《解直角三角形的应用》
科目： 数学
教学对象：
课时： 一课时
教学内容分析
本节课是人教版九年级数学初三下学期三角函数的第三课时《解直角三角形的应用》，是在系统的学习了三角函数的基础之上进一步的学习。前面学生已经系统的学习了一次函数，勾股定理等的应用题为本节课的学习垫定了一定的基础，学生也能够熟练运用三角函数的计算已经勾股定理去求解相关的题型，但对应用题还存在一定的问题，需要加强训练，因此本节课就是对上述问题的最好解决。
教学目标
1、复习仰角、俯角、方位角的意义，使学生能够应用解直角三角形的知识解决生活中的实际问题。
2、培养学生将实际问题转化为解直角三角形问题的能力；
3、提高学生观察、分析、综合解决问题的能力；增强学生的创新意识；培养学生的学习能力。
4、体验数学思想（方程思想和数形结合思想）在解直角三角形中的魅力。渗透理论联系实际的辩证唯物主义思想。
学习者特征分析
初三的学生已经系统的学习了三角函数的基础知识，解题方法和技巧，本节课是对三角函数应用题的一个具体应用和专题训练。前面也学习了勾股定理，以及相关的应用题为本节课的进一步学习垫定了基础。学生掌握了一定的应用题的解题方法，有一定的基础和基本的解题思路，但是在具体应用的时候还存在一定的差距。
教学策略选择与设计
在本节课我针对学生的特点和基本学情，我采用了导学合一的教学模式，采用启发探究式和讲练结合式的教学方法。
并采用情境导学，自主探究，合作学习等教学方法。
能够让学生很好的在课堂上实现自己的学习目标和价值，能够全身心的投入，并且能够有自我展示的空间。
教学重点及难点
教学重点： 将实际问题转化为解直角三角形问题。
教学难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。
六、教学过程
教学
环节
教学过程
设计意图
教师活动
学生活动
复
习
旧
知
【提问】
1、30°、45°、60°角的三角函数值。
2、解直角三角形的定义
3、解直角三角形的依据
（1）三边之间的关系
（2）锐角之间的关系
（3）边角之间的关系
（4）面积公式
思考
回答
利用数形结合的方法，加深学生特殊三角函数值的推导以及应用。
导
入
新
知
揭示课题。
板书：解直角三角形的应用
复习概念：
仰角和俯角
举例
回答
揭示学习内容；
复习相关概念；
为本节课的学习内容作铺垫。
经
典
例
题
（一）
【例1】
一人在塔底A处测得塔顶C的仰角为30?，此人向塔前100米到B处，又测得塔顶的仰角为60?，已知测角器的高度为2米，求塔高多少米？
思考
探究
使学生熟练应用三角函数思想解决实际问题，并能够在解决问题中，优化方法。
教学
环节
教学过程
设计意图
教师活动
学生活动
中
考
连
接
(2006贵州)如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60?，航行24海里到C，见岛A在北偏西45?，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？
自主
探究
以“航海”问题为突破口，培养学生自主分析问题、解决问题的能力。
经
典
例
题
（二）
【例2】
两大楼的水平距离为30米，从高楼的顶部A点测得低楼的顶部D点的俯角为45?，测得低楼的底部C点的俯角为60?，求两楼的高度各是多少米？（结果精确到0.1）
思考
回答
建立数学模型，解决生活中的实际问题。使学生感受到生活中处处有数学。
教学
环节
教学过程
设计意图
教师活动
学生活动
中
考
连
接
（2006，成都）如图，某校九年级3班的一个学生小组进行测量小山高度的实践活动。部分同学在山脚点A测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60°。请你帮助他们计算出小山的高度BC。（结果保留整数）
小组
讨论
思考
作答
以小组为单位，给学生探究和交流的空间。通过学生的实际操作，培养学生建模的能力。
经
典
例
题
（三）
【例3】
船以30海里/时的速度向正北航行，在A处测得灯塔S在北偏东30?，半小时后到达B处，测得灯塔S在北偏东75?方向，求灯塔S与船的最短距离是多少？
思考
总结
借助适当的辅助线解决问题。
教学
环节
教学过程
设计意图
教师活动
学生活动
挑
战
自
我
如图，某渔船在海面A处，看见北偏东30°方向距离 海里处有一灯塔C，北偏西75°方向距离 海里处有一灯塔B，渔船由A向正北航行到D处，再看灯塔B在南偏西60°方向。问灯塔C与D相距多少海里？C在D的什么方向？
思考
探究
把解直角三角形作为一种工具，培养学生处理综合问题的能力。
小结
1、【提问】
今天你有什么收获？
2、总结《解直角三角形的应用》的解题方法。
归纳
总结
加深对本节课的理解。
作业
《中考总复习》P48
教学
环节
教学过程
