建立坐标系,利用二次函数解决实际问题
一、学情分析：
二次函数在实际中的应用是学习二次函数的图像与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查，它是本章的难点。新的课程标准要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图像的性质解决简单的实际问题，而“建系”是灵活应用二次函数解决实际问题的一种方法，解法较多。学生比较感兴趣。此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的基础。
二、教学目标：
1、知识与技能：学会把一些简单的实际生活中的二次函数问题抽象转化为数学问题，并通过建立适当的平面直角坐标系应用二次函数的相关性质解决问题，能进一步熟练掌握二次函数解析式的各种求法。
2、过程与方法：
（1）以学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，培养学生分析问题和解决问题的能力。
（2）让学生能把数学知识应用到生产、生活的实际中去，形成应用数学的意识。
（3）通过小组合作探索，获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
3、情感态度与价值观：体验函数知识的实际应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，从实践动手当中，让学生产生对数学的兴趣，从而培养学生观察和推理能力，体验主动探究的成功快乐。
三、教学重点和难点：
重点：理解实际问题中的问题背景，弄清问题中相关量的关系，建立适当的数学模型，并把实际问题转化为数学问题。
难点：建立适当的平面直角坐标系。
四、教学方法：
本节课，通过引导学生将实际问题转化为数学模型，利用数学建模的思想去解决和函数有关的应用问题。
五、应用软件：PPT
六、教学过程：
（一）回味无穷
教师：二次函数解析式的表示方式：（PPT显示）
学生：（学生回答的同时，PPT显示）
一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
对称轴: 顶点坐标:
图像平移规则：上“+”，下“-”；左“+”,右“-”
（二）热身运动
求下列二次函数的解析式：（PPT显示）
学生回答：
(1)图像经过(0,1)，(1,3)，(-1,1)
(2)顶点为(-1,-2)，且过点(0,3)
(3)图像经过(3,0)，(-2,0)，且过点(-1,8)
说明：复习回顾，回忆二次函数解析式的几种求解方法，为接下来的内容作铺垫。
（三）小试牛刀
1．如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下，如果喷头所在处A距地面1.25米,水流路线最高处B距地面2.25米,且距水池中心的水平距离为1米.试建立适当的坐标系,表示该抛物线的解析式为 y= －(x-1)2 +2.25,如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要 2.5 米，才能使喷出的水流不致落到池外。
教师分析 这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图26．3．3，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．
（PPT显示）解 （1）以O为原点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C（如图26．3．3）．
由题意得，A（0，1．25），B（1，2．25），
因此，设抛物线为．
将A（0，1．25）代入上式，得，
解得
所以，抛物线的函数关系式为．
当y=0时，解得 x=-0．5（不合题意，舍去），x=2．5，
所以C（2．5，0），即水池的半径至少要2．5m．
（四）一题多解
2．（PPT显示）如图，是河上一座拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，试问一艘高为4m，宽为4m的船能否通过此桥？
小组合作交流，总结方法。以组为单位回答，根据学生回答，教师在大屏幕上显示相应的建系方法。
学生甲：方法一：如图建立坐标系，设这条抛物线表示的二次函数为
由抛物线经过点（５，-４），可得
所以，这条抛物线的解析式为：
拱桥桥洞上沿距离河面4m的点的纵坐标为
当时，
所以，拱桥桥洞上沿距离河面4m的两点间距离为５m大于4m，能过.
学生乙：方法二：如图建立坐标系，设这条抛物线表示的二次函数为
由抛物线经过点（0，４），可得
所以，这条抛物线的解析式为：
拱桥桥洞上沿距离河面4m的点的纵坐标为
当时，
所以，拱桥桥洞上沿距离河面4m的两点间距离为５m大于4m，能过.
学生丙：方法三：如图建立坐标系，设这条抛物线表示的二次函数为
由抛物线经过点（0，0），可得
所以，这条抛物线的解析式为：
拱桥桥洞上沿距离河面4m的点的纵坐标为
当时，
所以，拱桥桥洞上沿距离河面4m的两点间距离为５m大于4m，能过.
教师（PPT显示注意）:
在解决实际问题时,我们应建立简单方便的平面直角坐标系.
说明：引导学生明确建立平面直角坐标系要注意的问题，注重一题多解，引导学生注意日常生活用语和二次函数相关的数学语言的互相转换。归纳把生活中的抛物线问题转化为数学问题的一般步骤。
（五）动手动脑（PPT显示）
3.一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。问球能否投中。
小组讨论，分组回答。
解：如图，建立平面 直角坐标系，点（4，4）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数为： (0≤x≤8)
(0≤x≤8)
∵篮圈中心距离地面3米
∴此球不能投中
（六）课时小结
学生归纳，教师给出总结。
七、教学反馈：
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成。长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y＝-x2+4表示。
（1）一辆货运卡车高4m，宽2米，它能通过该隧道吗？
（2）如果该隧道内为双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？
课件17张PPT。建立坐标系，
利用二次函数解决实际问题回味无穷:二次函数解析式的表示方式：对称轴:顶点坐标:一般式：顶点式：交点式：y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)热身运动求下列二次函数的解析式：(1)图像经过(0,1)，(1,3)，(-1,1)(2)顶点为(-1,-2)，且过点(0,3)(3)图像经过(3,0)，(-2,0)，且过点(-1,8)(4)已知如图A(1，1),B(4,1) AB=__________.3 1.如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下，如果喷头所在处A距地面1.25米,水流路线最高处B距地面2.25米,且距水池中心的水平距离为1米.试建立适当的坐标系,表示该抛物线的解析式为 ,如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要 米，才能使喷出的水流不致落到池外。 ． y= －(x-1)2 +2.252.51.25小试牛刀A(0,1.25)B(1,2.25) y= －x2+2x +1.252.如图，是河上一座拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，
抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与
水面的最大距离是5m，如果河水上升4米到达警戒水位，试求到
达警戒水位时，水面的宽度。一题多解0(５,-４)
● (-５,-４)
●当 时，
所以，到达警戒水位时河面宽5m.解：如图建立坐标系，设这条抛物线表示的二次函数为河水上升4m时的纵坐标为0(10, 0)
●(0,0)
●(5,4)解：如图建立坐标系，设这条抛物线表示的二次函数为当 时，
所以，到达警戒水位时河面宽5m.河水上升4m时的纵坐标为0 (0, 1)
● (-10,1)
● (-5, 5)
● 解：如图建立坐标系，设这条抛物线表示的二次函数为当 时，
所以，到达警戒水位时河面宽5m.河水上升4m时的纵坐标动手动脑 问此球能否投中？3米8米4米4米3.一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮筐中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮筐中心距离地面3米。如图，建立平面 直角坐标系，点（4，4）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数为：(0≤x≤8)(0≤x≤8)∴此球不能投中∵篮筐中心距离地面3米∴此球不能投中∵篮筐中心距离地面8米或（8，3）若假设出手的角度和力度都不变,
则如何才能使此球命中?（1）跳得高一点（2）向前平移一点（4，4）（8，3）在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮筐?0 1 2 3 4 5 6 7 8 9高度3米（8，3）（5，4）（4，4）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮筐？(７，３）●向前平移1米1、主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法。课时小结2、利用二次函数解决实际问题时，建立适当的直角坐标系，是解决问题的关键。本节课你学到了什么？教学反馈如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成。长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y＝-x2+4表示。
（1）一辆货运卡车高4m，宽2米，它能通过该隧道吗？
（2）如果该隧道内为双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？
