2024年单招数学考前复习题二（含解析）
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2024年单招数学考前复习题二
一、单选题
1．若 ，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．若函数 满足 ，则 （ ）
A．-1 B．-2 C．0 D．1
3．在 中， 则 （ ）
A．105° B．60° C．15° D．105°或15°
4．如果某物体的运动方程为s=2(1-t2)(s 的单位为m，t的单位为s)，那么它在1.2 s末的瞬时速度为（ ）
A．-4.8 m/s B．-0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s
5．数列{8n-1}的最小项等于（ ）
A．-1 B．7 C．8 D．不存在
6．江宁为“六代豪华”之地、“十朝京畿”要地，享有“天下望县、国中首善之地”的美誉．江宁区的美丽乡村示范区按照“一村一品、一村一景、一村一业、一村一韵”要求，打造了十大美丽乡村，其中黄龙规村、大塘金村、周村、石塘村全国有名．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学前往以上四个村考察乡村文化，每一位同学只去一个村，每个村至少去一人，则所有的安排方案总数为（ ）
A．96 B．480 C．240 D．120
7．在长方体中，可以作为空间向量一个基底的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
8．平行直线与之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．椭圆 的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．已知函数 ，则（ ）
A． 的最小值为4
B．当 时，有
C．当 时，有
D．当 时， 的最小值是4
12．掷一枚骰子，记事件 表示事件“出现奇数点”，事件 表示事件“出现4点或5点”，事件 表示事件“点数不超过3”，事件 表示事件“点数大于4”，则（ ）
A．事件 与 是独立事件 B．事件 与 是互斥事件
C．事件 与 是对立事件 D．
三、填空题
13．已知，，若直线l的方向向量与直线AB的方向向量平行，则 .
14．已知p：“ x0∈R，x02－x0＋a＜0”为真命题，则实数a的取值范围是 ．
15．直线在轴上的截距为 .
16．函数在区间上的最大值为 ．
17．若复数，则 .
四、解答题
18．已知 ： ， ： ，
（1）若 求集合 ；
（2）如果 是 的必要条件，求实数 的取值范围.
19．一个学生在一次竞赛中要回答 道题是这样产生的：从 道物理题中随机抽取 道；从 道化学题中随机抽取 道；从 道生物题中随机抽取 道.使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为 ，化学题的编号为 ，生物题的编号为 .
20．某校计划面向高一年级1 200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类、自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人．在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人．
附： ，其中n＝a＋b＋c＋d.
0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）分别计算抽取的样本中男生、女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类的学生人数；
（2）依据抽取的180名学生的调查结果，完成以下2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？
选择自然科学类 选择社会科学类 合计
男生
女生
合计
21．已知向量 ， .
（1）求向量 、 的夹角的大小；
（2）确定实数 的值，使 .
22．如图，已知 是平行四边形 所在平面外一点， 、 分别是 、 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ，求异面直线 与 所成的角.
23．第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项．来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．军运会召开前，为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民．武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：
组别 （30，40） （40，50） （50，60） （60，70） （70，80） （80，90） （90，100）
频数 5 30 40 50 45 20 10
（1）若此次问卷调查得分X整体服从正态分布 ，用样本来估计总体，设 ， 分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），
①求 的值；
②经计算 ，求 的值．
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于 的可以获得1次抽奖机会，得分不低于 的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品 的概率为 ；抽中价值为30元的纪念品 的概率为 ，现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记 为他参加活动获得纪念品的总价值，求 的分布列和数学期望．
附：若 ，则 ， ． ．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】因为 ，所以 ，即
故答案为：C
【分析】由排列数以及组合数公式代入数值计算出结果即可。
2．【答案】B
【解析】【解答】 ，再利用奇函数的定义，
则 为奇函数，
所以 ，
所以 -2。
故答案为：B。
【分析】利用导数的加减法运算法则求出导函数，再利用奇函数的定义判断出导函数 为奇函数，再利用奇函数的定义求出的值。
3．【答案】D
【解析】【解答】因为 ，代入数值得： ；
又因为 ，所以 ，则 或 ；
当 时， ；
当 时， .
所以 或 .
故答案为：D.
【分析】先选用正弦定理求解 的大小，再根据 的内角和为 即可求解 的大小.
