福建省宁德市2023-2024学年高一上学期1月第四次调研考试数学试卷（含答案）

宁德市2023-2024学年第一学期
高一年级第四次调研考试数学试卷
满分：150分 时间：120分钟
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题，，则命题p的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
14．下列说法正确的是（ ）
A．某人的月收入x元不高于2000元可表示为“”
B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“”
C．变量x不小于a可表示为“”
D．变量y不超过a可表示为“”
5．已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．16 B．10 C．6 D．8
6．已知函数为奇函数，则（ ）
A．3 B．6 C． D．
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．下列各组函数中，是相同函数的是（ ）
A．，与
B．与
C．与
D．与
10．下列命题中错误的是（ ）
A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．第四象限角不一定是负角 D．钝角比第三象限角小
11．下列各式中值为的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知关于x的不等式的解集为M，则下列说法错误的是（ ）
A．，则，
B．若，则关于x的不等式的解集为
C．若，且，则的最小值为
D．若，的解集M一定不为
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置）
13．若且，则是第______象限角．
14．已知，，，则a，b，c从小到大排列是______．（用“<”连接）
15．已知函数，，且，，，，，写出的一个解析式为______．
16．关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为______．
四、解答题（17题10分，18-22题每12分题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已，，（且）
（1）求的定义域．
（2）判断的奇偶性，并说明理由．
18．已知集合．
（1）若集合，求a的取值范围．
（2）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：______，若，求a的取值范围．
19．已知函数．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
20．已知函数．
（1）分别求，，的值；
（2）画出函数的图象，写出函数的定义域及值域．
21．假设有一套住房从2012年的20万元上涨到2022年的40万元．下表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，t是2002年以来经过的年数．
t 0 5 10 15 20
/万元 20 40
/万元 20 40
（1）求函数和的解析式；
（2）结合你所学的知识，对比两种价格增长方式的差异．
22．已知关于x的不等式：．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，求不等式的解集；
（3）命题P：若二次不等式的解集为空集，命题对任意实数x都成立，若P，Q中至少有一个真命题，求实数a的取值范围．
高一年级四调考试数学参考答案
一、选择
1．A 2．D 3．C 4．C 5．A 6．C 7．C 8．C 9．AD 10．AD 11．BC 12．AC
12．【详解】由题意，关于x的不等式的解集为M，
对于A中，若，即不等式的解集为空集，
根据二次函数的性质，则满足，，所以A错误；
对于B中，若，可得和3是方程两个实根，且，
可得，解得，，则不等式，可化为，即，解得或，即不等式的解集为，所以B正确；
对于C中，若，可得是唯一的实根，且，则满足，解得，所以，
令，因为且，可得，且，则，当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以的最大值为，所以C错误；
对于D中，当时，函数表示开口向下的抛物线，
所以当，的解集M一定不为，所以D正确．故选：AC．
二、填空
13．二 14． 15． 16．
三、解答
17．【详解】（1）令得：，∴定义域为
令得：，∴定义域为，∴的定义域为
（2）由题意得：，．
∴．∴为定义在上的偶函数
18．【详解】（1）当时，，解得，所以a的取值范围为．
（2）选择条件①：，因，
当时，，解得，当时，或，解得，
所以a的取值范围为．
选择条件②：，则，因，
当时，，解得，当时，，无解，
所以a的取值范围为．
选择条件③：，因，
当时，，解得，当时，，解得，
所以a的取值范围为．
19．【详解】（1）
．
所以．
（2）
．
20．【详解】（1），，．
（2）图像如图，由图可得，函数的定义域为，由函数图象可得值域为．
21．【详解】（1）因为是按直线上升的房价，设，，
由，，可得，，即，．
因为是按指数增长的房价，设，，由，，可得，，即，．
所以，，．
（2）由（1）和（2），当时，，；当时，，；当时，，，则表格如下：
t 0 5 10 15 20
/万元 20 30 40 50 60
/万元 20 40 80
则图像为：
根据表格和图像可知：房价按函数呈直线上升，每年的增加量相同，保持相同的增长速度；按函数呈指数增长，每年的增加量越来越大，开始增长慢，然后会越来越快，但保持相同的增长比例．
22．【详解】（1）当时，原不等式为，即，
解得或，所以原不等式的解集为．
（2）当时，原不等式为，解得；
当时，原不等式变为，其对应方程的两根为，1，
若，即时，由解得，
若，即时，不等式解集为，
若，即时，由解得，
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
（3）若命题P为真命题，若，原不等式变为，其对应方程的两根为，1，其解集为，不合题意，
当时，由（2）可知时，解集为，所以命题P为真命题，则；
命题Q为真命题，则有相应方程的，即，解得；
所以当命题P，Q都为假命题时，，解得或，
所以命题P，Q中至少有一个真命题，则．
∴实数a的取值范围为．