长沙市雨花区2023-2024学年高一上学期期末质量监测
数学参考答案
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1-4 BDBC 5-8 CDAD
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9、BCD 10、AB 11、BC 12、BD
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13、0 14、 15、 16、
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（1）；（5分）（2）.（10分）
18、（1）20;（6分）（2）-1（12分）
19、（1）；（4分）
（2）因为，
则在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
令，，则，函数的对称轴为，
①，即，在区间上单调递增，，则，又，；
②，即，
函数在上单调递减，在区间上单调递增，
则，
则，又，所以无解；
③，即，在区间上单调递减，
，即，又，无解；
综上所述，实数的取值范围为．（12分）
20、（1）,
的图象关于直线对称,则,解得,, ,则,
由得.
则的单调递增区间为;（6分）
（2）, , 和是的两个零点, ,
.（6分）
21、（1）当时，设，，则，
，
故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人.（6分）
（2），
①当时，，仅当时等号成立.
②当时，，
又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少.（12分）
22、（1）具有“性质”，对恒成立，是偶函数.
当时，，所以当时，
则，
由得，当时
因为是增函数，在单调递增，
所以由复合函数的单调性可知函数在上单调递增，
因此，在上的最大值为.（6分）
（2）函数具有“性质”，则，
当时，，所以当时，，
于是，
如下图所示：
若有8个不同的实数解，令，
则有两个不等的实数根，，且，，
所以，所以.
所以t的取值范围为.（12分）长沙市雨花区2023-2024学年高一上学期期末质量监测
数 学
注意事项：
1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁;
5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6、本试卷共22个小题,考试时量120分钟，满分150分。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．如图所示的Venn图中，集合A={0,1,2},，则阴影部分表示的集合是
A． B．
C． D．
2．已知一个扇形的圆心角为，半径为1，则该扇形的周长为
A．32 B． C．30 D．
3．设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为
A．[1,2]或[2,3]都可以 B．[2,3]
C．1,2] D．不能确定
4．“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或”的
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半.已知周长为12，，则此三角形面积最大时，=
A．30° B．45°
C．60° D．90°
6．已知，则的值为
A． B．-4 C． D．4
7．函数的大致图象为
A． B．
C． D．
8．如果函数在区间D上是增函数，而函数在区间D上是减函数，那么称函数是区间D上
的“缓增函数”，区间D称为“缓增区间”.若函数是区间D上的“缓增函数”，则“缓增区间”为
A． B．
C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9. 下列命题为真命题的是
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若且，则
10．下列说法正确的是
A．与表示同一函数
B．已知，若，则=-26
C．若角是第一象限角，则是第一或第二象限角
D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
11．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，下列关于函数的
说法正确的是
A．
B．关于对称
C．在区间上有644个零点
D．若在上是增函数，则的最大值为
12．函数的定义域为R，对任意的实数，满足，下列结论正确的是
A．函数在R上是单调递减函数
B．
C．
D．的解为
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数，则=________．
14．已知函数的定义域为，则的定义域为________．
15．函数在单调递增，则a的取值范围是_______．
16．已知正实数满足方程，则的最小值_______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）已知集合
．
（1）若，求A∪；
（2）若，求a的取值范围．
18．（本题满分12分）求下列各式的值：
（1）；
（2）．
19.（本题满分12分）已知函数的图象恒过定点，点又在函数的图象上．
（1）求a的值；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
20．（本题满分12分）已知函数
.
（1）若函数的图象关于直线对称，，求的值及函数单增区间；
（2）在（1）的条件下，当时，和是函数的两个零点，求的值.
21．（本题满分12分）春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，.经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为.
（1）求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；
（2）若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少
（本题满分12分）如果函数的定义域为，且存在常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”．
（1）已知具有“性质”，且当时，，求的解析式及在上的最大值；
（2）已知定义在上的函数具有“性质”，当时，．若有8个不同的实数解，求实数的取值范围．
