遵义市 2023 ~ 2024学年度第一学期期末质量监测高二数学
参考答案
一、选择填空题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A D C B C A B AD AC BD ABD
5
13. 14.0.94 15. 1 16. 23
2 3
选择填空解析
1.【答案】D
【解析】 z zi 1 i 1 i i 2 2i 2 2
2. 【答案】A
3
【解析】直线 l的倾斜角为 ，由点斜式知：
6 y 0 (x 1)，化简得 x 3y 1 03
3. 【答案】D
解析：如果m n，m ， n / / ，那么 或 // 或 与 相交，即 A 错；
如果m ， n ，m // ,n // ，那么 或 // 或 与 相交，即 B 错；
如果m ， n ，m、n是异面直线，那么 n与 相交或 n // ，即 C 错；
D选项正确
4. 【答案】C
y2
【解析】因为双曲线 C: x2 0 ，所以实轴长为 2 ，焦点在 x轴上，
2 e 3
，渐
近线方程为 y 2x ，即答案选 C.
5. 【答案】B
【解析】因为A(cos ,sin )，所以点A在单位圆上。又 AB AC ，且 (0，2 ），即
5 或 ，答案选 B.
4 4
6.【答案】C
31622776
【解析】 ( pH )甲 ( pH )乙 lg lg1000.025 331622
7.【答案】A
2
【解析】由题，设C1(a,a),C2 (b,b) ,则： x a y a
2 a 2 , x b 2 y b 2 b2 ,
2 a
2 1 a 2 a 2
又圆C1与圆C2都过M 2,1 ，即 2 b 2 1 b 2 2 b
a,b 2 x 2 1 x 2 x 2 , x
2 6x 5 0,即a b 6,ab 5
所以： 是方程 的两根 整理，得：
2 2
由 C1C2 2 a b 2 a b 4ab 4 2
8.【答案】B
【解析】若a 0，f x 在R上是减函数，不存在y m与函数y f x 有两个交点
若a 0，则-a3 0, a2 0,且f x 在 a,0 是增函数，在 0，+ 上是减函数
存在y m与函数y f x 有两个交点，成立；
若a 1，则-a3 a2 ,且f x 在 - ,a 是减函数，在 a，+ 上是减函数
存在y m与函数y f x 有两个交点，成立；
1
{#{QQABRQCEggAgQhAAAQhCAwFKCgAQkAAAAAoOBBAMIAAACBNABAA=}#}
若0 a 1,则 - a3 a2 ,且f x 在 - ， 是减函数，
不存在y m与函数y f x 有两个交点
综上， a ，0 1，
9.【答案】AD
【解析】因为 E,F分别为PA,PD的中点，所以 EF / /AD
又因为底面 ABCD是菱形，所以 BC / /AD，所以 BC / /EF
所以 E,F ,B,C 四点共面，故 A 正确；
又因为直线AD不垂直直线 AB， 所 以直线EF不垂直直线 AB，
所以直线EF不垂直平面 PAB ,则EF不垂直平面PAB，故 B 不正确
5
又因为 EF / /AD，所以 EF ,DB
6
又因为 PA AB 2, ABC ,底面 ABCD是菱形，
3
所以 BD 2 3,EF 1 ,所以 EF DB EF DB COS EF ,DB 3 ,故 C 不正确
又因为底面 ABCD是菱形，所以 BD AC
又因为直线 PA 平面ABCD ,所以 BD PA ,且PA AC A
所以 BD 平面PAC ，所以直线CD与平面 PAC 所成的角为 ACD ,故 D 正确
3
10.【答案】AC
【解析】因为函数 f x 3sin 3x
2 ，所以函数 f x 的周期为T
4 3
故 A 正确
又因为 2k 3x 2k ,k Z 2k 2k ，所以 x ,k Z ，
2 4 2 3 4 3 12
所以函数 f x 在区间 , 上为增函数，在区间 , 上为减函数，故 B 不正确 4 12 12 4
k
又因为3x k ,k Z ，所以 x ,k Z ，所以直线 x 是函数 f x
4 2 3 12 12
的图像的一条对称轴，故 C 正确
又 因 为 将 函 数 g x 3sin 3x 的 图 像 向 左 平 移 个 单 位 长 度 得 到 函 数
4
h x 3sin 3 x 3sin 3x 3 4 4 的图像，故 D 不正确
11.【答案】BD
2 0
【解析】设与直线 l平行的直线为 l : x y 0，若 l 与圆C相切，则 2，
2
解得 2 2 2 ，A错； P l ，切点为M ， PC l时，切线长 PM 最短值为2，
2 0 2
B 正确；圆心 C 2,0 到直线 l : x y 2 0 的距离 d 2 2 ，由Q C ，
2
PQ PC r 2 2 2
min min ， C 错，圆心C 2,0 关于 l : x y 2 0 的对称点为
C 2,4 ，所以圆C 2 2关于直线 l的对称圆C : x 2 y 4 4，D正确.
