课题：圆的对称性之垂径定理(第一课时)
科目：数学
教学对象： 九年级学生
课时：1
一、教学内容分析
本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。
二、教学目标
知识与技能：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。 培养学生观察能力、分析能力及联想能力。
过程与方法：教师播放动画、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。
情感态度与价值观： 通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育
三、学习者特征分析
处于这一阶段的学生，对于圆的弦、弧、圆心角、圆周角已经了解，但对于它们之间的关系还不太明白，还需要在课堂上进一步引导，达到教学目标。
四、教学策略选择与设计
鉴于教材特点及我所教班级学生的知识基础，根据教学目标和学生的认知水平，我选用引导发现法和直观演示法。让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时，在教学中，我充分利用教具和课件，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。另外，教学中我还注重用不同图片的颜色对比来启发学生。
关于教材的处理：(1)对于圆的轴对称性及垂径定理的发现、证明，采用师生共同演示的方法。(2)补充例题1（即练习1）讲完后总结出辅助线作法的七字口诀“半径半弦弦心距”，得直角三角形中三边的关系式.注意前后知识的链接，将补充例题例2作为例1的延伸，并动态演示弦AB的位置变化，结合学生实际情况作适当的拓广。
五、教学重点及难点
本节课的教学重点是：垂径定理及其应用。由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏，所以，对垂径定理的题设与结论区分是难点之一；
本节课的难点是：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。
理解垂径定理的关键是圆的轴对称性。
六、教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
情境创设
（1）什么是轴对称图形？
（2）如何验证一个图形是轴对称图形？
学生回答问题
复习轴对称图形的概念
二、探究学习
1.尝试在圆形纸片上任意画一条直径.
沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？请将你的发现写下来：
2.探索
如图，CD是⊙O的弦，画直径AB⊥CD，垂足为P；将圆形纸片沿AB对折.通过折叠活动，你发现了什么？
请试一试证明！
3.总结
垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
把这个定理用数学符号表示出来：（突出由位置关系得到数量关系）
几何语言：在⊙O中，直径AB⊥弦CD
由
变式图形一：在⊙O中，半径 OB⊥弦CD
变式图形二：在⊙O中，OP⊥弦CD于点P
定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧
及时反馈：
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，OE = 1 ，求DE、AB的长.
⑵若半径R = 5 ，AB = 8 , 求OE、DE 的长.
学生动手实验、观察，通过实验得出结论：(1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。
首先让学生实验、观察并得出猜想，然后引导学生分析上述猜想的条件和结论，并将文字语言转化为符号语言，写出已知、求证，为分清定理的题设和结论作好铺垫，从而达到解决难点的目的。接下来再对学生引导分析，让学生合作讨论，展示成果。最后师生共同演示、验证猜想的正确性，同时利用动画得出证明方法，从而解决本节课的又一难点——叠合法的证题方法。此时再板书垂径定理的内容，强调“垂”与“径”缺一不可，最后进行定理变式为了强调定理及定理变式中的条件，我出示训练一，让学生抢答。
三.典型例题
例1. 如图已知：在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3。
（1）求⊙O的半径；
（2）若点P是AB上的一动点，试求OP的范围。
例2.一条隧道的截面是个弓形，路面宽为10米，净高为7米，求隧道截面所在的圆的半径。
巩固练习：
如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=6，M是AB上任意一点，
则线段OM的长可能是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5
学生动手实验分组讨论，学生回答问题。
从例1可以知道作“弦心距”是很重要的一条辅助线，弦心距的作用就是平分弦，平分弦所对的弧，它和直径一样．
求圆的半径问题，要和弦心距，弦的一半和半径构造出一个直角三角形，和勾股定理联系起来．
在圆中，解弦的有关问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只须从圆心作一条与弦垂直的线段。
四.评价练习：（1）如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（ ）．
A．CE=DE B. BC=BD C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD
（2）如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，OE=3，求弦CD的长.
（3）在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.
规律总结：垂径定理三角形
由前几题的启发，你能总结出什么规律吗？由学生自己归纳出垂径三角形，并且指出三边的勾股弦关系。强调弦心距
的概念：OE为弦心距
为了检测学生对本课教学目标的达成情况，进一步加强定理的应用训练，我设计了与代数、相关的反馈题组训练三，针对学生解答情况，及时查漏补缺。
七、教学评价设计
为了检测学生对本课教学目标的达成情况，我设计了分别用代数和几何方法进一步加强定理的应用训练反馈题，针对学生解答情况，及时查漏补缺。
至此，估计学生基本能够掌握定理，达到预定目标，这时，利用提问形式，师生共同进行小结。
八、板书设计
?垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
把这个定理用数学符号表示出来：（突出由位置关系得到数量关系）
几何语言：在⊙O中，直径AB⊥弦CD
由
变式图形一：在⊙O中，半径 OB⊥弦CD
变式图形二：在⊙O中，OP⊥弦CD于点P
定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。
1．垂径定理的几个基本图形：
2．垂径定理的应用.
两条辅助线：半径 弦心距
一个Rt△：半径 半弦 弦心距
课件20张PPT。圆的对称性
垂径定理(第一课时)
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴． 活动一垂直于弦的直径看一看CP≠DPCP＝DPOBADCP垂 径 定 理垂直于┗平分这条弦，并且平分弦所对的弧 弦的直径在⊙O中，直径CD⊥弦ABCD⊥ABAB是直径CP=DP③④⑤ ①② 垂径定理的变式图形一在⊙O中，半径 OB⊥弦CD
① OB是半径
② OB⊥CD
③CP=DP,
垂径定理的变式图形二在⊙O中，OP⊥弦CD于P点
① OP过圆心
② OP⊥CD
③CP=DP,
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧及时反馈 已知：如图，直径AB⊥CD，垂足为P。
⑴若半径R=5，CD=8，求OP、BP的长。
⑵若半径R=2，OP=1，求CD、BP的长。POCDBA例1.如图，已知：在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3。
（1）求⊙O的半径；
（2）若点P是AB上的一动点，试求OP的范围。例2.一条隧道的截面是个弓形，如图，路面宽为10米，净高为7米，求隧道截面所在的圆的半径。O巩固练习：
如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5规律总结：垂径定理三角形
由前几题的启发，你能总结出什么规律吗？
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量。 r=h±d找出下列图形中的垂径三角形 练习1.如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（ ）。
A．CE=DE B. BC=BD C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD练习2.如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，OE=3，求弦CD的长.练习3在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面AB=600mm，求油的最大深度.拓广探索 一：1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).RDOABC37.4m7.2m
⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，
且AB∥CD.求AB与CD之间的距离. 拓广探索 二垂径定理的几个基本图形课堂小结 两条辅助线：
半径 弦心距 一个Rt△：半径 半弦 弦心距
BAO垂径定理的应用四、学习反思
1、这节课我学习了什么？
2、这节课我学会了什么？
3、这节课我想到了什么？