4．【答案】A
【解析】【解答】 ，当 趋于0时， 趋于-4t，故物体在t=1.2s末的瞬时速度为-4.8m/s.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合平均速度和瞬时速度的关系，再利用极限的方法求出物体在t=1.2s末的瞬时速度。
5．【答案】B
【解析】【解答】数列{8n-1}的最小项为a1=8×1-1=7．
故答案为：B．
【分析】由已知条件对n赋值，由此计算出结果即可。
6．【答案】C
【解析】【解答】根据题意，5个同学分4组，其中一组有2名同学，共有种不同的分组方法，
再安排4组同学去4个不同的村子，共有种不同的安排方法，
由分步乘法计数原理可得，
故答案为：C.
【分析】先5人分成4组，其中一组2人，再分配到4个不同的村子即可.
7．【答案】C
【解析】【解答】如图所示：
A. 因为，且，，共面，故，，不能作为基底，A不符合题意；
B. 因为=+，且 ，，共面，故，，不能作为基底，B不符合题意；
C. 因为，，不共面，故，，可以作为基底，C符合题意；
D. 因为，，共面，且，故，，共面，所以，，不能作为基底，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据正方体的性质，结合空间基底的定义和判定方法，逐项判定，即可求解.
8．【答案】B
【解析】【解答】因为，所以，
又 ，
所以两平行线之间的距离 ，
故答案为：B
【分析】根据题意由两条平行直线间的距离公式，代入数值计算出结果即可。
9．【答案】D
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
解得 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的运算法则和数量积的坐标表示，从而求出实数 的值 。
10．【答案】C
【解析】【解答】由椭圆 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆的焦点为 ，
故答案为：C
【分析】利用椭圆的标准方程可知 ，进而求出 即可求解.
11．【答案】B,C
【解析】【解答】A. 当 时， ，则 的最小值不为4，所以A不正确.
B. 当 时，
当且仅当 ，即 时取得等号，所以 ，B符合题意.
C. 当 时，
当且仅当 ，即 时取得等号，所以 ，C符合题意.
D. 当 时，
当且仅当 ，即 时取得等号，所以等号不成立，即 ，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】根据题意由基本不等式即可求出当时，函数f(x)的最小值为4，即当函数的最大值为-4 ，由此即可判断出正确答案。
12．【答案】A,B
【解析】【解答】由题意知： ， ， ，
事件 与 是独立事件，A符合题意；
事件 与 不能同时发生， 与 是互斥事件，B符合题意；
点数为 时，既不属于事件 ，也不属于事件 ， 事件 与 不是对立事件，C不符合题意；
事件 是“点数为 点”， ，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】利用已知条件结合独立事件、互斥事件、对立事件的定义，再结合事件间的关系，哦测找出正确的选项。
13．【答案】0
【解析】【解答】，，
由已知，，即，解得
故答案为：0
【分析】首先由向量的坐标公式以及共线向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
14．【答案】
【解析】【解答】解：因为p：“ x0∈R，x02－x0＋a＜0”为真命题，
所以有解，
令，则，
所以，
故答案为：
【分析】 由命题p：“ x0∈R，x02－x0＋a＜0”为真命题，可得有解，令，根据二次函数的性质可求出a的取值范围.
15．【答案】
【解析】【解答】因为，即
则在轴上的截距为
故答案为：
【分析】由题意利用直线的截距的定义，可求出答案.
16．【答案】π
【解析】【解答】解：由 ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
则f(x)在 单调递减，
所以 .
故答案为： .
【分析】利用导数，判断函数f(x)的单调性，可得结果.
17．【答案】i
【解析】【解答】由题意可得： .
故答案为：i.
【分析】根据题意利用复数的除法运算求解.
