专题2.2 等式性质与不等式性质-重难点题型检测
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋 洮南市校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．某人月收入x元不高于2000元可表示为“x＜2000”
B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x＞y”
C．变量x不小于a可表示为“x≥a”
D．变量y不超过a可表示为“y＞a”
2．（3分）（2022 义乌市模拟）已知实数a，b，a＞0，b＞0，则“a+b＜2”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（3分）（2022秋 南昌月考）若ab＞0，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a2＞b2 B． C．2 D．
4．（3分）（2021秋 张掖期末）若a＝（x+1）（x+3），b＝2（x+2）2，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．a＜b
C．a≥b D．a，b大小不确定
5．（3分）（2021秋 洪山区校级月考）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b（a≠b）的不等式表示出来（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2022 连云区校级开学）设a，b，c是实数，x＝a2﹣2b，y＝b2﹣2c，z＝c2﹣2a，则x，y，z中至少有一个值（ ）
A．大于0 B．等于0 C．不大于0 D．小于0
7．（3分）（2021秋 河南月考）已知2＜x＜4，﹣3＜y＜﹣1，则的取值范围是（ ）
A．（，） B．（，） C．（，1） D．（，2）
8．（3分）（2022春 海淀区校级期末）若a、b为实数，则下列命题正确（ ）
A．若a＞b且ab≠0则
B．若a＞b且ab≠0，则
C．若a＞b＞0，则
D．若a＞b，则a（a2+b2）＞b（a2+b2）
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021秋 朝阳月考）已知P＝a2+b2，Q＝2ab，R，则（ ）
A．P≥R B．Q≥R C．P≤R D．P≥Q
10．（4分）（2021秋 大同期末）下列四个选项中，p是q的充分不必要条件的是（ ）
A．p：x＞y，q：x3＞y3
B．p：x＞3，q：x＞2
C．p：2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，q：2＜2a+b＜5
D．p：a＞b＞0，m＞0，q：
11．（4分）（2021秋 仪征市校级月考）已知实数x，y满足﹣3＜x+2y＜2，﹣1＜2x﹣y＜4，则（ ）
A．x的取值范围为（﹣1，2）
B．y的取值范围为（﹣2，1）
C．x+y的取值范围为（﹣3，3）
D．x﹣y的取值范围为（﹣1，3）
12．（4分）（2022 沈河区校级模拟）下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b＞0，则
B．若a＞b＞0，m＞0，则
C．a＞b＞0，则a3﹣b3＞a2b﹣ab2
D．若a＞b＞0，则ac2＞bc2
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2021秋 和硕县校级月考）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于216m2，靠墙的一边长为xm，其中的不等关系可用不等式（组）表示为 ．
14．（4分）（2021秋 清远期末）已知M＝a2+4a+1，，则M N．（填“＞”或“＜”）
15．（4分）（2021秋 镇江期中）已知0＜α，β＜π，则2α的取值范围是 ．
16．（4分）（2022春 安康期末）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是 ．（填序号）
①若a＞b，c＞d，则ac＞bd
②若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
