠NMQ=∠AMF，∠AMF=∠AEB，
∴∠AEB=∠NMQ，
∵AB=BC=QN，∠ABE=∠NQM=90°，
∴△AEB≌△NMQ，
∴AE=MN；
②BF与FG的数量关系是：BF=FG，
理由是：如图4，连接AG、EG、CG，
同理得：∠GAD=∠GCD，∠GEC=∠GCE，
∵∠GCE+∠GCD=90°，
∴∠GAD+∠GEC=90°，
∵AD∥EC，
∴∠DAE+∠AEC=180°，
∴∠AEG+∠EAG=90°，
∴∠AGE=90°，
在Rt△ABE 和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点，
∴BF= AE，FG= AE，
∴BF=FG．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到四边形PMND是平行四边形且PD=MN，再根据HL得到△ABE≌△DAP，得到AE=PD=MN；（2）由正方形的轴对称性△ABG≌△CBG，得到对应边、对应角相等，由四边形ABEG的内角和为360°，∠ABE=90°，得到∠AGE=90°，再根据在直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半，得到BF=FG=AE；（3）根据正方形的性质和已知，由HL得到△AEB≌△NMQ，得到AE=MN；根据正方形的性质和在直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半，得到BF=FG．
24．【答案】（1）证明：如图1，∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．
（2）解：连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，∵∠DCB=90°，DF∥AB，∴∠DFA=45°，∠ECF=90°
∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°在△BEG与△DCG中，∵ ，
∴△BEG≌△DCG，
∴BG=DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA=90°，又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGA+∠DGA=90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，
∴∠BDG=45°
（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°
∴△DAF为等腰三角形
∴AD=DF，∴CE=CF，
∴平行四边形AHFD为菱形
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF在△BHD与△GFD中，∵ ，
∴△BHD≌△GFD，
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质对边平行，得到内错角相等，再由角平分线的性质，得到∠CEF=∠F，得到CE=CF；（2）由已知得到四边形ABCD为矩形，再根据角平分线的性质得到△ECF为等腰直角三角形，由SAS得到△BEG≌△DCG，得到对应边BG=DG，由CG⊥EF，得到△DGB为等腰直角三角形，得到∠BDG=45°；（3）由已知得到四边形AHFD为平行四边形，由角平分线定义和已知得到△DAF为等腰三角形，得到平行四边形AHFD为菱形，得到△ADH，△DHF为全等的等边三角形，再根据SAS得到△BHD≌△GFD，得到对应角相等，得到∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.
1 / 12017-2018学年数学沪科版八年级下册第19章 四边形 单元检测
一、选择题
1．如图，在 ABCD中，AE平分∠DAB，AB=5，DE=2．则 ABCD的周长是（ ）
A．7 B．10 C．14 D．16
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5，AB∥CD，BC=AD，
∴∠AED=∠BAE，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE．
∴∠DAE=∠AED．
∴AD=DE=2．
∴ ABCD的周长=2×（2+5）=14；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质，得到对边平行且相等，得到内错角∠AED=∠BAE，再根据角平分线的性质，得到∠DAE=∠AED，根据等角对等边，得到AD=DE的值，求出 ABCD的周长.
2．如图，在 ABCD中，AB=6，AD=9，AF平分∠BAD交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AF于点G，BG=4 ，EF= AE，则△CEF的周长为（ ）．
A．8 B．10 C．14 D．16
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAF=∠DFA，∠DAF=∠CEF，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠CEF=∠CFE，∠BAE=∠AEB，
∴EC=FC，AB=BE=6，
∵AD=BC=9，
∴EC=FC=3，
∵BG=4 ，AB=6，
∴AG=2，
∵AB=BE，BG⊥AE，
∴EG=2，
∵EF= AE，
∴EF=2，
∴△CEF的周长为：EC+FC+EF=8．
故答案为：8．故答案为：A
【分析】由平行四边形的性质得到，两组对边平行且相等；由角平分线的性质，得到等腰三角形，得到EC=FC，AB=BE的值，由已知AD=BC的值，求出EC=FC的值，再根据勾股定理求出AG的值，根据三线合一求出EG的值，求出△CEF的周长.