18．【答案】（1）解：当 时， ， ，
解得 ，所以集合 ，
（2） ，
，
因为 是 的必要条件，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为
【解析】【分析】(1)根据题意由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，由此得出不等式的解集即可。
(2)首先由一元二次不等式的解法求解诶出集合A与B，然后由必要条件的定义结合不等式即可得到关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
19．【答案】解： 利用计算器的随机函数RANDI(1，15)产生3个不同的1～15之间的整数随机数(如果有一个重复，则重新产生一个)；再利用计算器的随机函数RANDI(16，35)产生3个不同的16～35之间的整数随机数(如果有一个重复，则重新产生一个)；再用计算器的随机函数RANDI(36，47)产生2个不同的36～47之间的整数随机数(如果有一个重复，则重新产生一个)，这样就得到8道题的序号．
【解析】【分析】利用随机数在每个区间取数，即可得出答案。
20．【答案】（1）解：由条件知，抽取的男生 人，女生 人．男生选择社会科学类的频率为 ，女生选择社会科学类的频率为 ．
由题意，男生总数为 人，女生总数为 人
所以，估计选择社会科学的人数为 人．
（2）解：根据统计数据，可得列联表如下：
选择自然科学类 选择社会科学类 合计
男生 60 45 105
女生 30 45 75
合计 90 90 180
所以，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关．
【解析】【分析】(1)首先根据题意计算抽取的男生与女生人数，根据分层抽样原理求出对应男生、女生人数；
(2)根据统计数据，填写列联表，计算观测值，比较临界值得出结论．
21．【答案】（1）解：由平面向量数量积的坐标运算可得 ，
因为 ，故 ；
（2）解： ， ，
因为 ，故 ，解得 .
【解析】【分析】(1)首先由夹角的是两家公司代入数值计算出的值，然后由夹角的取值范围即可求出夹角的大小。
(2)由已知条件即可得出和的坐标，结合数量积的坐标公式计算出结果即可。
22．【答案】（1）证明：取 的中点为 ，连接 、 ，
因为四边形 为平行四边形，则 且 ，
为 的中点，则 且 ，
、 分别为 、 的中点，则 且 ，
且 ，故四边形 的平行四边形，所以， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
（2）解：由（1）可知 即为 与 所成的角．
∵ ， 为 的中点， ．
，
，故 ，因此，异面直线 与 所成的角为 .
【解析】【分析】 (1)根据线面平行的判定定理，结合已知条件进行证明即可。
(2)根据异面直线的定义求出异面直线所成的角，再结合三角形中的几何计算关系代入数值计算出结果即可。
23．【答案】（1）解：①由已知频数表得： ，
②则 服从正态分布 ，所以
（2）解：显然， ，所以所有 的取值为15，30，45，60，
， ，
， ，
所以 的分布列为：
15 30 45 60
所以
【解析】【分析】(1)由已知的频数分布表即可求出进而得出X服从正态分布，结合正态分布的公式即可求出结果。
(2)根据题意即可得出Y的取值，再由概率的公式求出对应的Y的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
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2024年单招数学考前复习题二
一、单选题
1．若 ，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．若函数 满足 ，则 （ ）
A．-1 B．-2 C．0 D．1
3．在 中， 则 （ ）
A．105° B．60° C．15° D．105°或15°
4．如果某物体的运动方程为s=2(1-t2)(s 的单位为m，t的单位为s)，那么它在1.2 s末的瞬时速度为（ ）
A．-4.8 m/s B．-0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s
5．数列{8n-1}的最小项等于（ ）
A．-1 B．7 C．8 D．不存在
6．江宁为“六代豪华”之地、“十朝京畿”要地，享有“天下望县、国中首善之地”的美誉．江宁区的美丽乡村示范区按照“一村一品、一村一景、一村一业、一村一韵”要求，打造了十大美丽乡村，其中黄龙规村、大塘金村、周村、石塘村全国有名．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学前往以上四个村考察乡村文化，每一位同学只去一个村，每个村至少去一人，则所有的安排方案总数为（ ）
A．96 B．480 C．240 D．120
7．在长方体中，可以作为空间向量一个基底的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
8．平行直线与之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．椭圆 的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．已知函数 ，则（ ）
A． 的最小值为4
B．当 时，有
C．当 时，有
D．当 时， 的最小值是4
12．掷一枚骰子，记事件 表示事件“出现奇数点”，事件 表示事件“出现4点或5点”，事件 表示事件“点数不超过3”，事件 表示事件“点数大于4”，则（ ）
A．事件 与 是独立事件 B．事件 与 是互斥事件
C．事件 与 是对立事件 D．
三、填空题
13．已知，，若直线l的方向向量与直线AB的方向向量平行，则 .
14．已知p：“ x0∈R，x02－x0＋a＜0”为真命题，则实数a的取值范围是 ．
15．直线在轴上的截距为 .
16．函数在区间上的最大值为 ．
17．若复数，则 .
四、解答题
18．已知 ： ， ： ，
（1）若 求集合 ；
（2）如果 是 的必要条件，求实数 的取值范围.