③若a＜b＜0，则
④若a＜b＜0，则
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）用不等式表示下列不等关系：
（1）某段高速公路规定机动车限速80km/h至120km/h；
（2）x的5倍与7的差大于3；
（3）bg糖水中有ag糖，若再添上mg糖，则糖水变甜了．
18．（6分）下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因．
甲：因为﹣6＜a＜8，﹣4＜b＜2，所以﹣2＜a﹣b＜6．
乙：因为2＜b＜3，所以，
又因为﹣6＜a＜8，所以﹣24．
丙：因为2＜a﹣b＜4，所以﹣4＜b﹣a＜﹣2．
又因为﹣2＜a+b＜2，所以0＜a＜3，﹣3＜b＜0，
所以﹣3＜a+b＜3．
19．（8分）（2021秋 砀山县校级月考）（1）试比较（x+1）（x+5）与（x+3）2的大小；
（2）已知﹣1＜2a+b＜2，3＜a﹣b＜4，求5a+b的取值范围．
20．（8分）（2021秋 华龙区校级月考）（1）a＝x3+y3，b＝x2y+xy2，其中x，y均为正实数，比较a，b的大小；
（2）证明：已知a＞b＞c，且a+b+c＝0，求证：．
21．（8分）（2021秋 天元区校级月考）甲乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m≠n，问甲乙两人谁先到达指定地点？
22．（8分）证明下列不等式：
（1）已知a＞b，e＞f，c＞0，求证f﹣ac＜e﹣bc
（2）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：．专题2.2 等式性质与不等式性质-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋 洮南市校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．某人月收入x元不高于2000元可表示为“x＜2000”
B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x＞y”
C．变量x不小于a可表示为“x≥a”
D．变量y不超过a可表示为“y＞a”
【解题思路】某人月收入x元不高于2000元可表示为“x≤2000”，小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x＜y”，变量x不小于a可表示为“x≥a”，变量y不超过a可表示为“y≤a”．
【解答过程】解：由题意知，
某人月收入x元不高于2000元可表示为“x≤2000”，故选项A错误；
小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x＜y”，故选项B错误；
变量x不小于a可表示为“x≥a”，故选项C正确；
变量y不超过a可表示为“y≤a”，故选项D错误；
故选：C．
2．（3分）（2022 义乌市模拟）已知实数a，b，a＞0，b＞0，则“a+b＜2”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】从充分性和必要性两个角度分别判断即可得出结论．
【解答过程】解：∵a＞0，b＞0，a+b＜2，
∴0＜a＜2﹣b，则，即充分性成立；
若，则两边同时平方可得，a＜2﹣b，即a+b＜2，即必要性成立；
∴“a+b＜2”是“”的充分必要条件．
故选：C．
3．（3分）（2022秋 南昌月考）若ab＞0，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a2＞b2 B． C．2 D．
【解题思路】举反例a＝﹣1，b＝﹣2可判断ABD错误，利用基本不等式可判断C正确．
【解答过程】解：对于A，若a＝﹣1，b＝﹣2，则a2＜b2，故A错误，
对于B，若a＝﹣1，b＝﹣2，则，故B错误，
对于C，∵ab＞0，∴，0，又a＞b，
∴2，故C正确，
对于D，若a＝﹣1，b＝﹣2，则，故D错误，
故选：C．
4．（3分）（2021秋 张掖期末）若a＝（x+1）（x+3），b＝2（x+2）2，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．a＜b
C．a≥b D．a，b大小不确定