3．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
设正方形S1的边长为x，
∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，
∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，
∴sin∠CAB=sin45°=，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，
∴AC=BC=2CD，
又∵AD=AC+CD=6，
∴CD==2，
∴EC2=22+22，即EC=2；
∴S1的面积为EC2=2×2=8；
∵∠MAO=∠MOA=45°，
∴AM=MO，
∵MO=MN，
∴AM=MN，
∴M为AN的中点，
∴S2的边长为3，
∴S2的面积为3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．
故选B．
【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．
4．（2016八下·费县期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC=AC=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．
故选C．
【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
5．（2016八下·石城期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．16a B．12a C．8a D．4a
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AB=2a，则菱形ABCD的周长为8a．故选C．
【分析】根据已知可得菱形性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求得菱形的边长即AB=2OE，从而不难求得其周长．
6．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ ）
A． B．2 C． +1 D．2 +1
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC=CD= =1，∠BCD=90°，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE= BC= ，CF= CD= ，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF= CE= ，
∴正方形EFGH的周长=4EF=4× =2 ；
故答案为：B．
【分析】根据正方形ABCD的面积，求出边长，由E、F分别是BC、CD的中点，由正方形的性质，得到△CEF是等腰直角三角形，根据勾股定理求出EF的值，得到正方形EFGH的周长.
7．菱形的周长为40，它的一条对角线长为12，则菱形的面积为（ ）
A．24 B．48 C．96 D．192
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图：四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，
∵菱形的周长为40，
∴AB=BC=CD=AD=10，
∵一条对角线的长为12，当AC=12，
∴AO=CO=6，
在Rt△AOB中，BO= =8，
∴BD=2BO=16，
∴菱形的面积= AC BD=96，
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质四边相等，由周长得到边长，再根据菱形的对角线互相垂直平分线，由勾股定理求出另一条对角线的长，得到菱形的面积.
8．（2017·潮南模拟）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点E从B点出发，沿B﹣C﹣D﹣A运动至A点停止，设运动的路程为x，△ABE的面积为y，则y与x的函数关系用图象表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：当点E在BC上运动时，三角形的面积不断增大，最大面积= = =6；
当点E在DC上运动时，三角形的面积为定值6．
当点E在AD上运动时三角形的面不断减小，当点E与点A重合时，面积为0．
故选：B．
【分析】当点E在BC上运动时，三角形的面积不断增大，当点E在DC上运动时，三角形的面积不变，当点E在AD上运动时三角形的面积不等减小，然后计算出三角形的最大面积即可得出答案．
9．如图，正方形ABCD边长为2，点P是线段CD边上的动点（与点C，D不重合），∠PBQ=45°，过点A作AE∥BP，交BQ于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．BP BE=2 B．BP BE=4 C． = D． =
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AP，作EM⊥PB于M．
∵AE∥PB，
∴S△PBE=S△ABP= S正方形ABCD=2，
∴ PB EM=2，
∵∠EBM=45°，∠EMB=90°，
∴EM= BE，
∴ PB BE=2，
∴PB BE=4 ．
故答案为：B．
【分析】根据正方形的性质，得到S△PBE=S△ABP=S正方形ABCD÷2，得到PB EM=4，得到PB BE的值.
10．如图，矩形ABCD的面积为1cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B…；依此类推，则平行四边形AO2014C2015B的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵O1为矩形ABCD的对角线的交点，
∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的 ，
∴平行四边形AOC1B的面积= ×1= ，
∵平行四边形AO1C2B的对角线交于点O2，
∴平行四边形AOC2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的 ，
∴平行四边形ABC3O2的面积= × ×1= ，
…，
依此类推，平行四边形ABC2014O2015的面积= cm2．
故答案为：C．
【分析】由矩形和平行四边形的性质，得到平行四边形AOC1B的面积与平行四边形ABC3O2的面积；根据规律依此类推，得到平行四边形ABC2014O2015的面积.
二、填空题
11．如图，菱形ABCD的周长为36cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于 ．
【答案】 cm
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为36cm，
∴CD= =9cm．
∵四边形ABCD为菱形，且AC与BD交点为O，
∴O为AC的中点，
又∵E是AD的中点，
∴OE为△ACD的中位线，
∴OE= CD= cm．
故答案为： cm．
【分析】根据菱形的性质四边相等，由周长求出边长，再根据菱形的对角线互相平分，得到OE为△ACD的中位线，根据中位线定理，求出OE的长.
