专题2.4 基本不等式-重难点题型检测
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022春 韩城市期末）函数的最小值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
2．（3分）（2022春 郫都区校级期末）若实数x、y满足x2+y2＝1+xy，则下列结论中，正确的是（ ）
A．x+y≤1 B．x+y≥2 C．x2+y2≥1 D．x2+y2≤2
3．（3分）（2022春 黄陵县校级期末）下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B．y＝x2﹣2x+4
C． D．
4．（3分）（2022秋 哈尔滨月考）设a＞0，b＞0，若a+3b＝5，则的最小值为（ ）
A．9 B．2 C．6 D．4
5．（3分）（2022秋 南关区校级月考）已知正实数a，b满足，则a+2b的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（3分）（2021秋 泽普县校级月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）（2022春 营口期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足a+b＝4，且t恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．t≤1 B．t＜1 C．t≤2 D．t＜2
8．（3分）（2021秋 李沧区校级月考）若x＞0，y＞0，且1，x+2y＞m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．﹣8＜m＜1 B．m＜﹣8或m＞1 C．m＜﹣1或m＞8 D．﹣1＜m＜8
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021秋 滦南县校级月考）下列函数最小值为2的是（ ）
A．y＝x B．y
C．y＝x2 D．y
10．（4分）（2021秋 建华区校级期中）若正数a，b满足a+b＝1，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
11．（4分）（2021秋 烟台期末）已知x＞0，y＞0，且x+y+xy﹣3＝0，则错误的是（ ）
A．xy的取值范围是[1，9] B．x+y的取值范围是[2，+∞）
C．x+4y的最小值是3 D．x+2y的最小值是
12．（4分）（2021秋 呼兰区校级期中）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝2，若对任意的x＞0，y＞0恒成立，则实数m的可能取值为（ ）
A． B． C． D．2
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2021秋 石鼓区校级月考）已知x＞2，x（a＞0）最小值为3．则a＝ ．
14．（4分）（2022秋 新罗区校级月考）已知正实数a，b满足ab+a+b＝3，则2a+b的最小值为 ．
15．（4分）（2022 衡南县校级开学）直角三角形的斜边长为5时，其面积有最 （大或小）值，为 ．
16．（4分）（2022秋 余姚市校级月考）有下列4个关于不等式的结论：①若x＜0，则x2；②若x∈R，则2；③若x∈R，则|≥2；④若a＞0，则．其中正确的序号是 ．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022 望花区校级开学）已知x∈（0，+∞）．
（1）求的值域；
（2）求的最小值，以及y取得最小值时x的值．
18．（6分）（2021秋 新泰市校级期末）已知实数a＞0，b＞0，a+2b＝2．
（1）求的最小值；
（2）求a2+4b2+5ab的最大值．
19．（8分）（2022春 福田区校级期末）若a＞0，b＞0，a+b＝1．求证：
（1）；
（2）．
20．（8分）（2021秋 洛阳期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
（1）若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为18m，求的最小值．
21．（8分）（2022春 河南期末）观察下面的解答过程：已知正实数a，b满足a+b＝1，求的最小值．
解：∵a+b＝1，
∴，
当且仅当，结合a+b＝1得，时等号成立，
∴的最小值为．
请类比以上方法，解决下面问题：
（1）已知正实数x，y满足，求x+4y的最小值；
（2）已知正实数x，y满足x+y＝1，求的最小值．
22．（8分）（2022春 润州区校级月考）（1）已知x＞0，y＞0，且满足1．求x+2y的最小值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数m的最大值；