【解题思路】利用作差法得到a﹣b＝﹣x2﹣4x﹣5，再利用二次函数的性质求解即可．
【解答过程】解：∵a＝（x+1）（x+3），b＝2（x+2）2，
∴a﹣b＝（x+1）（x+3）﹣2（x+2）2
＝﹣x2﹣4x﹣5＝﹣[（x+2）2+1]＜0，
∴a＜b，
故选：B．
5．（3分）（2021秋 洪山区校级月考）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b（a≠b）的不等式表示出来（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用三角形的面积计算公式、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．
【解答过程】解：图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，面积S1a2b2．
图（2）是一个矩形，面积S2＝ab．
可得：（a2+b2）＞ab（a≠b）．
故选：A．
6．（3分）（2022 连云区校级开学）设a，b，c是实数，x＝a2﹣2b，y＝b2﹣2c，z＝c2﹣2a，则x，y，z中至少有一个值（ ）
A．大于0 B．等于0 C．不大于0 D．小于0
【解题思路】求出x+y+z，再利用反证法假设x，y，z都不大于0即x≤0，y≤0，z≤0，推出x+y+z的值大于0，出现矛盾，从而得到假设不正确，即可求解．
【解答过程】解：∵x+y+z＝a2﹣2bb2﹣2cc2﹣2a（a﹣1）2+（b﹣1）2+（c﹣1）2+π﹣3＞0，
假设x，y，z都不大于0即x≤0，y≤0，z≤0，
根据同向不等式的可加性可得x+y+z≤0①，
又x+y+z＞0与①式矛盾．
所以假设不成立，即原命题的结论x，y，z中至少有一个大于0．
故选：A．
7．（3分）（2021秋 河南月考）已知2＜x＜4，﹣3＜y＜﹣1，则的取值范围是（ ）
A．（，） B．（，） C．（，1） D．（，2）
【解题思路】把变形为，再由已知结合不等式的性质得答案．
【解答过程】解：，
∵2＜x＜4，∴，
又﹣3＜y＜﹣1，∴2＜﹣2y＜6，
∴3，
则4，可得．
故选：B．
8．（3分）（2022春 海淀区校级期末）若a、b为实数，则下列命题正确（ ）
A．若a＞b且ab≠0则
B．若a＞b且ab≠0，则
C．若a＞b＞0，则
D．若a＞b，则a（a2+b2）＞b（a2+b2）
【解题思路】取反例即可判断选项ABC的正误；对于D，易知a2+b2＞0，再由不等式的性质可判断．
【解答过程】解：对于A，取a＝1，b＝﹣1，满足a＞b且ab≠0，但此时，故选项A错误；
对于B，取a＝1，b＝﹣1，满足a＞b且ab≠0，但此时，故选项B错误；
对于C，取，满足a＞b＞0，但此时，故选项C错误；
对于D，由于a＞b，则a2+b2＞0，于是a（a2+b2）＞b（a2+b2），故选项D正确．
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021秋 朝阳月考）已知P＝a2+b2，Q＝2ab，R，则（ ）
A．P≥R B．Q≥R C．P≤R D．P≥Q
【解题思路】利用作差法可比较出大小．
【解答过程】解：P﹣R＝a2+b20，
则P≥R，故A正确，C错误，
R﹣Q2ab0，
所以R≥Q，故B错误，
因为P≥R，R≥Q，
所以P≥Q，故D正确，
故选：AD．
10．（4分）（2021秋 大同期末）下列四个选项中，p是q的充分不必要条件的是（ ）
A．p：x＞y，q：x3＞y3
B．p：x＞3，q：x＞2
C．p：2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，q：2＜2a+b＜5
D．p：a＞b＞0，m＞0，q：
【解题思路】利用不等式的基本性质判断A，利用子集思想结合充分必要条件的定义判断B，利用举实例判断CD．
【解答过程】解：对于A，∵x＞y x3＞y3，∴p是q的充分必要条件，∴A错误，
对于B，∵（﹣∞，3） （﹣∞，2），∴x＞3是x＞2的充分不必要条件，∴B正确，
对于C，当2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1时，则2＜2a+b＜5成立，
反之，当a＝1，b＝2时，满足2＜2a+b＜5，∴p是q的充分不必要条件，∴C正确，
对于D，当a＞b＞0，m＞0时，则0，∴，