12．（2017八下·荣昌期中）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于 度．
【答案】65
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，
在△ABE与△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴∠AEB=∠AED，∠ABE=∠ADE，
∵∠CBF=20°，
∴∠ABE=70°，
∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°，
故答案为：65
【分析】根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用SAS证明△ABE与△ADE全等，再利用三角形的内角和解答即可．
13．（2017·威海模拟）在数学课上，老师提出如下问题：
如图1，将锐角三角形纸片ABC（BC＞AC）经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．
小明的折叠方法如下：
如图2，（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D； （2）C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：小明这样折叠的依据是 ．
【答案】CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接DF、DE．
根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD=OC，OE=OF．
则四边形DECF恰为菱形．
故答案是：．
【分析】根据折叠的性质得到CD和EF互相垂直且平分，结合菱形的判定定理“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”证得结论．
14．如图，矩形ABCD中，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD=8，DC=6，则BE的长为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=DC=6，BC=AD=8，AD∥BC，∠B=90°．
∵△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，
∴∠DAC=∠D′AC．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB．
∴∠D′AC=∠ACB．
∴AE=EC．
设BE=x，则EC=8﹣x，AE=8﹣x．
∵在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，
∴62+x2=（8﹣x）2，解得x= ，即BE的长为 ．
【分析】根据矩形的性质对边平行且相等，四个角都等于90°，由折叠的性质和勾股定理，求出BE的长.
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 度．
【答案】22.5°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB═OC，
∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∴∠AOE=∠OBC+∠OCB=2∠OBC，
∵∠EAC=2∠CAD，
∴∠EAO=∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°，
∴∠AOE=45°，
∴∠OAB=∠OBA= =67.5°，
∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．
故答案为22.5°．
【分析】根据矩形的性质对角线互相平分且相等，四个角是90°，得到OA=OB═OC，根据三角形的外角性质，得到∠AOE=∠OBC+∠OCB=2∠OBC，由∠EAC=2∠CAD，得到∠EAO=∠AOE，由已知AE⊥BD，得到∠BAE的度数.
16．（2017·禹州模拟）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为 ．
【答案】（10，3）
【知识点】坐标与图形性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形A0CD为矩形，D的坐标为（10，8），
∴AD=BC=10，DC=AB=8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD=AF=10，DE=EF，
在Rt△AOF中，OF= =6，
∴FC=10﹣6=4，
设EC=x，则DE=EF=8﹣x，
在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2，即（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，
即EC的长为3．
∴点E的坐标为（10，3），
故答案为：（10，3）．
【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理来求OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8﹣x，CF=10﹣6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．
17．如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
∵BD=BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE=60°，
∴∠A=∠BDE，
∴AC∥DE，
∵四边形DEFG是正方形，GF=6，
∴DE∥GF，
∴AC∥DE∥GF，
∴KH=18× ﹣6× ﹣6=9 ﹣3 ﹣6=6 ﹣6，
∴F点到AC的距离为6 ﹣6．
故答案为：6 ﹣6．
【分析】根据等边三角形的性质和已知BD=BE，得到△BDE是等边三角形，得到AC∥DE，由正方形的性质和等腰三角形的三线合一，求出KH的值，得到F点到AC的距离是KH的值.
18．如图，直线l是矩形ABCD的一条对称轴，点P是直线l上一点，且使得△PAB和△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P共有 个．
【答案】5
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，
如图，在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，
同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB，
如图，在长方形外l上作点P，使AB=AP，DC=PD，
同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC，
故答案为5．
【分析】根据题意和矩形的性质对角线互相平分且相等，由对称的性质使得△PAB和△PBC均为等腰三角形，得到在l上满足条件的点P共5个点.
三、计算题
19．（2017八下·德州期末）已知：如图，点E，F分别为 ABCD的边BC，AD上的点，且∠1=∠2．
求证：AE=CF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠1，
∵∠1=∠2，
∴∠DAE=∠2，
∴AE∥CF，
∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】先由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，再根据平行线的性质得到∠DAE=∠1，而∠1=∠2，于是∠DAE=∠2，根据平行线的判定得到AE∥CF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形AECF是平行四边形，从而根据平行四边形的对边相等得到AE=CF．
20．如图，已知E、F分别是 ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：如图，∵四边形AECF是菱形，∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠3=90°﹣∠2，∠4=90°﹣∠1，∴∠3=∠4，
∴AE=BE，
∴BE=AE=CE= BC=5．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质，得到对边平行且相等，再由BE=DF，得到AF=EC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形AECF是平行四边形；（2）根据菱形的性质四边相等，得到∠1=∠2，由已知条件，得到AE=BE，得到BE=AE=CE的值.
21．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得到四边形AEBD是平行四边形，再根据等腰三角形的三线合一得到∠ADB=90°，得到平行四边形AEBD是矩形；（2）由∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，根据在直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半，得到AD=BD=CD，由（1）得四边形AEBD是矩形，得到矩形AEBD是正方形．
22．如图6所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵点E是AD的中点，∴AE＝DE．∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE．
∴△EAF≌△EDC．
∴AF＝DC．
∵AF＝BD，
∴BD＝DC，即D是BC的中点．
（2）证明：四边形AFBD是矩形．证明如下：∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
∵AB＝AC，又由(1)可知D是BC的中点，
∴AD⊥BC．
∴ AFBD是矩形
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据AF∥BC，得到内错角相等，由点E是AD的中点，根据AAS得到△EAF≌△EDC；得到对应边相等，得到BD＝DC，即D是BC的中点；（2）由（1）知四边形AFBD是平行四边形，D是BC的中点，根据等腰三角形的三线合一，得到AD⊥BC，得到 AFBD是矩形.