（3）已知a＞0，b＞0，求的最大值．专题2.4 基本不等式-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022春 韩城市期末）函数的最小值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【解题思路】利用基本不等式化简即可求解．
【解答过程】解：由题意f（x）＝5x20，
当且仅当5x，即x＝2时取等号，此时取得最小值为20，
故选：C．
2．（3分）（2022春 郫都区校级期末）若实数x、y满足x2+y2＝1+xy，则下列结论中，正确的是（ ）
A．x+y≤1 B．x+y≥2 C．x2+y2≥1 D．x2+y2≤2
【解题思路】由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3（）2，x2+y2﹣1＝xy，分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可．
【解答过程】解：对于A，B，由x2+y2＝1+xy可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3（）2，即 1，
∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A错，B错，
对于C，D，由x2+y2＝1+xy可得，x2+y2﹣1＝xy，
∴x2+y2≤2，故C错，D对，
故选：D．
3．（3分）（2022春 黄陵县校级期末）下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B．y＝x2﹣2x+4
C． D．
【解题思路】选项A，利用排除法，当x＜0时，y＜0；
选项B，由配方法，可得y≥3；
选项C，利用基本不等式，可得解；
选项D，采用换元法，令t，则y＝t，再结合对勾函数的图象与性质，得解．
【解答过程】解：选项A，当x＜0时，y＜0，即A不符合题意；
选项B，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3≥3，即B不符合题意；
选项C，y＝x222，当且仅当x2，即x＝±1时，等号成立，即C符合题意；
选项D，令t，则y＝t在[，+∞）上单调递增，
所以y，当且仅当t时，等号成立，即D不符合题意．
故选：C．
4．（3分）（2022秋 哈尔滨月考）设a＞0，b＞0，若a+3b＝5，则的最小值为（ ）
A．9 B．2 C．6 D．4
【解题思路】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答过程】解：a＞0，b＞0，a+3b＝5，
则36，
当且仅当且a+3b＝5，即a＝2，b＝1时取等号．
故选：C．
5．（3分）（2022秋 南关区校级月考）已知正实数a，b满足，则a+2b的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解题思路】根据a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（）﹣1，结合基本不等式求解即可．
【解答过程】解：∵正实数a，b满足，
∴a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（）﹣1＝51≥5+21＝8，当且仅当a+b＝2（b+1）时等号成立，
故选：B．
6．（3分）（2021秋 泽普县校级月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】利用数形结合计算出OF，OC，再在Rt△OCF中，利用勾股定理得CF，再由CF≥OF，可解．
【解答过程】解：由图形可知：OF，OC，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：，
又CF≥OF，
∴，（a，b＞0），
故选：C．
7．（3分）（2022春 营口期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足a+b＝4，且t恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．t≤1 B．t＜1 C．t≤2 D．t＜2
【解题思路】利用“乘1法”，可得1，从而得解．
【解答过程】解：（a+b）（）（2）（2+2）＝1，当且仅当，即a＝b＝2时，等号成立，
因为a≠b，所以1，
又t恒成立，所以t≤1．
故选：A．
8．（3分）（2021秋 李沧区校级月考）若x＞0，y＞0，且1，x+2y＞m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．﹣8＜m＜1 B．m＜﹣8或m＞1 C．m＜﹣1或m＞8 D．﹣1＜m＜8
【解题思路】根据题意，分析可得x+2y＝（x+2y）（）＝4，由基本不等式的性质求出x+2y的最小值，再由二次不等式的解法，解可得m的取值范围．
