专题5.10 三角恒等变换（重难点题型检测）
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·贵州六盘水·高一期末）若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2022·广东肇庆·高三阶段练习）的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（3分）（2022·黑龙江·高三期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2022·陕西·高一期末）下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2022·山东·高三期中）已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2022·辽宁·高一阶段练习）若在中，，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
7．（3分）（2023·云南·高三阶段练习）已知，且，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．可能是方程的两根
D．
8．（3分）（2022·福建漳州·三模）英国化学家、物理学家享利·卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，卡文迪许是从小孩玩的游戏（用一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙上的光斑就会出现大幅度的移动，如图1）得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算出地球质量，他在扭秤两端分别固定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子，用激光照射镜子，激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球（如图2），由于万有引力作用，根秤微微偏转，但激光所反射的点却移动了较大的距离，他用此计算出了万有引力公式中的常数G，从而计算出了地球的质量．在该实验中，光源位于刻度尺上点P处，从P出发的光线经过镜面（点M处）反射后，反射光线照射在刻度尺的点Q处，镜面绕M点顺时针旋转a角后，反射光线照射在刻度尺的点处，若△PMQ是正三角形．（如图3），则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·河北·高三阶段练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．3
10．（4分）（2022·广东湛江·高一期末）下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（4分）（2022·江西·高二开学考试）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（4分）（2022·辽宁·高一阶段练习）已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．在上单调递减 D．对任意的m，在上不单调
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·吉林·模拟预测）求值．
14．（4分）（2022·四川资阳·一模（理））已知，则．
15．（4分）（2022·海南·高三阶段练习）已知是第四象限角，且，则.
16．（4分）（2022·湖北襄阳·高三期中）已知，满足①，且，②两个条件中的一个，则的一个值可以为.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021·全国·高一课时练习）化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3).
18．（6分）求证：．
19．（8分）（2022·湖北·高三期中）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
20．（8分）（2022·山东·高三期中）已知，，和角的终边与圆心在原点的单位圆分别相交于两点，两点的纵坐标分别为和.
(1)求的值；
(2)求的值.
21．（8分）（2022·江西·高三开学考试（理））（1）设，为锐角，且，，求的值；
（2）已知，，求的值．
22．（8分）（2022·辽宁·高一期中）已知函数，
(1)化简；
(2)若，，求的值．专题5.10 三角恒等变换（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·贵州六盘水·高一期末）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】结合诱导公式，同角三角函数的基本关系式、二倍角公式求得正确答案.
【解答过程】，
由于，所以，
所以.
故选：D.
2．（3分）（2022·广东肇庆·高三阶段练习）的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【解题思路】根据正弦的二倍角公式，结合诱导公式，以及余弦的和差角公式，化简即可求得结果.
【解答过程】
.
故选：A.
3．（3分）（2022·黑龙江·高三期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用二倍角的余弦公式求得，再根据诱导公式即可得解.
【解答过程】解：因为，所以，
即，
所以.
故选：A.
4．（3分）（2022·陕西·高一期末）下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据三角函数的和差公式、倍角公式逐一算出每个选项对应式子的值，然后可选出答案.
【解答过程】，
，
，
，
故选：D.
5．（3分）（2022·山东·高三期中）已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出的取值范围，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式求出的值，即可得解.
【解答过程】因为，则，因为，则，可得，
因为，则，，
所以，，，
所以，
，
所以，.
故选：A.
6．（3分）（2022·辽宁·高一阶段练习）若在中，，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【解题思路】利用诱导公式及二倍角公式得到，再由两角和差的余弦公式得到，即可得解；
【解答过程】解：因为，
即
所以，
即，即，
所以，
所以，即，
因为，所以，
所以，即，所以为等腰三角形；
故选：C.
7．（3分）（2023·云南·高三阶段练习）已知，且，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．可能是方程的两根
D．
【解题思路】利用诱导公式、辅助角公式以及三角恒等变换即可判断.
【解答过程】对于A,根据辅助角公式得，
所以，
因为，所以，
所以无解，故A错误;
对于B, ，
故B错误；
对于C，因为可能是方程的两根，
所以，
则有，
因为，且，
所以，所以，故C错误；
对于D,由B选项推导过程可知，，
即，整理得.
故D正确.
故选:D.
8．（3分）（2022·福建漳州·三模）英国化学家、物理学家享利·卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，卡文迪许是从小孩玩的游戏（用一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙上的光斑就会出现大幅度的移动，如图1）得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算出地球质量，他在扭秤两端分别固定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子，用激光照射镜子，激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球（如图2），由于万有引力作用，根秤微微偏转，但激光所反射的点却移动了较大的距离，他用此计算出了万有引力公式中的常数G，从而计算出了地球的质量．在该实验中，光源位于刻度尺上点P处，从P出发的光线经过镜面（点M处）反射后，反射光线照射在刻度尺的点Q处，镜面绕M点顺时针旋转a角后，反射光线照射在刻度尺的点处，若△PMQ是正三角形．（如图3），则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】过点作，则，，，所以，即可求解．
【解答过程】过点作，因为△PMQ是正三角形．，
则，，，
所以，
则，解得，
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·河北·高三阶段练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．3
【解题思路】由条件结合两角差的正切公式求，再由二倍角公式求.
