涟源市2023-2024学年高一上学期1月期末考试
数学试题
吋间：120分钟；满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 若，且为第一象限角，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
4. 若，则的最小值为
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5. 已知命题，，则命题的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C D.
8.甲、乙分别解关于x的不等式．甲抄错了常数b，得到解集为；乙抄错了常数c，得到解集为．如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，那么原不等式解集应为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，毎小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知实数，其中，则下列关系中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图像恒过定点
B. 是的充分不必要条件
C. 函数的最小正周期为
D. 函数的最小值为
11. 若，，则（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知函数则以下说法正确的是（ ）
A. 若，则是上的减函数
B. 若，则有最小值
C. 若，则的值域为
D. 若，则存在，使得
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 。
14. 已知，则______________.
15. 已知扇形的圆心角为,弧长为,则该扇形的面积为__________.
16. 某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图2）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），则绿化花园总造价S的最小值为______元．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题10分） 计算：
（1）；
（2）求函数f(x)＝＋的定义域。
18. （本题12分）已知．
（1）求的值；
（2）已知，求的值．
19. （本题12分）已知函数，其中且.
（1）判断的奇偶性；
（2）若，解关于x的不等式.
20. （本题12分）已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最小值及单调减区间.
21. （本题12分）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低多少元？
（2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？
22. （本题12分）已知函数是定义在上奇函数，当时，．
（1）求的值；
（2）求在上的解析式；
（3）若函数有零点，求实数的取值范围．涟源市2023-2024学年高一上学期1月期末考试
数学试题
参考答案
吋间：120分钟；满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. A
2. C.
3. A.
4. A.
5. B.
6. D.
7. A.
8.A.
二、多项选择题：本题共4小题，毎小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. A. C.D.
10. A. B. C.
11. A. C.D.
12. A.B. C.
三、填空题：本大题井4小题，每小题5分，共20分.
13. 。【答案】3
14. 已知，则______________.【答案】3
15. 已知扇形的圆心角为,弧长为,则该扇形的面积为__________. 【答案】
16. 某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图2）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），则绿化花园总造价S的最小值为______元．
【答案】1440
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算：
（1）；
（2）求函数f(x)＝＋的定义域。
【答案】（1）- （2）
18. 已知．
（1）求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1） （2）
【解析】【小问1详解】
解：由诱导公式得，所以．
【小问2详解】
由（1）得，又，即，
所以．
19. 已知函数，其中且.
（1）判断的奇偶性；
（2）若，解关于x的不等式.
【答案】（1）奇函数 （2）
【解析】【小问1详解】
因为的定义域关于原点对称，
因为，所以为奇函数；
【小问2详解】
当时，由可得，
所以，故，故不等式的解集为．
20. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最小值及单调减区间.
【答案】（1）最小正周期为；（2）；的单调递减区间为.
【解析】【详解】(1)
.所以的最小正周期为.
(2)因为，所以，
所以当，即时，函数取得最小值.
由，得，所以函数的单调递减区间为.
21 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低多少元？
（2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？
【答案】（1）该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元；
（2）该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．
【解析】【小问1详解】
该单位每月的月处理成本：
，
因，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
从而得当时，函数取得最小值，即.
所以该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元.
【小问2详解】
由题意可知：，
每吨二氧化碳的平均处理成本为：
当且仅当，即时，等号成立.
所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．
22. 已知函数是定义在上奇函数，当时，．
（1）求的值；
（2）求在上的解析式；
（3）若函数有零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）1 （2） （3）
【解析】【小问1详解】由于函数是定义在上的奇函数，
所以.验证成立
【小问2详解】由（1）得，当时，，
所以，
所以
【小问3详解】函数有零点等价于方程有根，
分离参数得，原问题等价于与的图象有公共点，
所以求k的范围，即求函数的值域，
记，即，
①当时，显然在上单调递减，所以，
所以时，，
②当时，令，则，记，，
因为对称轴，所以在上单调递增，
所以，即，
所以时，，
综上所述，的值域为，
所以当时，函数有零点．
