18.(本小题满分12分)某在建小区为了提高绿化率，创造更美好的生活环境，计划再建
一个花坛.其设计如图所示，已知BD=CD=20米，∠BDC=60°
(1)若AC⊥CD,AC=15V3,求AB边的长：
B
(2)若∠BAC=120°，求花坛面积的最大值.
D
19.(本小题满分12分)如图(1)所示，在△ABC中，AB=4,BC=2,∠B=60°，DE
垂直平分AB.现将△ADE沿DE折起，使得二面角A-DE-B大小为60°，得到如图
(2)所示的四棱锥P-BCED.
(1)求证：平面PBD⊥平面BCED;
(2)若点Q为PE一动点，且P0=PE(0<2<),当锐二面角B-D0-E余弦值为时，
求四棱锥Q-BCED的体积.
B
图(1)
图(2)
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax+lnx+1,g()=xe-2r.
(1)若f(x)的极大值为1，求实数a的值：
(2)若a=-1,求证：(x)≤g(x)
高三数学试卷第5页（共6页）
21.（本小题满分12分)已知正项递增等比数列{an}满足a1,a是方程x2-10x+16=0
的两根.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)数列{Cn}依次为：a,b,a2,b2,b,a,b4,b,b6,a4,b,b,b,bo,
a5…,规律是在a.和a1中间插入k项，所有插入的项构成以3为首项，2为公差
的等差数列色n},求数列{cn}的前60项的和
22.(本小题满分12分)已知椭圆℃：名+上
点=a>6>0)的离心率为，左、省顶
2
点分别为A,B,圆O:x2+y=2与x轴正半轴交于点E,圆O在点E处的切线被椭
圆C截得的弦长为√2.
(1)求C的方程：
(2)设椭圆C上两点M,N满足直线AM与BN在y轴上的截距之比为1：3，试判断直
线MN是否过定点，并说明理由.
高三数学试卷第6页（共6页）2023 ~2024 学年度上学期期末
新洲区部分学校高中三年级质量检测
数学试卷参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．B 7．D 8．A
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9．BD 10．ABD 11．ACD 12．BD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分．
13． 3, 5 14．7 15． 16 17．
3 3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10分）
【详解】（1）∵ f x 是定义在 1,1 上的奇函数，则 f x f x 在 1,1 上恒成立，
mx n mx n
即 2 在 1,12 上恒成立，则 n 0，---------------------------------------------3 分x 1 x 1
所以 f x mx ，又因为 f 1 12 ，得m 2，所以m 2， n 0．---------------------5 分x 1
2x
（2）由（1）知， f x 2 ．因为 f x 是定义在 1,1 上的奇函数，---------------6 分x 1
所以由 f a 1 f a2 1 0，得 f a 1 f 1 a 2 ，-----------------------------------------7 分
设 x1， x2 1,1 且 x1 x2，则
2x x2 1 2x x2 1
2x1 2x2 1 2 2 1 2f x f x x2 x1 x1x2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ，------------8 分x1 1 x2 1 x1 1 x2 1 x1 1 x2 1
∵ 1 x1 x2 1 0，∴ x2 x1 0， x1x 1 0 x2 22 ， 1 1 x2 1 0，
高三数学答案 第 1 页（共 6 页）
{#{QQABRQIEogAgQhAAAAhCEwVoCAMQkBGACCoOwAAAMAAAyRFABAA=}#}
∴ f x1 f x2 0，∴ f x1 f x2 ，∴ f x 在 1,1 上是增函数．----------------9 分
1 a 1 1 0 a 2
2 2
所以 1 a 1 1，即 0 a 2，解得0 a 1．故实数 a的取值范围是 0,1 ----10分
a 1 1 a 2 2 a 1
18．（本小题满分 12分）
【详解】（1）连接 BC，因为BD CD， BDC 60 ，
所以△BCD是等边三角形，所以 BC 20， BCD 60 ，而 AC CD，
所以在 ABC中， ACB 30 ， AC 15 3，--------------------------------------------3 分
由余弦定理得 AB2 BC 2 AC 2 2BC AC cos ACB，
即 AB2 202 (15 3)2 3 2 20 15 3 175，所以 AB 5 7 米．------------------6 分
2
AB BC
（2）在 ABC中，设 ACB (0 )，由正弦定理得 ，
3 sin ACB sin BAC
AB 20 40 3
即 ，所以
sin sin 120 AB sin
米，---------------------------------------------7 分
3
