24.4 弧长和扇形面积(第1课时)
教学内容
1．n°的圆心角所对的弧长L=
2．扇形的概念；
3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=；
4．应用以上内容解决一些具体题目．
教学目标
了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．
通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长L=和扇形面积S扇=的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．
重难点、关键
1．重点：n°的圆心角所对的弧长L=，扇形面积S扇=及其它们的应用．
2．难点：两个公式的应用．
3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程．
教具、学具准备
小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板．
教学过程
一、复习引入
（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．
1．圆的周长公式是什么？
2．圆的面积公式是什么？
3．什么叫弧长？
老师点评：（1）圆的周长C=2R（2）圆的面积S图=R2（3）弧长就是圆的一部分．
二、探索新知
（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R，则：
1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．
2．1°的圆心角所对的弧长是_______．
3．2°的圆心角所对的弧长是_______．
4．4°的圆心角所对的弧长是_______． ……
5．n°的圆心角所对的弧长是_______．
（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：
n°的圆心角所对的弧长为
例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长（结果精确到0.1mm）
分析：要求的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．
解：R=40mm，n=110
∴的长==≈76.8（mm）
因此，管道的展直长度约为76.8mm．
问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:
（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？
（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？
学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积．
（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图:
像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（小黑板），请同学们结合圆心面积S=R2的公式，独立完成下题：
1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积．
2．设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
3．设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
4．设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
……
5．设圆半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
老师检察学生练习情况并点评
1．360 2．S扇形=R2 3．S扇形=R2 4．S扇形= 5．S扇形=
因此：在半径为R的圆中，圆心角n°的扇形
S扇形=
例2．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求的长（结果精确到0．1）和扇形AOB的面积结果精确到0．1）
分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足．
解：的长=×10=≈10.5
S扇形=×102=≈52.3
因此，的长为25.1cm，扇形AOB的面积为150.7cm2．
三、巩固练习
练习1.
1.有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81°，求这段圆弧的半径R（精确到0.1m）.
2.如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、 C 为圆心，以 为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积．
四、归纳小结（学生小结，老师点评）
本节课应掌握：
1．n°的圆心角所对的弧长L=
2．扇形的概念．
3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=
4．运用以上内容，解决具体问题．
五、布置作业
选用课时作业设计．
第一课时作业设计
选择题
1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为（ ）
A．1 B． C． D．
(1) (2) (3)
3．如图2所示，实数部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ）
A．12m B．18m C．20m D．24m
二、填空题
1．如果一条弧长等于R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______， 当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．
2．如图3所示，OA=30B，则的长是的长的_____倍．
三、综合提高题
1．已知如图所示，所在圆的半径为R，的长为R，⊙O′和OA、OB分别相切于点C、E，且与⊙O内切于点D，求⊙O′的周长．
2．如图，若⊙O的周长为20cm，⊙A、⊙B的周长都是4cm，⊙A在⊙O内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？
3．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD，AB=1，AD=，将画刷以B为中心，按顺时针转动A′B′C′D′位置（A′点转在对角线BD上），求屏幕被着色的面积．
答案:
一、1．B 2．D 3．D
二、1．45° R 2．3
三、1．连结OD、O′C，则O′在OD上
由=R，解得：∠AOB=60°，
由Rt△OO′C解得⊙O′的半径r=R，所以⊙O′的周长为2r=R．
2．⊙O、⊙A、⊙B的周长分别为20cm，4cm，4cm，
可求出它的半径分别为10cm、2cm、2cm，
所以OA=8cm，OB=12cm，
因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离，
所以⊙A滚动回原位置经过距离为2×8=16=4×4，
而⊙B滚动回原位置经过距离为2×12=24=4×6．
因此，与原题意相符．
3．设屏幕被着色面积为S，
则S=S△ABD+S扇形BDD`+S△BC`D`=S矩形ABCD+S扇形BDD`，
连结BD′，
在Rt△A′BD′中，A′B=1，A′D′=AD=，
∴BD′=BD=2，∠DBD′=60°，
∴S=·22+1·=+．
课件10张PPT。24.4.1 弧长和扇形面积
制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”（图中虚线成的长度），再下料，这就涉及到计算弧长的问题．一 问题情境如 何 求 长 ？4. n°的圆心角呢？半径为R圆的周长为可以看作是360°圆心角所对的弧长1°的圆心角所对弧长是 n°的圆心角所对的弧长
1. 你还记得圆周长的计算公式吗？2. 圆的周长可以看作是多少度的圆 心角所对的弧长？3. 1°的圆心角所对弧长是多少？因 此 所 要 求 的 展 直 长 度由上面的弧长公式，可得 的长你能根据算出本节开头的弧长吗？如图，由组成圆心角的两条半
径和圆心角所对的弧所围成的
图形叫做扇形，可以发现，扇
形面积与组成扇形的圆心角的
大小有关，圆心角越大，扇形
面积也就越大．怎样计算圆半
径为R，圆心角为n°的扇形面
积呢？·n°R 3. 1°的圆心角所对的扇形面积是多少？ 圆心角为n°的扇形面积是1. 你还记得圆面积公式吗？2. 圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？4. n°的圆心角呢？圆的面积公式：360°的圆心角所对的扇形的面积,1°的圆心角所对的扇形面积是例1:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:
（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？
（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？例2．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求的长（结果精确到0．1）和扇形AOB的面积结果精确到0．1）
练习
1.有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81°，求这段圆弧的半径R（精确到0.1m）.解：由弧长公式： 得： 答：这段圆弧的半径R为8.5m.2.如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、 C 为圆心，以 为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积．解：连接AD，则垂足为D根据勾股定理，得又知，S扇形BDF=S扇形CDE=S扇形AEF,