反之，当a＝﹣2，b＝﹣1，m＝3时，2，，满足，∴p是q的充分不必要条件，∴D正确，
故选：BCD．
11．（4分）（2021秋 仪征市校级月考）已知实数x，y满足﹣3＜x+2y＜2，﹣1＜2x﹣y＜4，则（ ）
A．x的取值范围为（﹣1，2）
B．y的取值范围为（﹣2，1）
C．x+y的取值范围为（﹣3，3）
D．x﹣y的取值范围为（﹣1，3）
【解题思路】根据﹣3＜x+2y＜2，﹣1＜2x﹣y＜4，分别求出各选项中参数的范围即可．
【解答过程】解：﹣3＜x+2y＜2，﹣2＜4x﹣2y＜8，则﹣5＜5x＜10，即﹣1＜x＜2，故A正确；
﹣4＜﹣2x﹣4y＜6，﹣1＜2x﹣y＜4，即﹣5＜﹣5y＜10，故﹣2＜﹣5y＜1，故B正确；
（﹣2，2），故C错误；
（﹣1，3），故D正确．
故选：ABD．
12．（4分）（2022 沈河区校级模拟）下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b＞0，则
B．若a＞b＞0，m＞0，则
C．a＞b＞0，则a3﹣b3＞a2b﹣ab2
D．若a＞b＞0，则ac2＞bc2
【解题思路】根据已知条件，结合作差法，以及特殊值法，即可求解．
【解答过程】解：对于A，∵a＞b＞0，
∴，即，故A正确，
对于B，∵a＞b＞0，m＞0，
∴，故B正确，
对于C，∵a＞b＞0，
∴a3﹣b3﹣a2b+ab2＝a2（a﹣b）+b2（a﹣b）＞0，故C正确，
对于D，当c＝0时，ac2＝bc2，故D错误．
故选：ABC．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2021秋 和硕县校级月考）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于216m2，靠墙的一边长为xm，其中的不等关系可用不等式（组）表示为 ．
【解题思路】由条件，可知0＜x 18，然后根据菜园的面积不小于216，可得，从而得到不等关系．
【解答过程】解：由条件，可知0＜x 18，
因为要求菜园的面积不小于216，
所以，所以．
故答案为：．
14．（4分）（2021秋 清远期末）已知M＝a2+4a+1，，则M ＞ N．（填“＞”或“＜”）
【解题思路】直接利用作差法比较代数式的大小关系．
【解答过程】解：已知M＝a2+4a+1，，
则M﹣N0；
故M＞N．
故答案为：＞．
15．（4分）（2021秋 镇江期中）已知0＜α，β＜π，则2α的取值范围是 （，） ．
【解题思路】首先，确定2α与的范围，然后求解2α的范围．
【解答过程】解：∵0＜α，
∴0＜2α＜π，
∵β＜π，
∴，
∴2α．
故答案为：（，）．
16．（4分）（2022春 安康期末）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是 ② ．（填序号）
①若a＞b，c＞d，则ac＞bd
②若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
③若a＜b＜0，则
④若a＜b＜0，则
【解题思路】对于①，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时才成立；对于②③由不等式性质可判断正误；对于④作差，通分可得到结果．
【解答过程】解：对于①，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时，不等式才成立；
对于②，∵a＜b＜0，∴a2＞ab，b2＜ab
由不等式的传递性得到：a2＞ab＞b2，故②正确；
③中在（﹣∞，0）上为减函数，因为a＜b＜0得f（a）＞f（b），
故得到：，故③不正确，
又，又a＜b＜0，
∴，∴，故④不正确；
故答案为：②．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）用不等式表示下列不等关系：
（1）某段高速公路规定机动车限速80km/h至120km/h；
（2）x的5倍与7的差大于3；
（3）bg糖水中有ag糖，若再添上mg糖，则糖水变甜了．
【解题思路】（1）根据某段高速公路规定机动车行驶最快速度和最慢速度列出不等式；
（2）先求倍数后求差；
（3）bg糖水中有ag糖（b＞a＞0），若再添mg糖（m＞0），浓度发生了变化，只要分别计算出添糖前后的浓度进行比较即得．