S 1 1 3所以 四边形 ABCD s ABC s BCD AB BC sin ABC 20 20 2 2 2
1 20 40 3 sin sin( ) 100 3
2 3 3
400 3 ( 3 sin cos 1 sin 2 ) 100 3
3 2 2
200 3 ( 3 sin 2 1 cos 2 ) 200 3
3 2 2 3
200 3 sin( 2 ) 200 3 -------------------------------------------------------------------10分
3 6 3
因为 0,
π 5
3 ，
2 ( , )所以当 时，四边形 ABCD 面积取得最大值
6 6 6 6
400 3 400 3
，即花坛面积的最大值为 平方米．-------------------------------------------12分
3 3
19．（本小题满分 12分）
高三数学答案 第 2 页（共 6 页）
{#{QQABRQIEogAgQhAAAAhCEwVoCAMQkBGACCoOwAAAMAAAyRFABAA=}#}
【详解】（1）因为 AB 4， BC 2， B=60 ，所以由余弦定理得
AC 2 3 ，于是 BC 2 AC 2 AB 2 ，从而 C ，DC BC 22
因为DE垂直平分 AB，所以DE PD,DE BD，
又 PD BD D， PD,BD 平面 PDB，
所以DE 平面 PDB，又因为DE 平面 BCED，
所以平面 PDB 平面 BCED ---------------------------------------------------------------------------4分
（2）由（1）知 PDB为平面PDE与平面 BCED的二面角的平面角，故 PDB ----5分3
又PD BD，所以△PDB为等边三角形，
取 BD中点O ，连接PO,OC ，则 PO BD,OC BD，
所以 POC为二面角 P BD C的平面角，又面 PDB 面 BCED，所以 PO OC -----------6 分
以{OB,OC,OP}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系O xyz，
则 B (1,0,0), D ( 1,0,0),C (0, 3,0), P (0,0, 3 ), E ( 1, 2 3 ,0)，
3
设Q(x1, y1, z
2 3
1)，由 PQ PE(0 1)得 (x1 , y1 , z1 3) ( 1, , 3)，3
x1
y 2 3所以 1 ，得Q ( ,
2 3
, 3 3 )
3 3
z1 3 3
2 3
所以 BQ ( 1, , 3 3 )，
3 BD ( 2,0,0)
-------------------------------------8 分
设平面 BDQ 的一个法向量为m (x, y , z)，由
m
BQ 0 x( 1) 2 3 y ( 3 3 )z 0 x 0, y 2 3 令 3，则 z ，
m BD 0
1
2x 0
m 2 (0,3, ) ----------------------------------------------------------------------------------------9 分
1
设平面 EDQ 的一个法向量为 n (a ,b, c)，同理可求 n ( 3,0,1) --------------------10分
高三数学答案 第 3 页（共 6 页）
{#{QQABRQIEogAgQhAAAAhCEwVoCAMQkBGACCoOwAAAMAAAyRFABAA=}#}
m n 2
2 1 2
于是 3 2 8 4 0
2
或 （2 舍）
5 2 5 3 ----11分m n 2 9 4
( 1)2
2
所以 PQ PE 1 1 1，故VQ BCED VP BCED S四边形BCED PO
3 1
2 2 2 3 4 ，
3 3 3 3 9 2 3 9
所以四棱锥Q BCED
4
的体积为 ----------------------------------------------------------------12分
9
20．（本小题满分 12分）
' 1 ax 1
【详解】：（1）函数定义域为 0, ，f (x) a ，当 a 0时，f (' x) 0，f (x)
x x
在 0, 上递增，函数无极值；当 a 0时，由 f (' 1x) 0得0 x ，由 f (' x) 0得
a
x 1 1 1 1 ，所以 f (x)在 (0, )上递增，在 ( , )上递减，故当 x 时， f (x)的
a a a a
1 1 1
极大值为 f ( ) ln( ) 1，所以a ．------------------------------------------------4 分
a a e
（2）当 a 1时， f (x) ln x x 1故要证 f (x) g(x)，即证 xex x ln x 1 0．
令F(x) xex x ln x 1，则 F x x 1 e x 1 1 x 1 e x 1 ， x 0．------5 分x x
G x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1令 e x 0 ，G x e x 1 e x x x2 x 2 e x2
0,
得到G x 在 0, 上单调递增，又因为G 1 2 e 1 0 G 1 3， e 2 0
2 2
1
所以 x
1
0 ,1
G x 0 ex0 ，使得 0 ，即 x ---------------------------------------------------7 分 2 0