12.【答案】ABD
2
{#{QQABRQCEggAgQhAAAQhCAwFKCgAQkAAAAAoOBBAMIAAACBNABAA=}#}
【解析】由抛物线的定义，知 AF AA1 , AA1∥ x轴， AA1F AFA1 A1FO，
同理可得 OFB1 BFB1 , A1F B1F , A选项正确；
当 AB x轴时， AB 最小，为 4， B选项正确；设直线 l的方程为 l : x my 1，联立
y2 4x
得：y2 4my 4 0，y y 4，C选项错误； OA x , y ,OB 1, y ，
x my 1
1 2 1 1 1 2
2
x1y
y y
2 y1 1 2 y1 0，D选项正确.4
5
13.【答案】
2
1
【解析】 AQ AB AD AA 51 ，所以 r s t 2 2
14.【答案】0.94
该夫妇没接到电话问候的概率为0.2 0.3 0.06，所以所求概率为1 0.06 0.94
15.【答案】1
0
【解析】由题意，在 OAF 中， OAF 90 , OA a 1, FA b, OF c，B为线段 AF
1 c2
的中点， xB c BF cos OFA ， yB BF sin OFA
b
，将点 B的坐标代
2c 2c
2 2 2
入双曲线方程：b2x2 y2 b2 b2 (1 c ) b得： b2 ，整理得：
4c2 4c2
c2 2, b 1 .
16. 23【答案】
3
【解析】由题意，三棱锥 A BCD对棱互相垂直，做点D在平面ABC内的射影G ，则
BC 平面AGD，所以 BC AG，同理：AB CG, AC BG，又 ABC为正三角形，
所以 AG BG CG ，所以 DA DB DC 3 23，易求得VD ABC ，所以三棱锥3
A BCD 23的体积为 .
3
二、解答题
17.【解析】（1）某高校共有学生 30000 人，其中女生 18000 人，则男生有 12000 人，按照
分层抽样的方法抽取 300 个样本数据，
300
则应抽取男生样本数据12000 120（个）.………………5分
30000
（2）根据频率分布直方图可知：学生每周平均体育运动时间不超过7h的频率为
2 0.025 0.100 0.150 0.125 1 0.675，所以估计该校学生每周平均体育运动时间
不超过7h的概率为0.675 .………………10 分
18.【解析】（1）∵ m ⊥ n .