23．在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，发现：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC边上任意一点（点E不与B、C重合），点F在线段AE上，过点F的直线MN⊥AE，分别交AB、CD于点M、N．此时，有结论AE=MN，请进行证明；
（2）如图2：当点F为AE中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD，MN 与BD交于点G，连接BF，此时有结论：BF=FG，请利用图2做出证明．
（3）如图3：当点E为直线BC上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线MN分别交直线AB、CD于点M、N，请你直接写出线段AE与MN之间的数量关系、线段BF与FG之间的数量关系．
【答案】（1）证明：在图1中，过点D作PD∥MN交AB于P，则∠APD=∠AMN，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，AB∥DC，∠DAB=∠B=90°，
∴四边形PMND是平行四边形且PD=MN，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵MN⊥AE于F，
∴∠BAE+∠AMN=90°，
∴∠BEA=∠AMN=∠APD，
又∵AB=AD，∠B=∠DAP=90°，
∴△ABE≌△DAP，
∴AE=PD=MN；
（2）证明：在图2中，连接AG、EG、CG，
由正方形的轴对称性△ABG≌△CBG，
∴AG=CG，∠GAB=∠GCB，
∵MN⊥AE于F，F为AE中点，
∴AG=EG，
∴EG=CG，∠GEC=∠GCE，
∴∠GAB=∠GEC，
由图可知∠GEB+∠GEC=180°，
∴∠GEB+∠GAB=180°，
又∵四边形ABEG的内角和为360°，∠ABE=90°，
∴∠AGE=90°，
在Rt△ABE 和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点，
∴BF= AE，FG= AE，
∴BF=FG；
（3）证明：①AE与 MN的数量关系是：AE=MN，理由是：
如图3，过N作NQ⊥AB于Q，
∵∠NMQ=∠AMF，∠AMF=∠AEB，
∴∠AEB=∠NMQ，
∵AB=BC=QN，∠ABE=∠NQM=90°，
∴△AEB≌△NMQ，
∴AE=MN；
②BF与FG的数量关系是：BF=FG，
理由是：如图4，连接AG、EG、CG，
同理得：∠GAD=∠GCD，∠GEC=∠GCE，
∵∠GCE+∠GCD=90°，
∴∠GAD+∠GEC=90°，
∵AD∥EC，
∴∠DAE+∠AEC=180°，
∴∠AEG+∠EAG=90°，
∴∠AGE=90°，
在Rt△ABE 和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点，
∴BF= AE，FG= AE，
∴BF=FG．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到四边形PMND是平行四边形且PD=MN，再根据HL得到△ABE≌△DAP，得到AE=PD=MN；（2）由正方形的轴对称性△ABG≌△CBG，得到对应边、对应角相等，由四边形ABEG的内角和为360°，∠ABE=90°，得到∠AGE=90°，再根据在直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半，得到BF=FG=AE；（3）根据正方形的性质和已知，由HL得到△AEB≌△NMQ，得到AE=MN；根据正方形的性质和在直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半，得到BF=FG．
24．在 ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．
【答案】（1）证明：如图1，∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．
（2）解：连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，∵∠DCB=90°，DF∥AB，∴∠DFA=45°，∠ECF=90°
∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°在△BEG与△DCG中，∵ ，
∴△BEG≌△DCG，
∴BG=DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA=90°，又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGA+∠DGA=90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，
∴∠BDG=45°
（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°
∴△DAF为等腰三角形
∴AD=DF，∴CE=CF，
∴平行四边形AHFD为菱形
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF在△BHD与△GFD中，∵ ，
∴△BHD≌△GFD，
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质对边平行，得到内错角相等，再由角平分线的性质，得到∠CEF=∠F，得到CE=CF；（2）由已知得到四边形ABCD为矩形，再根据角平分线的性质得到△ECF为等腰直角三角形，由SAS得到△BEG≌△DCG，得到对应边BG=DG，由CG⊥EF，得到△DGB为等腰直角三角形，得到∠BDG=45°；（3）由已知得到四边形AHFD为平行四边形，由角平分线定义和已知得到△DAF为等腰三角形，得到平行四边形AHFD为菱形，得到△ADH，△DHF为全等的等边三角形，再根据SAS得到△BHD≌△GFD，得到对应角相等，得到∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.
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