19．一个学生在一次竞赛中要回答 道题是这样产生的：从 道物理题中随机抽取 道；从 道化学题中随机抽取 道；从 道生物题中随机抽取 道.使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为 ，化学题的编号为 ，生物题的编号为 .
20．某校计划面向高一年级1 200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类、自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人．在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人．
附： ，其中n＝a＋b＋c＋d.
0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）分别计算抽取的样本中男生、女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类的学生人数；
（2）依据抽取的180名学生的调查结果，完成以下2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？
选择自然科学类 选择社会科学类 合计
男生
女生
合计
21．已知向量 ， .
（1）求向量 、 的夹角的大小；
（2）确定实数 的值，使 .
22．如图，已知 是平行四边形 所在平面外一点， 、 分别是 、 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ，求异面直线 与 所成的角.
23．第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项．来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．军运会召开前，为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民．武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：
组别 （30，40） （40，50） （50，60） （60，70） （70，80） （80，90） （90，100）
频数 5 30 40 50 45 20 10
（1）若此次问卷调查得分X整体服从正态分布 ，用样本来估计总体，设 ， 分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），
①求 的值；
②经计算 ，求 的值．
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于 的可以获得1次抽奖机会，得分不低于 的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品 的概率为 ；抽中价值为30元的纪念品 的概率为 ，现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记 为他参加活动获得纪念品的总价值，求 的分布列和数学期望．
附：若 ，则 ， ． ．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】因为 ，所以 ，即
故答案为：C
【分析】由排列数以及组合数公式代入数值计算出结果即可。
2．【答案】B
【解析】【解答】 ，再利用奇函数的定义，
则 为奇函数，
所以 ，
所以 -2。
故答案为：B。
【分析】利用导数的加减法运算法则求出导函数，再利用奇函数的定义判断出导函数 为奇函数，再利用奇函数的定义求出的值。
3．【答案】D
【解析】【解答】因为 ，代入数值得： ；
又因为 ，所以 ，则 或 ；
当 时， ；
当 时， .
所以 或 .
故答案为：D.
【分析】先选用正弦定理求解 的大小，再根据 的内角和为 即可求解 的大小.
4．【答案】A
【解析】【解答】 ，当 趋于0时， 趋于-4t，故物体在t=1.2s末的瞬时速度为-4.8m/s.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合平均速度和瞬时速度的关系，再利用极限的方法求出物体在t=1.2s末的瞬时速度。
5．【答案】B
【解析】【解答】数列{8n-1}的最小项为a1=8×1-1=7．
故答案为：B．
【分析】由已知条件对n赋值，由此计算出结果即可。
6．【答案】C
【解析】【解答】根据题意，5个同学分4组，其中一组有2名同学，共有种不同的分组方法，
再安排4组同学去4个不同的村子，共有种不同的安排方法，
由分步乘法计数原理可得，
故答案为：C.
【分析】先5人分成4组，其中一组2人，再分配到4个不同的村子即可.
7．【答案】C
【解析】【解答】如图所示：
A. 因为，且，，共面，故，，不能作为基底，A不符合题意；
B. 因为=+，且 ，，共面，故，，不能作为基底，B不符合题意；
C. 因为，，不共面，故，，可以作为基底，C符合题意；
D. 因为，，共面，且，故，，共面，所以，，不能作为基底，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据正方体的性质，结合空间基底的定义和判定方法，逐项判定，即可求解.
8．【答案】B
【解析】【解答】因为，所以，
又 ，
所以两平行线之间的距离 ，
故答案为：B
【分析】根据题意由两条平行直线间的距离公式，代入数值计算出结果即可。
9．【答案】D
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
解得 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的运算法则和数量积的坐标表示，从而求出实数 的值 。
10．【答案】C
【解析】【解答】由椭圆 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆的焦点为 ，
故答案为：C
【分析】利用椭圆的标准方程可知 ，进而求出 即可求解.
11．【答案】B,C
【解析】【解答】A. 当 时， ，则 的最小值不为4，所以A不正确.
B. 当 时，
当且仅当 ，即 时取得等号，所以 ，B符合题意.
C. 当 时，
当且仅当 ，即 时取得等号，所以 ，C符合题意.