∴m n = 0，即 sinB+sinC c-b + sin A b a = 0………………2 分
∴ b + c c-b + a b a = 0
化简得a2 + b2 c2 =ab………………4 分
cos C = a
2+b2 c2
又∵ ，∴cos C = 1-………………5 分
2ab 2
3
{#{QQABRQCEggAgQhAAAQhCAwFKCgAQkAAAAAoOBBAMIAAACBNABAA=}#}
又∵C 0,π ，∴C= π-………………6 分
3
(2)由题意知 C = 2 × 2 3，∴c= 2………………8 分
sin C 3
1
又∵S ABC = 3，∴ ab sin C = 32
∴ab =4………………10 分
1 a2+b2= 4又∵ ，∴a b=0
2 2ab
∴a = b = 2………………11 分
△ ABC的周长为 a+b+c=6………………12 分
19.【解析】（1）设清洗前残留的农药量为 t，清洗一次后残留的农药量为 t0 ，
t0 f x 1 1由题意得： 2 ，………………3 分t 1 x 10
解得 x 3，即至少用3个单位量的水清洗才能保证安全.………………5分
（2）设用 2个单位量的水清洗一次后残留的农药量为 t1，2个单位量的水平均分成两份，
清洗第一次后残留的农药量为 t2，清洗第二次后残留的农药量为 t3，
t
则 1 f 2 1 1 1 2 ， t1 t；………………8 分t 1 2 5 5
t2 1 1 1 t 1 1 f 1 1 即 t t 3， f 1 即 t t，………………10 分
t 1 12 2 2 2 t2 1 1
2 2 3 4
t1 t3，故用 2个单位量的水清洗一次残留的农药更少.………………12 分
20.【解析】（1）由题意得，圆C的圆心C m,m ，半径 r 2，设圆心C到直线 l的距离为
2
d 2
4 5 2 5
2m m 1
2 5，则 d 2 …………2 分，即 d …………3 分，
5 5 5 5
m 1或 3…………5分；
（2）设 P x0 , y0 ， PT 2 x 4 20 y20 4，…………7 分
点P在圆T： x 4 2 y2 4上，
题设可化为圆C与圆T 有公共点.…………8 分
0 CT 4， m 4 2 m2 4得m2 4m 0 0 m 4，…………11 分
即m的取值范围为 0，4 .…………12 分
21【. 解析】（1）连接DB，取 AD中点 E，则四边形 BCDE为平行四边形， BE 1, AE 1
BAD ABE为等边三角形， ，…………1 分
3
在 ABD中， BD2 AB2 AD2 2AB AD cos BAD BD 3…………3 分
DB AB，又平面 PAB 平面 ABCD ,交线为 AB , DB 平面PAB ,
点D到平面 PAB 的距离 d DB 3…………5分
（2）取 AB中点Q，则 PQ AB，同理可证 PQ 平面ABCD .
以 B为坐标原点建立图示坐标系，
4
{#{QQABRQCEggAgQhAAAQhCAwFKCgAQkAAAAAoOBBAMIAAACBNABAA=}#}
则 B(0,0,0)，A(0,1,0),C( 3 1， ,0),D( 3,0,0),P(0, 1 , 3 )
2 2 2 2
……………7 分
CD ( 3 , 1 ,0),PD 1 3 ( 3, , )
2 2 2 2
设平面 PAB 与平面 PCD的法向量分别为m,n，
由m 平面yOz，可取m (1,0,0)…………9 分
n CD 0
由 ,可取n ( 1, 3,3)…………11 分
n PD 0
cos m,n 1 13 ，记 为平面 PAB 与平面
1 3 9 13
PCD 13所成的角，则0 ， cos …………12 分
2 13
c 1
22.【解析】（1）由题意： a 2 ............................................2 分
(a c)b 3 3
x2 y2
又 a2 b2 c2，解得 c 1,b 3,a 2，所以椭圆C : 1...............................5 分
4 3
（2）设直线 l : y kx m(1 k 2024)，A(x1, y1),B(x2 , y2 )，线段 AB中点M (x0 , y0 )，
x2 y2
1
联立 4 3 (4k 2 3)x2 8kmx 4(m2 3) 0
y kx m
(8km)2 16(4k 2 3)(m2 3) 0 4k 2 3 m2 0
x x 8km
2
x x 4(m 3)1 2 2 ， ..........................................7 分4k 3 1 2 4k 2 3
4 3 1 k 2 4k 2 3 m2
所以 AB 1 k 2 (x x )2 4x x ............................8 分1 2 1 2 4k 2 3
y y k(x x 6m y y 3m1 2 1 2 ) 2m 2 ， y0
1 2
4k 3 2 4k 2 3
3m 1 k 2
所以 MT 1 k 2 y .........................................10 分0 4k 2 3
2 (4k 2 3)
1 6 3(1 k 2 2 2 2所以 ) m (4k 3 m ) 6 3(1 k )S AB MT 2
2 (4k 2 3)2 (4k 2 3)2
.......................................11 分
当 k 1,m2 4k 2 3 m2 k 14即 1,m 时，上式取等号。
2
6 3 14
所以 Smax ，此时 l的方程为： y x ..........................................12 分7 2
5
{#{QQABRQCEggAgQhAAAQhCAwFKCgAQkAAAAAoOBBAMIAAACBNABAA=}#}遵义市2023~2024学年度第一学期期末质量监测
高二数学
(满分：150分时间：120分钟)
注意事项：
1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的学校，姓名，班级，考号填写清楚，并在相
应位置粘贴条形码.