【解答过程】解：（1）根据题意，得80≤v≤120；
（2）根据题意，得5x﹣7＞3；
（3）∵bg糖水中有ag糖，
糖水的浓度为：，
bg糖水中有ag糖（b＞a＞0），若再添mg糖（m＞0），
则糖水的浓度为：，
又糖水变甜了，说明浓度变大了，
∴．
18．（6分）下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因．
甲：因为﹣6＜a＜8，﹣4＜b＜2，所以﹣2＜a﹣b＜6．
乙：因为2＜b＜3，所以，
又因为﹣6＜a＜8，所以﹣24．
丙：因为2＜a﹣b＜4，所以﹣4＜b﹣a＜﹣2．
又因为﹣2＜a+b＜2，所以0＜a＜3，﹣3＜b＜0，
所以﹣3＜a+b＜3．
【解题思路】利用不等式的性质进行判断即可．
【解答过程】解：甲乙丙做的都不对，
甲同学做的不对．因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的．
乙同学做的不对．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，
由﹣6＜a＜8．不明确a值的正负．故不能将与﹣6＜a＜8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘．
丙同学做的不对．同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形．丙同学将2＜a﹣b＜4与﹣2＜a+b＜2两边相加得0＜a＜3，又将﹣4＜b﹣a＜﹣2与﹣2＜a+b＜2两边相加得出﹣3＜b＜0，又将该式与0＜a＜3两边相加得出﹣3＜a+b＜3，多次使用了这种转化，导致了a+b范围的扩大．
19．（8分）（2021秋 砀山县校级月考）（1）试比较（x+1）（x+5）与（x+3）2的大小；
（2）已知﹣1＜2a+b＜2，3＜a﹣b＜4，求5a+b的取值范围．
【解题思路】（1）用作差法可解决此题；
（2）根据不等式性质可解决此问题．
【解答过程】解：（1）因为（x+1）（x+5）﹣（x+3）2＝x2+6x+5﹣x2﹣6x﹣9＝﹣4＜0，
∴（x+1）（x+5）＜（x+3）2；
（2）令5a+b＝λ（2a+b）+μ（a﹣b）＝（2λ+μ）a+（λ﹣μ）b．
∴解得∴5a+b＝2（2a+b）+（a﹣b）．
∵﹣1＜2a+b＜2，∴﹣2＜2（2a+b）＜4．
又3＜a﹣b＜4，∴1＜2（2a+b）+（a﹣b）＜8．
故5a+b的取值范围为（1，8）．
20．（8分）（2021秋 华龙区校级月考）（1）a＝x3+y3，b＝x2y+xy2，其中x，y均为正实数，比较a，b的大小；
（2）证明：已知a＞b＞c，且a+b+c＝0，求证：．
【解题思路】（1）利用作差法判断即可；
（2）根据不等式的性质计算即可得证．
【解答过程】（1）解：因为a＝x3+y3，b＝x2y+xy2，
则a﹣b＝x3+y3﹣（x2y+xy2）＝x3+y3﹣x2y﹣xy2＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y）＝（x﹣y）2（x+y），
因为x＞0，y＞0，所以x+y＞0，（x﹣y）2≥0，
所以a﹣b≥0，即a≥b．
（2）证明：因为a＞b＞c，且a+b+c＝0，所以a＞0，c＜0，
所以a﹣c＞b﹣c＞0，
所以0，
所以．
21．（8分）（2021秋 天元区校级月考）甲乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m≠n，问甲乙两人谁先到达指定地点？
【解题思路】设出总路程和甲乙所用时间，作比后利用不等式的性质比较甲乙所用时间的大小．
【解答过程】解：设总路程s，甲用时间t1，乙用时间t2．
则，所以．
，
因为m≠n，
所以，（m+n）2＞4mn，
所以．
所以，．
t1＜t2．
即：甲先到达．
22．（8分）证明下列不等式：
（1）已知a＞b，e＞f，c＞0，求证f﹣ac＜e﹣bc
（2）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：．
【解题思路】（1）（2）利用不等式的基本性质即可证明．
【解答过程】证明：（1）∵a＞b，c＞0，∴ac＞bc，﹣ac＜﹣bc，
又e＞f，即f＜e，∴f﹣ac＜e﹣bc．
（2）∵c＜d＜0，
∴0，∴0，
又a＞b＞0，
∴，
∴，
∴．
