5.E
2023-2024学年第一学期高三年级期末学业诊断
数学试卷
(考诚时问：上午8：00-10：00)
说明：本试卷为闭卷笔答，音额时间120分钟，满分150分。
四
总分
171819
20
21
22
得分
一、选邦网（本适共8小然，每小题5分，共40分，在每小的给出的四个远项中，只右一项是符
合题目要求的】
1.已知集合A=-2xdB-{x2>则A门B=
A-[0.+)
k..1)
c1,21
D「2，+mj
2.已知复数x满足1-：=2，则：在复平面内对应的点的坐标为
4.(11)
B.〔-1,1
.1.-1)
D.-1.-10
3.x2+Y2-4x+2y=0的图心坐标为
4.(2,-1)
B.(-2.1)
0.(4.-2)
D.(-4,2)
4.第19届重运会于2023年9月23日至10月8日在杭州等城巾成功举办.杭州亚运会期间
甲，乙等4名志愿者要到游泳，射击、体操三个场地进行志严服务，每名志愿者只去一个场
地，每个场动至少一名志部者，若甲不去游袜场速，则不同的安排方法种数为
4.18
B.24
C.32
D.36
高三数学第1页（共10页）
s已知a,e0,,且a=3,amB=2,则a+=,与
A资
。2号
=号
c
6.如图是函邀fx的部分图象，则x的解析式为
Ae=
coefir
Bf0x=2-2
u)
2
上符
7已知杆置C号+y=1的左右点分别为PR点M为c上异于长轴端点的任意-点。
,W,的角平分线交线段F于点划
ET-
A,2
c
n.而
(ab.0o.xd
8者实数a.b,c满足u=he,=b=lnTc-V行b2,则
-有式五前1式划帝
A.acbce
Ba<<6a石4=元5面k=
C.beacc
D,&二，选择题〔本延共4小恩每小惑5分，共20分.在每小题嗡出的四个选项中，有多项符合题
间，
目妥求.全帮法对的得5分，部分法对的得2分，有达错的得0分)9国=4世1
个格
9.已知数列{}中，a,=1,4.4=2a.+1acN)数列{a}的前n项和为3则下列纺论正确
的是
A.a}是等比数列
R4,=15
C.ay<1000
D.S.=2a.-n
高三数学第2页（共10页）
已知数了=2m一若m,则下列论正0的地
A号-号
B)的网象关于点若.0对称
:在区间(-音晋上华测送啦
D,将f)的图象先向左平移个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的函数图
象关于原点对称
Inx.05x11.已如函数fx)=
,若方程()=a有四个不同的实数解工5，
A.0B.2乐，+xe[2v2,3)
D.:xc(32,4e
12,在校长为1的止方你ABCD-AB,CD中，E为疑我5C的中点，点P和Q分州满足
D=A刀，C,D,0=D,B,其中A4[0,,则下列纺论正确的是
A当A=时，三被维0-PDE的休积为定位
中
B当r一时.西技锥Q一A0CD的外接续的表面积是7。.得正全
C.当A=1时，不存在u使得PQ⊥B,D,.Man1+
P0,0个信为
u,0
民境出学
000>.3
高三数学第3页（共10页）2023-2024 学年第一学期高三年级期末学业诊断数学试卷
参考答案及评分标准
一.单项选择题： C B A B C C A A
二.多项选择题： 9.B D 10．A C 11.A C D 12.A B D
三.填空题: 13. y 2x 14. 25 15. 3 16. e 3
四.解答题：
a d 3,
17.解：（1）设{a 1n}的公差为 d ，由题意得
a1 7d 3(a1 2d )，
a1 1, a 2n 1(n N
*
n )； ………2 分
d 2,
当 n 1时，则 2S1 2b1 3b1 1， b1 1，
当 n 2时，则 2Sn 1 3bn 1 1， 2Sn 2Sn 1 3bn 3bn 1， bn 3bn 1，
{b } 1 3 b 3n 1 *n 是以 为首项， 为公比的等比数列， n (n N )； ………5 分
c a b (2n 1) 3n 1 *（2）由（1）得 n n n (n N )， ………6 分
T c c c c 2 n 2 n 1n 1 2 3 n 1 cn 1 1 3 3 5 3 (2n 3) 3 (2n 1) 3 ，①
3Tn 1 3 3 3