所以当 x 0, x0 时，G x 0，当 x x0 , 时，G x 0，
所以 F x 在 0, x0 上单调递减，在 x0 , 上单调递增，
所以 F x F x x ex0 xmin 0 0 0 ln x0 1，-------------------------------------------------------9 分
高三数学答案 第 4 页（共 6 页）
{#{QQABRQIEogAgQhAAAAhCEwVoCAMQkBGACCoOwAAAMAAAyRFABAA=}#}
ex 10又因为 x ，即
x0 ln x0，
0
所以F x 1 x0 x0 1 0min ，--------------------------------------------------------------------11分
所以F(x) 0，即 xex x ln x 2 0，故 f x g x 得证．-------------------------12分
21．（本小题满分 12分）
【详解】（1）设 an 的公比为 q，则由 a1， a3是方程 x2 10x 16 0的两根得
a1 a3 10 a2 4 ，所以 a2q 4q 102 ，-----------------------3分
a1a3 16 a2 16 a2 4 q q
即 2q2 5q 2 0．
解得 q 1= 2或 q ．又因为 an 为递增等比数列，所以 q = 2， a 2．所以2 1
an a q
n 1 2n1 ．------------------------------------------------------------------------------------6 分
（2）因为所有插入的项构成以 3为首项，2为公差的等差数列，由于
1 2 3 4 5 6 7 8 9 45， 45 9 55 60，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55，55 10 65 60 ------------------------------8 分
因此数列 cn 的前 60项中含有{an}的前 10项，含有 bn 中的前 50项，-------------10分
2(1 210 ) 50 49 2
所求和为 3 50 4646．-----------------------------------------12分
1 2 2
22．（本小题满分 12分）
c 3
【详解】（1）由 e a2 4b2，又圆O：x2 y2 2与 x轴正半轴交于点 E，
a 2
圆O在点 E 2处的切线被椭圆C截得的弦长为 2 ，所以点 ( 2, )在椭圆C上，所以
2
1
2 2 12 ，即 1，又 a2 4b2 ，所以b2 1,a2
2 2 1 2 2
4，故C的方程为
a b a 2b
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{#{QQABRQIEogAgQhAAAAhCEwVoCAMQkBGACCoOwAAAMAAAyRFABAA=}#}
x2
y2 1．-----------------------------------------------------------------------------------------4分
4
（2）设 lAM : y t(x 2)，故由截距之比为1: 3，可设 lBN : y 3t(x 2)，
y t(x 2)
由 x2 2 ，消元得 (4t
2 1)x2 16t 2x 16t 2 4 0，-----------------------------6 分
y 1 4
16t 2 4 8t 2 2 4t
所以 xAxM ，故 x ，从而 y4t 2 1 M 4t 2 1 M
2 ---------------------------7 分 4t 1
y 3t(x 2)
由 x2 ，消元得 (36t 2 1)x2 144t 2x 144t 2 4 0，
y
2 1
4
x x 144t
2 4 72t 2 2 y 12t所以 B N ，故 xN ，从而 N 2 -------------------------8 分36t 2 1 36t 2 1 36t 1
2 2
故M ( 8t 22 ,
4t
2 )
72t 2 12t
， N ( , )，
4t 1 4t 1 36t 2 1 36t 2 1
若直线MN过定点，根据对称性可知定点落在 x轴上，设定点为 P x0 ,0 ，
4t 12t
4t 2k k 1 36t
2 1
则 PM PN 2 2 ，-----------------------------------------------10分2 8t
x 72t 2 x
4t 2 1 0 36t 2 1 0
4t 12t
即 2 8t 2 x 2 20 (4t 1) 72t 2 x0 (36t
2 1) ，所以
3 24t 2 3x (4t 20 1) 72t
2 2 x0 (36t
2 1)化简可得 (x0 4)(12t
2 1) 0，---11分
故 x0 4 0，解得 x0 4，即直线MN 过定点 (4,0) .--------------------------------------12分
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{#{QQABRQIEogAgQhAAAAhCEwVoCAMQkBGACCoOwAAAMAAAyRFABAA=}#}
