河南省焦作地区部分学校2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题（含解析）

焦作地区部分学校2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．设抛物线的焦点为F,直线,P为抛物线上一点,,M为垂足,如果直线MF的斜率为,那么等于( )
A. B. C. D.
2．设,则“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.不充分也不必要条件
3．已知在中,角A,B,C对边分别为a,b,c,且,,则能将全部覆盖的所有圆中,最小的圆的面积为( )
A. B. C. D.
4．已知（i是虚数单位）是关于x的方程的一个根,则( )
A.-7 B.-11 C.-19 D.
5．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑,其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体,极具对称之美.犇犇同学为了估算索菲亚教堂的高度,在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB,高约为,在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是和,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为,则犇犇估算索菲亚教堂的高度CD约为（结果保留整数）( )
A. B. C. D.
6．已知非零向量满足,则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹,先于器外的上腹施一圈红色底衬,然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成,黑线勾边,中为方形或圆形,且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长,传播范围亦广,在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形,在图2中,圆中各个三角形(如)为等腰直角三角形,点为四心,中间部分是正方形且边长为2,定点A,B所在位置如图所示,则的值为( )
A.10 B.12 C.14 D.16
8．已知复数z满足,则( )
A.i B.1 C. D.
二、多项选择题
9．若与的夹角为钝角,则x的取值可能为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10．若曲线与直线有两个交点,则实数k的取值可以是( )
A.0.3 B.0.75 C.0.8 D.0.6
11．我校111周年校庆将于2023年5.20进行,为了宣传需要,现在对我校3男3女共6名学生排队照相,则下列说法正确的是( )
A.6名学生排成两排,女生在第一排,男生在第二排,一共有720种不同的排法
B.6名学生排成一排,男生甲只能排在队伍的两端的共有120种排法
C.6名学生排成一排,男生甲,乙相邻的排法总数为240种
D.6名学生排成一排,男女生相间排法总数为72种
12．如图,某湖泊的蓝藻的面积y（单位：）与时间t（单位：月）的关系满足,则下列说法正确的是( )
A.蓝藻面积每个月的增长率为
B.蓝藻每个月增加的面积都相等
C第6个月时,蓝藻面积就会超过
D.若蓝藻面积蔓延到,,所经过的时间分别是,,则一定有
三、填空题
13．与直线相切于点的圆C过点,则圆C的半径为______.
14．的展开式中,的系数为______.
15．设向量,的夹角的余弦值为,且,,则_________．
16．已知函数,对于任意不同的,,有,则实数a的取值范围为______.
四、解答题
17．如图,长方体中,,M,N分别是AB,的中点.
（1）求证:平面;
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18．从①;②条件中任选一个,补充到下面横线处,并解答
在中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,___________.
（1）求角A;
（2）若外接圆的圆心为O,,求BC的长.
19．已知函数.
（1）当时,求证：函数在上单调递增;
（2）若函数有三个零点,求t的值.
20．某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召,大力开展“青山绿水”工程．为加强污染治理,某工厂产生的废气需经过过滤后排放,已知在过滤过程中废气中的污染物浓度P（单位：）与过滤时间t（单位：h）之间的函数关系式为（为初始浓度,k,均为正常数）．假设过滤过程中废气的体积不变．
（1）若,求过滤2h后污染物的浓度与初始浓度的比值是多少;
（2）若排放时污染物的浓度不超过初始浓度的4%,前4h的过滤过程中污染物已经被过滤掉了80%,求至少还需要过滤多少小时才能排放．
21．已知的展开式中第9项,第10项,第11项的二项式系数成等差数列.
（1）求n的值;
（2）求展开式中x的系数.
22．已知函数,,,
（1）若函数在区间的值域为,求a,b的值;
（2）令,
（i）若在上恒成立,求证：;
（ii）若对任意实数,方程恒有三个不等的实数根,求实数的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：抛物线的焦点为,设,,
由MF的斜率为得:,解得,
由于且P为抛物线上,所以,,
解得,即,所以,
故选:C.
2．答案：B
解析：由可得,由可得
所以“”是“”的必要而不充分条件
故选：B.
3．答案：B
解析：由,则,又,由正弦定理得,
由余弦定理得,又,则
设的外接圆半径为R,由正弦定理得,故,
所以能将全部覆盖的所有圆中,最小的圆即的外接圆,其面积为.
故选:B.
4．答案：A
解析：因为是关于x的方程的一个根,所以也是方程的根.
根据根与系数的关系可得
即得,
所以
故选：A.
5．答案：D
解析：由题意知：,,所以,
在中,,
在中,由正弦定理得,
所以,
在中,,
故选：D.
6．答案：B
解析：由知：,可得,
所以在方向上的投影向量为.
故选：B.