2 5 33 (2n 3) 3n 1 (2n 1) 3n，②
2 3 n 1 n
①-②得 2Tn 1 2 (3 3 3 3 ) (2n 1) 3 ，
Tn (n 1) 3
n 1(n N*). ………10分
1 3
18.解：（1）由题意得 S ABC a AD sin ADB a 3 3 ， a 6 ………2 分2 2
BD 2DC， BD 4，CD 2，
AB 2 AD 2 BD 2 2AD BD cos ADB 12， AB 2 3， ………4 分
2 2
cos B AB BD AD
2 3
， 0 B 180 ， B 30 ； ………6 分
2AB BD 2
1
（2）由题意得 BD CD， AD (AB AC )，
2
2 1 2 1 2 2 AD (AB AC) (AB AC 2AB 1 AC) (c2 b2 2bccos BAC) 4，
4 4 4
b2 c2 28， bc cos BAC 6，
a2 b2 c2 2bccos BAC 40， a 2 10， ………8 分
S 1 ABC bc sin BAC 3 3 ， bc sin BAC 6 3， bc 12，2
{#{QQABDQAEogigQBBAAAhCAwV4CAKQkAEAAKoOBAAIIAAACQFABAA=}#}
(b c)2 b2 c2 2bc 52， b c 2 13， ………11 分
a b c 2( 10 13)， △ ABC的周长为 2( 10 13) . ………12 分
19.（1）证明： 四边形 ABCD是正方形， AB AD，
SA AB，SA AD A， AB 平面 SAD， SD AB， ………2 分
同理可证 SD BC ， AB BC B， SD 平面 ABCD， ………5 分
四棱锥 S ABCD 是一个“阳马”； ………6 分
（2）由（1）得 SD 平面 ABCD， SD AD，
SA 3 2 ， AB 3， SD 3， z
以点D为原点，DA，DC ，DS 所在的直线分别为 x轴， S
y轴， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得
D(0,0,0)， A(3,0,0)，B(3,3,0)，C(0,3,0)， S(0,0,3)， D C
E y
AE EC E( 3 , 3 ,0) A， ， B
1 1 x
设m (x1, y1, z ) SAE
m AC ,
1 是平面 的一个法向量，则
m SA，
3x1 3y1 0, x 1, 令 z1 1
，则 1 ， m (1,1,1)， ………8 分
3x1 3z1 0， y1 1，
设 n (x2 , y2 , z )
n SD ,
2 是平面 SDE 的一个法向量，则
n DE，
3z2 0, x , 3 3 令 y2 1，则
2
， n ( , 1,0)，
x2 y 0， z 0， 1 1 2 2
cos m,n m n 1 30 1 ， ， ………10 分
|m || n | 3 2 1 15 3
E(9 , 3 ,0) DE (9)2 (3 3 10 ， )2 ，
4 4 4 4 4
SD 平面 ABCD SD 2 10， 直线 SE与底面 ABCD所成角的正切值为 .……12 分
DE 5
20.解：（1）设 Ai “第 i天选择米饭套餐”（ i 1,2），则 Ai “第 i天选择面食套餐”，
根据题意 P(A 2 1 1 21) ， P(A1) ，且 P(A2 | A1) ， P(A2 | A1) ，3 3 3 3
由全概率公式，得 P(A2 ) P(A1)P(A2 | A1) P(A1)P(A2 | A1)
2 1 1 2 4
； ………4 分
3 3 3 3 9
（2）（i）设 An “第 n天选择米饭套餐”（ n 1,2, ），
{#{QQABDQAEogigQBBAAAhCAwV4CAKQkAEAAKoOBAAIIAAACQFABAA=}#}
则 Pn P(A )
1 2
n ，P(An ) 1 Pn ， P(An 1 | An ) ，P(An 1 | An ) ， ………5 分3 3
1 2
由全概率公式，得 P(An 1) P(An )P(An 1 | An ) P(An )P(An 1 | An ) P3 n