D. 当 时，
当且仅当 ，即 时取得等号，所以等号不成立，即 ，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】根据题意由基本不等式即可求出当时，函数f(x)的最小值为4，即当函数的最大值为-4 ，由此即可判断出正确答案。
12．【答案】A,B
【解析】【解答】由题意知： ， ， ，
事件 与 是独立事件，A符合题意；
事件 与 不能同时发生， 与 是互斥事件，B符合题意；
点数为 时，既不属于事件 ，也不属于事件 ， 事件 与 不是对立事件，C不符合题意；
事件 是“点数为 点”， ，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】利用已知条件结合独立事件、互斥事件、对立事件的定义，再结合事件间的关系，哦测找出正确的选项。
13．【答案】0
【解析】【解答】，，
由已知，，即，解得
故答案为：0
【分析】首先由向量的坐标公式以及共线向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
14．【答案】
【解析】【解答】解：因为p：“ x0∈R，x02－x0＋a＜0”为真命题，
所以有解，
令，则，
所以，
故答案为：
【分析】 由命题p：“ x0∈R，x02－x0＋a＜0”为真命题，可得有解，令，根据二次函数的性质可求出a的取值范围.
15．【答案】
【解析】【解答】因为，即
则在轴上的截距为
故答案为：
【分析】由题意利用直线的截距的定义，可求出答案.
16．【答案】π
【解析】【解答】解：由 ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
则f(x)在 单调递减，
所以 .
故答案为： .
【分析】利用导数，判断函数f(x)的单调性，可得结果.
17．【答案】i
【解析】【解答】由题意可得： .
故答案为：i.
【分析】根据题意利用复数的除法运算求解.
18．【答案】（1）解：当 时， ， ，
解得 ，所以集合 ，
（2） ，
，
因为 是 的必要条件，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为
【解析】【分析】(1)根据题意由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，由此得出不等式的解集即可。
(2)首先由一元二次不等式的解法求解诶出集合A与B，然后由必要条件的定义结合不等式即可得到关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
19．【答案】解： 利用计算器的随机函数RANDI(1，15)产生3个不同的1～15之间的整数随机数(如果有一个重复，则重新产生一个)；再利用计算器的随机函数RANDI(16，35)产生3个不同的16～35之间的整数随机数(如果有一个重复，则重新产生一个)；再用计算器的随机函数RANDI(36，47)产生2个不同的36～47之间的整数随机数(如果有一个重复，则重新产生一个)，这样就得到8道题的序号．
【解析】【分析】利用随机数在每个区间取数，即可得出答案。
20．【答案】（1）解：由条件知，抽取的男生 人，女生 人．男生选择社会科学类的频率为 ，女生选择社会科学类的频率为 ．
由题意，男生总数为 人，女生总数为 人
所以，估计选择社会科学的人数为 人．
（2）解：根据统计数据，可得列联表如下：
选择自然科学类 选择社会科学类 合计
男生 60 45 105
女生 30 45 75
合计 90 90 180
所以，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关．
【解析】【分析】(1)首先根据题意计算抽取的男生与女生人数，根据分层抽样原理求出对应男生、女生人数；
(2)根据统计数据，填写列联表，计算观测值，比较临界值得出结论．
21．【答案】（1）解：由平面向量数量积的坐标运算可得 ，
因为 ，故 ；
（2）解： ， ，
因为 ，故 ，解得 .
【解析】【分析】(1)首先由夹角的是两家公司代入数值计算出的值，然后由夹角的取值范围即可求出夹角的大小。
(2)由已知条件即可得出和的坐标，结合数量积的坐标公式计算出结果即可。
22．【答案】（1）证明：取 的中点为 ，连接 、 ，
因为四边形 为平行四边形，则 且 ，
为 的中点，则 且 ，
、 分别为 、 的中点，则 且 ，
且 ，故四边形 的平行四边形，所以， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
（2）解：由（1）可知 即为 与 所成的角．
∵ ， 为 的中点， ．
，
，故 ，因此，异面直线 与 所成的角为 .
【解析】【分析】 (1)根据线面平行的判定定理，结合已知条件进行证明即可。
(2)根据异面直线的定义求出异面直线所成的角，再结合三角形中的几何计算关系代入数值计算出结果即可。
23．【答案】（1）解：①由已知频数表得： ，
②则 服从正态分布 ，所以
（2）解：显然， ，所以所有 的取值为15，30，45，60，
， ，
， ，
所以 的分布列为：
15 30 45 60
所以
【解析】【分析】(1)由已知的频数分布表即可求出进而得出X服从正态分布，结合正态分布的公式即可求出结果。
(2)根据题意即可得出Y的取值，再由概率的公式求出对应的Y的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
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