设计意图
教师活动
学生活动
中
考
连
接
(2006贵州)如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60?，航行24海里到C，见岛A在北偏西45?，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？
自主
探究
以“航海”问题为突破口，培养学生自主分析问题、解决问题的能力。
经
典
例
题
（二）
【例2】
两大楼的水平距离为30米，从高楼的顶部A点测得低楼的顶部D点的俯角为45?，测得低楼的底部C点的俯角为60?，求两楼的高度各是多少米？（结果精确到0.1）
思考
回答
建立数学模型，解决生活中的实际问题。使学生感受到生活中处处有数学。
教学
环节
教学过程
设计意图
教师活动
学生活动
中
考
连
接
（2006，成都）如图，某校九年级3班的一个学生小组进行测量小山高度的实践活动。部分同学在山脚点A测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60°。请你帮助他们计算出小山的高度BC。（结果保留整数）
小组
讨论
思考
作答
以小组为单位，给学生探究和交流的空间。通过学生的实际操作，培养学生建模的能力。
经
典
例
题
（三）
【例3】
船以30海里/时的速度向正北航行，在A处测得灯塔S在北偏东30?，半小时后到达B处，测得灯塔S在北偏东75?方向，求灯塔S与船的最短距离是多少？
思考
总结
借助适当的辅助线解决问题。
挑
战
自
我
如图，某渔船在海面A处，看见北偏东30°方向距离 海里处有一灯塔C，北偏西75°方向距离 海里处有一灯塔B，渔船由A向正北航行到D处，再看灯塔B在南偏西60°方向。问灯塔C与D相距多少海里？C在D的什么方向？
思考
探究
把解直角三角形作为一种工具，培养学生处理综合问题的能力。
小结
1、【提问】
今天你有什么收获？
2、总结《解直角三角形的应用》的解题方法。
归纳
总结
加深对本节课的理解。
作业
《中考总复习》P48
教学评价设计
本节课的设计主要是让学生熟练掌握解直角三角形应用题的解法，让学生知道什么是解直角三角形，渗透直角三角形的边角关系，完成对解直角三角形这一核心目标的确认。同时也渗透数形结合的解题思想，分类思想，培养学生良好的学习习惯。在这一节可对教学目标和方法的渗透应该说实现的不错，对解题思路同学们也能够熟练的掌握，但对部分同学仍需要加强，要加深对解三角函数的认识和理解，以及数学思想方法的运用。教师的教不只是教给学生学会知识，更重要的是教给学生如何去学知识。更重要的是学生学习方法和能力的培养，是数学素养的提高，这方面还有待加强。
板书设计 解直角三角形的应用
【法一】 【法二】
解：在Rt△BCD中 解：∵∠CBD=60?,∠CAD=30
∵∠CDB= 90?，∠CBD= 60? ∴ ∠ACB= 30?
∴设BD= ， ∴AB=BC=100
∵tan∠CBD= 在Rt△ABC中，
∴tan60?= ∵∠CDB=90?,∠CBD=60?
∴tan60?== 且sin∠CBD=
∴CD= ∴sin60?==
在Rt△ABC中 ∴ CD=
∵ ∠CDB=90?, ∠CAD=30?
∵ tan∠CAD= 答:山高为米。
∴tan30?= =
∴=50
∴CD==
答:山高为米。
课件22张PPT。解直角三角形的应用1、30°、45°、60°的三角函数值：1450450300600aaa2aaa回顾旧知2、在直角三角形中,由已知元素求未知元素
的过程,叫解直角三角形。（1）三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）（2）锐角之间的关系:∠ A＋ ∠ B＝ 90o （3）边角之间的关系:（4）面积公式：回顾旧知仰角和俯角水平线铅垂线仰角俯角视线视线回顾旧知 例1：一人在山底A处测得山顶C的仰角为30?，此人向山前行100米到B处，又测得山顶的仰角为60?，求山高多少米？经典例题30°60°ABCD∴ ∠ACB= 30?∵∠CDB=90?,∠CBD=60?∴ CD=50答:山高为 50 米。在Rt△ACD中，∴AB=BC=100ABCD60°30°解：在Rt△BCD中∵∠CDB= 90?，∠CBD= 60?∵ ∠CDB=90?, ∠CAD=30?答:山高为 50 m。在Rt△ACD中∴x=50∴设BD= ，∴CD=∴CD= =50ABCD30°60°ABCD30°45°解：设CD =在Rt△BCD中, ∠D=90?∵∠CBD= 45? ∴设BD=CD = , AD=100 +在Rt△ACD中，∵ ∠D=90?, ∠CAD=30?∴ 答：山高为 。 例2：如图，直升飞机在距离小山300米的P点处，测得山的顶部仰角为45°,测得山底部俯角为30°，求山的高度是多少？