【解答过程】因为，又，，所以，
因为，所以，所以，
解得或3，
故选：AD.
10．（4分）（2022·广东湛江·高一期末）下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据二倍角的正弦公式、余弦公式，两角差的正切公式，逐一化简计算，即可得答案.
【解答过程】对于A：，故A错误
对于B：，故B正确
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：BC.
11．（4分）（2022·江西·高二开学考试）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据两角和的正切公式、二倍角公式、诱导公式求得正确答案.
【解答过程】因为，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
因为，
所以，故D错误．
故选：ABC.
12．（4分）（2022·辽宁·高一阶段练习）已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．在上单调递减 D．对任意的m，在上不单调
【解题思路】根据三角恒等变换公式化简可得，再根据正弦函数的性质分别求解对称轴、对称点、单调区间再逐个判断即可
【解答过程】．
对A，令，，解得，，所以的图象关于直线对称，则A正确；
对B，令，，解得，，当时，，则B错误；
对C，令，，解得，所以的单调递减区间是，则C错误；
对D，因为的最小正周期，所以，所以对任意的m，在上不单调，则D正确．
故选：AD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·吉林·模拟预测）求值．
【解题思路】先用同角三角函数基本关系切化弦，同角正余弦平方和化为1，再利用倍角公式，化为可以求值的角的三角函数.
【解答过程】 ，
故答案为：.
14．（4分）（2022·四川资阳·一模（理））已知，则 2 ．
【解题思路】将代入目标式，利用两角差的正切公式化简计算即可.
【解答过程】，
故答案为：2.
15．（4分）（2022·海南·高三阶段练习）已知是第四象限角，且，则.
【解题思路】利用二倍角公式化简可得，结合同角三角函数关系式求得，继而求得，从而利用诱导公式求得答案.
【解答过程】由可得，即，
所以，解得或（舍去），
因为是第四象限角，故，
所以，
故答案为：.
16．（4分）（2022·湖北襄阳·高三期中）已知，满足①，且，②两个条件中的一个，则的一个值可以为或6 .
【解题思路】若满足的条件①利用及进行转化解出，，利用两角和的正切公式求解；若满足的条件②配凑角，然后利用公式计算即可
【解答过程】若满足条件①，因为，所以，
解得或，
则或舍去，
则，，
故
若满足条件②，
则
故答案为：或6.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021·全国·高一课时练习）化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3).
【解题思路】根据三角恒等变换公式或诱导公式化简即可.
【解答过程】(1)
原式=
.
(2)
原式
.
(3)
原式
.
18．（6分）求证：．
【解题思路】逆用两角和的正弦公式及诱导公式即可得证.
【解答过程】左边
，
左边右边，
即等式成立.
19．（8分）（2022·湖北·高三期中）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解题思路】（1）利用正切函数两角和公式直接计算即可；
（2）利用正弦和余弦的二倍角公式结合同角三角函数关系求解即可.
【解答过程】（1）由题意得，
解得.
（2）由题意得，
分子分母同除得.
故原式.
20．（8分）（2022·山东·高三期中）已知，，和角的终边与圆心在原点的单位圆分别相交于两点，两点的纵坐标分别为和.
(1)求的值；
(2)求的值.
【解题思路】(1)根据正切两角差的公式求解;
(2)先求出，再确定即可求解.
【解答过程】（1）
因为，，
由三角函数定义得，，，
，，，
∴.
（2）
，
∵，，
∴，，
.
21．（8分）（2022·江西·高三开学考试（理））（1）设，为锐角，且，，求的值；
（2）已知，，求的值．
【解题思路】（1）根据三角恒等式求出和，利用两角和的余弦公式求出，结合范围即可得结果；
（2）通过两角和的正弦公式以及三角恒等式求出，，然后利用二倍角公式求出，的值，最后由两角差的正弦可得结果.
【解答过程】（1）∵为锐角，，且，∴．
∵为锐角，，且，∴，
∴，
∵，∴．
（2）因为，，
所以，即．
又，，解得：，，
所以，
，
所以
．
22．（8分）（2022·辽宁·高一期中）已知函数，
(1)化简；
(2)若，，求的值．
【解题思路】（1）结合三角恒等变换的知识化简的解析式.
（2）利用平方的方法求得正确答案.
【解答过程】（1），，
，
，所以，
.
（2），，
两边平方得，
.