【解答过程】解：根据题意，x＞0，y＞0，且1，
则x+2y＝（x+2y）（）＝44+28，
当且仅当x＝2y＝4时等号成立，
即x+2y的最小值为8，
若x+2y＞m2+7m恒成立，必有m2+7m＜8，解可得﹣8＜m＜1．
即m的取值范围为（﹣8，1）．
故选：A．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021秋 滦南县校级月考）下列函数最小值为2的是（ ）
A．y＝x B．y
C．y＝x2 D．y
【解题思路】对于AD可以利用特殊值法判断；对于BC利用基本不等式判断即可．
【解答过程】解：对于A，当x＝﹣1时，y＝﹣2，A错误．
对于B，y22，当且仅当，即x＝0时取得等号，B正确．
对于C，y＝x22，当且仅当x2，即x＝±1时取得等号，C正确．
对于D，当x＝0时，很显然最小值不是2，D错误．
故选：BC．
10．（4分）（2021秋 建华区校级期中）若正数a，b满足a+b＝1，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】构造（3a+2+3b+2）×（），运用1的巧妙代换，结合基本不等式求解．
【解答过程】解：∵a+b＝1，∴3a+2+3b+2＝7，
∴（3a+2+3b+2）×（），
∵a，b都是正数，∴0，0，
由基本不等式可知22，
∴，当且仅当a+b＝1，时，即a＝b时，取等号．
∴的最小值为．
故选：AB．
11．（4分）（2021秋 烟台期末）已知x＞0，y＞0，且x+y+xy﹣3＝0，则错误的是（ ）
A．xy的取值范围是[1，9] B．x+y的取值范围是[2，+∞）
C．x+4y的最小值是3 D．x+2y的最小值是
【解题思路】由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断．
【解答过程】解：因为x＞0，y＞0，且x+y+xy﹣3＝0，
所以x+y＝3﹣xy，当且仅当x＝y＝1时取等号，
解得，01，即0＜xy≤1，
所以xy的取值范围为（0，1]，A错误；
又xy＝3﹣（x+y），且仅当x＝y＝1时取等号，
解得，x+y≥2，故B正确，
又x+y＝3﹣xy＜3；
由x+y+xy﹣3＝0，得x0，
所以0＜y＜3，1＜y+1＜4，
所以x+4y4y＝4（y+1）5＞3，此时等号无法取得，C错误；
x+2y2y＝2y2（y+1）33＝4，当且仅当2y+2，即y时取等号，此时x+2y取得最小值4，D正确．
故选：AC．
12．（4分）（2021秋 呼兰区校级期中）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝2，若对任意的x＞0，y＞0恒成立，则实数m的可能取值为（ ）
A． B． C． D．2
【解题思路】先结合基本不等式求出的最小值，然后由不等式恒成立转化为（）min，解不等式可求m的范围，结合选项可判断．
【解答过程】解：因为x＞0，y＞0，且2x+y＝2，
所以（）（2x+y）（5），
当且仅当且2x+y＝2，即x＝y时取等号，
若对任意的x＞0，y＞0恒成立，
则，
整理得0，
解得m或m＜1，
结合选项可知，ACD符合题意．
故选：ACD．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2021秋 石鼓区校级月考）已知x＞2，x（a＞0）最小值为3．则a＝ ．
【解题思路】先变形得到xx﹣22，再利用基本不等式求最值．
【解答过程】解：∵x＞2，∴x﹣2＞0，
∴xx﹣22≥22，
当且仅当x﹣2，即x＝2时取等号，
∴x（a＞0）最小值为22，
∵x（a＞0）最小值为3，
∴22＝3，∴a，
故答案为：．
14．（4分）（2022秋 新罗区校级月考）已知正实数a，b满足ab+a+b＝3，则2a+b的最小值为 43 ．
【解题思路】利用已知关系式求出a，则2a+b＝2bbb﹣2，然后利用基本不等式即可求解．
【解答过程】解：因为ab+a+b＝3，所以a，
则2a+b＝2bb
b﹣23＝4，
当且仅当，即b＝21时取等号，此时最小值为43，
故答案为：4．
15．（4分）（2022 衡南县校级开学）直角三角形的斜边长为5时，其面积有最 大 （大或小）值，为 ．
【解题思路】先设直角边分别为x，y，则x2+y2＝25，然后结合基本不等式及三角形面积公式可求．
【解答过程】解：设两直角边分别为x，y，则x2+y2＝25，
因为x2+y2≥2xy，当且仅当x＝y时取等号，
故xy，
故三角形面积S．
故答案为：大；．
16．（4分）（2022秋 余姚市校级月考）有下列4个关于不等式的结论：①若x＜0，则x2；②若x∈R，则2；③若x∈R，则|≥2；④若a＞0，则．其中正确的序号是 ①②④ ．
【解题思路】利用基本不等式逐个判断4个结论即可，注意“一正，二定，三相等”3个条件缺一不可．
【解答过程】解：对于①，若x＜0，则﹣x＞0，
∴x（﹣x）≤﹣22，当且仅当﹣x，即x＝﹣1时，等号成立，故①正确，
对于②，若x∈R，2，当且仅当，即x＝0时，等号成立，故②正确，