（结果保留整数）CABP经典例题PBA 答:山高约为 米。例2 ：如图，直升飞机在距离小山300米的P点处，测得山的顶部仰角为45°,测得山底部俯角为30°，求山的高度是多少？（结果保留整数）解：∵ ∠ACP= 90°, ∠APC= 45°∴ AC=CP=300在Rt△PBC中，∴ BC= ∴AB= ∴AB 米∵ ∠BCP= 90°, ∠CPB= 30°变式 ：如图，山高AB为600米，从P点处测得山的顶部仰角为45°,测得山底部俯角为30°，求直升飞机到小山的距离是多少？（结果保留整数）解：设PC=∴ PC=在Rt△APC中，∴ AC=PC=在Rt△BCP中，∴ AB=AC+BC=∴答：直升飞机到小山的距离约为 。 ∵ ∠BCP= 90°, ∠BPC= 30°∵ ∠ACP= 90°,∠APC= 45°PAOB300米45°60°经典例题 例3：飞机到山的水平距离为300米，从飞机的顶部P点测得山的顶部A点的俯角为45?，测得山的底部B点的俯角为60?，求山的高度为多少米?（结果精确到0.1）BA300米 例3：飞机到山的水平距离为300米，从飞机的顶部P点测得山的顶部A点的俯角为45?，测得山的底部B点的俯角为60?，求山的高度为多少米?（结果精确到0.1）123P4经典例题例3：飞机到山的水平距离为300米，从飞机的顶部P点测得山的顶部A点的俯角为45?，测得山的底部B点的俯角为60?，求山的高度为多少米?（结果精确到0.1）PBA300米解：过A作AC⊥OP于C。由题意可知，∠PAC= 45?，∠PBO= 60?∵∠ PAC = 45?, AC⊥OP ∴ AB=OC= ∴PC=AC=OB=30O在Rt△OBP中， ∠POB= 90?∵ ∠PBO= 60?∴∵四边形OCAB为矩形答：山高约为 。PBA300米解：过P作PC⊥BA于C。∵四边形OPCB为矩形∵∠PCA = 45? 在Rt△OBP中， ∠POB=90?设AB=则OP=BC=∵ ∠PBO= 60?∴答：山高约为 。∴AC=CP=300∴CP=CA例3：飞机到山的水平距离为300米，从飞机的顶部P点测得山的顶部A点的俯角为45?，测得山的底部B点的俯角为60?，求山的高度为多少米?（结果精确到0.1）PBA300米C解：延长PA,OB交与点C。在Rt△ABC中, ∴设AB=BC=∴OP=OC=在Rt△OBP中， ∠POB=90?∵ ∠PBO= 60?∴答：山高约为 。∵∠ ABC = 90? ,∠ C = 45?例3：飞机到山的水平距离为300米，从飞机的顶部P点测得山的顶部A点的俯角为45?，测得山的底部B点的俯角为60?，求山的高度为多少米?（结果精确到0.1）PBA300米解：过B作BC∥AP交OP于C∵四边形ABCP为平行四边形∴CP=AB∵∠POB= 90?, ∠OBC= 45?∴OC=OB=300在Rt△OBP中， ∠POB=90?∵ ∠PBO= 60?∴AB=OP=答：山高约为 。例3：飞机到山的水平距离为300米，从飞机的顶部P点测得山的顶部A点的俯角为45?，测得山的底部B点的俯角为60?，求山的高度为多少米?（结果精确到0.1） 如图，某校九年级3班的一个学生小组进行测量小山高度的实践活动。部分同学在山脚点A测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60°。请你帮助他们计算出小山的高度BC。（结果保留四位有效数字）D∵∠DAE= ∠DBF= 30°,∠BAC= ∠ABC= 45°∴ ∠DAB=∠DBA= 15°∴BD=AD=180 ∵∠BFD= 90°, ∠BDF= 60°∴ ∠DBF= ∠DAE= 30°∴DE=DF= 90∴AE=BF= ∵四边形DECF为正方形∴CF = DE = 90∴ BC=（90 + ）∵ ∠BAC=∠ABC= 45°, ∠C= 90°答：小山的高度BC约为 米。解：过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F。Dxx解：过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F。在Rt△ADE中∴设CE=DF=∵∠DAE= 30?，AD=180∴DE=90，AE=在Rt△BDF，∠BFD=90?∵∠BDF=60?∴BF=∵∠BAC=∠ABC=45?∴ AC=BC∴∴∴BC=90+答：小山的高度BC约为 米。∵四边形DEFC为矩形1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系。2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。善于总结是学习的前提条件 悟性的高低取决于有无悟“心”。其实,人与人的差别就在于你是否去发现、去思考、去总结！敬请指导！谢谢！