7．答案：C
解析：如图所示:连接OD,
因为中间阴影部分是正方形且边长为2,
且图中各个三角形为等腰直角三角形,
所以可得,,,
则,
.
故选:C.
8．答案：B
解析：,则,,故选B.
9．答案：ABC
解析：根据题意,若与共线,则有,
无解,即两个向量不会共线,
若与的夹角为钝角,必有,
解可得:,分析选项:,2,3符合,
故选:ABC.
10．答案：BD
解析：设直线为l,圆心为M,曲线可化为,,
所以曲线是以为圆心,2为半径的半圆,
直线l与半圆相切,C为切点时,圆心到直线l的距离,
即,解得,
直线恒过点,
当直线l过点B时,直线l的斜率为,
所以曲线与直线有两个交点,实数k的取值范围为,
故选：BD.
11．答案：CD
解析：对于A,女生在第一排则,男生在第二排则,
所以共有种不同的排法,故A不正确.
对于B,男生甲只能排在队伍的两端的共有,故B不正确;
对于C,男生甲,乙相邻,将男生甲,乙捆绑在一起有种不同的排法,
再与其他学生全排列,则种不同的排法,
所以共有种不同的排法,故C正确;
对于D,男女生相间,共有两种情况:男女男女男女,女男女男女男,
共有种不同的排法,故D正确.
故选:CD.
12．答案：ACD
解析：由图可知,函数图象经过,
即,则, ;
不是常数,则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍,则每个月的增长率为,A对、B错;
当时,,C对;
若蓝藻面积蔓延到,,所经过的时间分别是,,
则,,,则,即,则,D对;
故选：ACD．
13．答案：
解析：过点且与直线垂直的直线为,则圆心在直线上,
又圆心在线段MN的垂直平分线上,即圆心在直线上.
所以圆心坐标为,则圆的半径.
故答案为:
14．答案：30
解析： 表示5个因式的乘积,
在这5个因式中,有2个因式选y,其余的3个因式中有一个选,剩下的两个因式选,即可得到含的项,
故含的项系数是
故答案为：30.
15．答案：11
解析：设与的夹角为,因为与的夹角的余弦值为,即,
又,,所以,
所以.
故答案为：11.
16．答案：
解析：对于任意,,有,
不妨设,则,即,
设,则,
又,所以单调递增,则恒成立,
因为,
所以,令,
要使在恒成立,只需恒成立,即恒成立,
又,所以,即,
故答案为:
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接MN,如图所示,
正方形中,M,N分别是AB,的中点,
有且,所以四边形为平行四边形,则有且,
又长方体中且,则且,
所以四边形为平行四边形,得,
平面,平面,所以平面
（2）以D点为原点,,,的方向为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
不妨设,则,,,
,,
设平面的一个法向量为,则有,
令,则,即,
是平面的一个法向量,,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）选择条件①：
因为,
由正弦定理,可得,
即,所以.
因为,所以.
选择条件②：
因为
所以,即.
因为
所以
所以,.
（2）由题意,O是外接圆的圆心,所以,
所以
故此.
在中,由正弦定理,,即,解得.
19．答案：（1）利用导数法求解单调区间即可证明;
（2）
解析：(1)证明导函数在上恒大于等于零即可.
(2)把函数有三个零点,转化为方程有三个根求解,然后利用导数求出的极值,画出草图,数形结合求解即可.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）过滤2h后,,
所以污染物的浓度与初始浓度的比值是;
即污染物的浓度与初始浓度的比值是.
（2）由题意知,前4h消除了80%的污染物,
又因为,
所以,得．
设废气中污染物的浓度为初始浓度的4%时所需过滤时间为,
由,即,
得,联立,得
,所以,
故至少还需过滤才能排放．
21．答案：（1）14或23
（2）当时,的系数为364;当时,的系数为1012.
解析：（1）因为的展开式中,第9项,第10项,第11项的二项式系数成等差数列,所以,即,
化简可得,解得或.
（2）因为的展开式的通项公式为,
由（1）知,当时,,取,得到,此时展开式中x的系数为364,
当时,,取,得到,此时展开式中x的系数为1012.
22．答案：（1）,
（2）（i）证明见解析;（ii）
解析：（1）由于函数在区间单调递减,所以,
即解得
（2）（i）由题意可得,,
若在R恒成立,则在R恒成立,
即,
（ii）由题意可得,
当函数与函数的图像无交点或只有一个交点时,
方程只有一个实根,不符题意;
当函数与函数图像的两个不同交点位于对称轴的同一侧时,方程只有一个实根,不符题意;
以下求解,函数与函数图像的两个交点位于对称轴的两侧时,实数a的取值范围：
设函数图像与函数的图像交于A,B两点,
化简得,
即,解得,
所以或.
,
所以,,
即得,
当时,无解,
当时,显然成立,
所以
综上所述,.