，
3
即 P 1 2n 1 Pn ， P
1 1 1
n 1 (Pn )， ………7分3 3 2 3 2
P 1 1 1 1 11 ， {Pn }是以 为首项， 为公比的等比数列； ………8 分2 6 2 6 3
P 1 1 1（ii）由（i）可得 n ( )
n 1(n N * )， ………10 分
2 6 3
n 1 1 1 n 1 1 1 1 2 14 5当 为大于 1 的奇数时， Pn ( ) ( ) ；2 6 3 2 6 3 27 9
1 1 1 1 5
当 n为正偶数时，Pn ( )
n 1 . ………12 分
2 6 3 2 9
p
21.解：（1）由题意得 F ( ,0)， D( p ,0) p ，设直线 AB 的方程为 x ty (t R)，
2 2 2
x p ty ,
A(x1, y1)， B(x , y )
2 y22 2 ，由 得 2tpy p
2 0,
2 y 2px
y1 y2 2tp， y1y2 p
2
， ………3 分
(y y )2 (y y )21 2 1 2 4y1y
2 2
2 4p (t 1)，
DAB S 1 2 2面积 DAB | DF | | y1 y2 | p t 1 p
2
，
2
当 t 0 2时， S DAB 取最小值 p ， p 2，
2抛物线C的方程为 y 4x； ………6 分
2
（2）由（1）得抛物线C : y 4x，假设存在定点 P(x0 , y0 )，
设直线 l的方程为 x 5 m(y 2)(m R)，M (x3 , y3 ),N (x4 , y4 )，则 y3 y0 , y4 y0 ，
x 5 m(y 2), 2
由 得 y 4my 4(2m 5) 0,2
y 4x
y3 y4 4m， y3y4 4(2m 5)， ………8 分
PM PN ， PM PN 0，
PM 1 PN (x3 x0)(x4 x0) (y3 y0)(y4 y0) (y
2
3 y
2 2
0 )(y4 y
2
0 ) (y3 y0)(y4 y0)，16
y 20 (y3 y4)y0 y3y4 16 0， 4(y0 2)m (y
2
0 4) 0， ………10 分
{#{QQABDQAEogigQBBAAAhCAwV4CAKQkAEAAKoOBAAIIAAACQFABAA=}#}
y0 2,
当 y0 2 0时，即 时， PM PN 恒成立， 存在定点 P(1, 2) . ………12 分
x0 1
22.解：（1）当 k 1时， f (x) x ln x 1，x (0, )，则 f (x) ln x 1， ………1 分
令 f (x) 0 1 1 ，则0 x ；令 f (x) 0，则 x ，
e e
f (x)在 (0, 1)上单调递减，在 (1 , )上单调递增， ………3 分
e e
f (x) x 1 1在 处取得最小值 f ( ) 1 1 ； ………4 分
e e e
（2）①当 k 1时，则 f (x) x ln x 1 1 0，显然成立； ………5 分
k 1 k x x ln x②当 时，原不等式等价于 ， ………6 分
x 1
x x ln x
令 g(x) ， x 1，则 g (x) x ln x 2 ， ………7 分
x 1 (x 1)2
令 h(x) x ln x 2 x 1， x 1，则 h (x) 0， h(x)在 (1, )上单调递增，
x
h(3) 1 ln 3 0， h(4) 2(1 ln 2) 0，
x0 (3,4)，h(x0 ) 0，即 x0 ln x0 2 0， x0 2 ln x0， ………8 分
当 x (1, x0 )时， h(x) 0， g (x) 0， g(x)在 (1, x0 )上单调递减，
当 x (x0 , )时，h(x) 0， g (x) 0， g(x)在 (x0 , )上单调递增， ………9 分
g(x)在 x x0处取得最小值为 g(x )
x0 x0 ln x0
0 x0， ………10 分x0 1
k g(x0 ) x0 ，且 x0 (3,4)， ………11 分
综上，实数 k 的最大整数值为3 . ………12 分
注：以上各题其它解法请酌情赋分.
{#{QQABDQAEogigQBBAAAhCAwV4CAKQkAEAAKoOBAAIIAAACQFABAA=}#}