2.客观题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选
项；主观题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题
不给分；在试卷上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.
若z=1+i,则2+z=
A.2
B.1
C.2
D.2W2
2.已知直线1过点A(1,O),且倾斜角为直线y=√3x倾斜角的一半，则直线1的方程为
A.x-V5y-1=0
B.V3.x-2y-V3=0
C.x-/3y-/3=0
D.V3x+2y+V3=0
3.己知以，B是不同的平面，m,n是不同的直线，以下说法正确的是
A.如果m⊥n,m⊥a,n/1B,那么a⊥B
B.如果mCa,nCa,那么a∥B
C.如果mCa,n文a,,n是异面直线，那么n与a相交
D.如果m⊥a,n/1a,那么m⊥n
4.
已知双曲线C:上-x2=(几<0)，则下列说法正确的是
A.双曲线C的实轴长为定值
B.双曲线C的焦点在y轴上
C.双曲线C的渐近线方程为y=±√2x
D.双曲线C的离心率e=3
5.
已知A(cosa,sina),B(1,0,C(0,1,a∈(0,2m),若AE=AC,则a的值为
A.
B.交或刀
C.Sz
4
3环或7
D
4
4
4
6.1909年一位丹麦生物化学家提出溶液pH值，亦称氢离子浓度指数、酸碱值，是溶液中氢
离子活度的一种标度，其中p源自德语，意思是浓度，H代表氢离子.pH的定义式为：
pH=一g(H),c(H+)指的是溶液中氢离子活度.若溶液甲中氢离子活度为
31622776.60168379,溶液乙中氢离子活度为31622.77660168.则溶液甲的p1H值与溶液乙
的pH值的差约为
B.-4
3
C.-3
3
高二数学小（北4面）
7.
设两圆C,C2(圆心不重合)都与两坐标轴相切，且都过点M(2,1),则两圆圆心的距离
CC2=
A.42
B.2
c.5V2
D.82
已知函数f(x)={
-x,x≤
8.
若存在实数m,使函数g(x)=-f(x)+m有两个零点，则a
-x2,x>a
的取值范围是
A.(-oo,0)U,+o)
B.(-o,0U(1,to0)
c.（-o,-1]lU[2,+o）
D.（0,-1]U(2,+∞）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，
己知P一ABCD四棱锥的底面是菱形，PA=AB=2,∠ABC=,PAL平面ABCD,
9.b
E,F分别为PA,PD的中点，则下列结论正确的是
A.E,F,B,C四点共面
B.EF⊥平面PAB
C.EF.DB=3
D.直线CD与平面PAC所成角的大小为
3
10.已知函数f(x)=3sin
3x+
4
则下列结论正确的是
A函数f(x)的最小正周期是2
B.函数f(x)在区间
上是增函数
C.直线x=产是函数∫(x)图像的一条对称轴
12
D.函数了y)的图像可以由函数g(x)-3sin3x的图像向左平移牙个单位长度而得到
11.已知直线1：x-y+2=0,圆C:(x-2)2+y2=4,则下列结论正确的是
A.与直线1平行且与圆C相切的直线方程为x-y-2±√2=0
B.点P在直线l上，过点P作圆C的一条切线，切点为M,则PM的最小值为2
C.点P在直线1上，点2在圆C上，则P的最小值为2√2
D.若圆C与圆C关于直线1对称，则圆C的方程为：(x+2)2+(y-4)2=4
12.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线1交抛物线C于A,B两点，分别过
A,B作准线的垂线，垂足为A,B，则下列结论正确的是
A.A,F⊥BF
B.线段AB长度的最小值为4
C.若A(x,),B(x2,y2),则yy2为定值-2
D.OA∥OB
高二数学2（共4页）