对于③，当x＝0时，x无意义，故③错误，
对于④，若a＞0，则（1+a）（1）＝1a+1≥22＝4，当且仅当a，即a＝1时，等号成立，故④正确，
所以正确的序号是①②④，
故答案为：①②④．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022 望花区校级开学）已知x∈（0，+∞）．
（1）求的值域；
（2）求的最小值，以及y取得最小值时x的值．
【解题思路】（1）由题意利用基本不等式即可求解．
（2）由已知可得y2+（x），利用基本不等式即可求解．
【解答过程】解：（1）因为x∈（0，+∞），
所以，
取等号条件：x，x2＝1．
因为x∈（0，+∞），
所以x＝1，
所以函数的值域为[2，+∞）．
（2）y2+（x），
因为x∈（0，+∞），
所以x2，
所以y＝2+（x）≥2+2，取等号条件：x，x2＝3，
因为x∈（0，+∞），
所以，当时，该函数取最小值2+2．
18．（6分）（2021秋 新泰市校级期末）已知实数a＞0，b＞0，a+2b＝2．
（1）求的最小值；
（2）求a2+4b2+5ab的最大值．
【解题思路】（1）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出；
（2）利用a＝2﹣2b将a2+4b2+5ab＝﹣2（b）2，再利用二次函数求最大值即可得出．
【解答过程】解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+2b＝2，
∴，
当且仅当，即a＝b时等式成立，
∴的最小值为．
（2）∵a＞0，b＞0，a+2b＝2，
∴a＝2﹣2b＞0，可得0＜b＜1，
a2+4b2+5ab＝（2﹣2b）2+4b2+5（2﹣2b）b＝﹣2b2+2b+4＝﹣2（b）2，
当b时，a2+4b2+5ab有最大值为．
19．（8分）（2022春 福田区校级期末）若a＞0，b＞0，a+b＝1．求证：
（1）；
（2）．
【解题思路】（1）由已知利用乘1法，结合基本不等式即可证明；
（2）利用基本不等式的结论即可证明．
【解答过程】证明：（1）因为a＞0，b＞0，a+b＝1，
所以（）（a+b）＝59，
当且仅当且a+b＝1，即b，a时取等号，
故；
（2）因为（）22，当且仅当且a+b＝1，即a＝b时取等号，
所以．
20．（8分）（2021秋 洛阳期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
（1）若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为18m，求的最小值．
【解题思路】（1）由题意得，xy＝18，所用篱笆总长x+2y，从而可求；
（2）由题意x+2y＝18，（）（x+2y）展开后利用基本不等式可求．
【解答过程】解：（1）由题意得，xy＝18，
则所用篱笆总长x+2y12，当且仅当x＝2y且xy＝18，即y＝3，x＝6时取等号，
此时所用篱笆总长最小；
（2）由题意x+2y＝18，
所以（）（x+2y）（5）（5+2），
当且仅当且x+2y＝18，即x＝y＝6时取等号，此时最小值为．
21．（8分）（2022春 河南期末）观察下面的解答过程：已知正实数a，b满足a+b＝1，求的最小值．
解：∵a+b＝1，
∴，
当且仅当，结合a+b＝1得，时等号成立，
∴的最小值为．
请类比以上方法，解决下面问题：
（1）已知正实数x，y满足，求x+4y的最小值；
（2）已知正实数x，y满足x+y＝1，求的最小值．
【解题思路】（1）类比已知解题方法，将x+4y变为，展开后结合基本不等式，即可求得答案；
（2）将x+y＝1化为（2x+1）+（2y+2）＝5，将变形为，类比所给解题方法，结合基本不等式，求得答案．
【解答过程】解：（1）由正实数x，y满足得：
．
当且仅当，结合得时等号成立，∴x+4y的最小值为9．
（2）正实数x，y满足x+y＝1，得（2x+1）+（2y+2）＝5，
∴
当且仅当，结合x+y＝1得时等号成立，∴的最小值为．
22．（8分）（2022春 润州区校级月考）（1）已知x＞0，y＞0，且满足1．求x+2y的最小值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数m的最大值；
（3）已知a＞0，b＞0，求的最大值．
【解题思路】（1）由已知把x+2y变形为，展开后用基本不等式求得最小值．
（2）分离参数化为恒成立，再利用基本不等式求出不等式右边的最小值即可得解．
（3）令2a+b＝u，2b+a＝v，u，v＞0，可得，代入所求式子化简整理，运用基本不等式可得所求最大值．
【解答过程】解：（1）∵x＞0，y＞0，1，
∴x+2y（x+2y）＝1010+218，
当且仅当，即时，等号成立，
∴（x+2y）min＝18．
（2）不等式恒成立化为恒成立，
∵，∴1﹣4x＞0，
∴5+4＝9，
当且仅当，即时，等号成立，
∴m≤9，∴m的最大值为9．
（3）解：令2a+b＝u，2b+a＝v，u，v＞0，
可得，
∴，
当且仅当，上式取得等号，可得的最大值为．
