研究考纲 针对学情 讲究实效
——09届高三数学二轮复习建议
江苏省高淳高级中学 陈 辉
今年是我省实施新课程后的第二次高考，分析全省各地的教学和模拟试题情况，都已基本适应新课程的教学要求和我省命题的特点，高三教学的针对性明显加强．二轮复习是夯实基础、提升能力和应试水平的关键阶段，我们认为，重点要做的是研究教学要求、考试说明和江苏命题的特点，把准学情和存在问题，制订明确目标，切实提高二轮复习教学的针对性和实效性．
一、把握考试要求，了解命题特点，实现合理选题
受课程标准、教学要求、考试说明的限制，我省的教学范围与以往相比有较大变化，一些传统的考试热点淡出，立体几何、解析几何变化尤其明显，与其它省份（包括已实施新课程的省份）的要求也有很大不同，因此，复习资料的选择，例题习题的选用要注意符合要求．目前市场上的许多资料，超教学要求的地方还有不少，无论是教学选用还是指导学生自选，都应有所筛选，以免浪费宝贵时间．各省的考题应有选择地使用，要特别注意将全省各大市、名校的模拟题按章节、按能级分类收集、分层使用．
受命题人对考试选拔及数学的感受、认识和理解的影响，我省的高考数学试题有一些明显的特点，如：
07、08两年的考题，中、低档题保持足够的比例，难题有竞赛味道，最后两题中字母多、信息量大，要求考生具有一定的信息收集、整理、归纳等处理能力，通过联系已有知识，形成新的结论来解决问题．因此二轮复习应加强中、低档题的训练，确保拿足基本分．并注意培养应对多字母问题的能力、信息处理的能力等．
在考查创新意识，探究能力方面，我省考题没有设计新概念、新运算的问题，也没有答案开放型的问题，而是“从数和形的角度，提出具有数学特点的问题，如充要性、存在性、不变形、唯一性等”．
例1（08年20题）已知函数f1(x)＝，f2(x)＝2·（x∈R，p1，p2为常数）．函数f(x)定义为：对每个给定的实数x，f(x)＝
（1）求f(x)＝f1(x)对所有实数成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；
例2（08年18题）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b（x∈R）的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C．
（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b无关）？证明你的结论．
二轮复习中，要注意对这些类型问题的思维方式、解答规范的训练．
二、把准学生水平，找到存在问题，提高复习效率
二轮复习课堂教学的例题不能被资料牵着鼻子埋走，应校本化，使每个例题、每次练习最适合学生基础和能力水平．
通常一轮复习结束时，学生知识结累最多，遗忘程度最大，解题速度最慢，要有计划地帮助学生恢复记忆，提高反应速度．
要注意学生练习、考试中暴露的各种问题，特别关注不良习惯，有针对性地加以解决．
例3（期终13题）从等腰直角三角形纸片ABC上，按图示方式剪下两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为 ▲ ．
许多学生直接猜想两正方形边长相等，再计算出结果．
例4（期终14题）已知函数f(x)＝x＋的定义域为(0，＋∞)，若对任意x∈N*，都有f(x)≥f(3)，则实数c的取值范围是 ▲ ．
有许多学生的答案是9，主要是对数列的最大、最小项、增减性问题不会处理，直接将数列看成函数来处理，推理过程不是理性的过程．
这种“半猜半蒙”的现象，在平时的练习中非常普遍，如不加以解决，必然导致学生基础知识不扎实，知识应用水平不能提高，严重影响学习质量．解答填空题的特殊解法少，一般需通过推理和运算，要求学生理性思考，严谨推理，有利于夯实基础，也有利于解答大题．
珍惜每一次考试，通过考试情况的统计，分析知识、思维、应试心理等方面存在的问题，分析教学中存在的不足，设计针对性的练习巩固，提高试卷讲评课的质量．
三、注意系统梳理，突出方法归纳，提升解题能力
高考要求在知识的交汇点上设计试题，学生大脑中形成清晰的知识网络和纵横联系，是提高反应速度，实现方法优化，增强考试信心的根本保证．“将书读薄”是经验共识，也是有效手段，不容怀疑，不能搁置．
注意总结归纳常规题型及相应的基本方法和策略，通过练习达到应用自如的程度．
对高考题中经常出现的一些设问方式（如求变量的值、求变量的取值范围、求最值，是否存在、恒成立，及涉及常用逻辑用词等），归纳相应的思维方式和书写规范，并设计一定量的练习加以巩固．
在引导学生掌握数学思想、数学方法的同时，注意一些基本数学观念的培养，如用运动变化观点和对应观点来分析问题．
例5（期终18题）已知椭圆C：＋＝1的左顶点，
右焦点分别为A，F，右准线为l，N为l上一点，且在
轴x上方，直线AN与椭圆相交于点M．
（1）若AM＝MN，求证：AM⊥MF．
（2）过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，
求PQ的最小值．
一般来说，在具体的数学问题中，通常要对数学对象进行定量计算或定性分析，而数学对象只有变和不变两种状态，两者之间并不矛盾（如函数是变化的，方程则是函数的特殊情况），数学对象之间也存在必然的联系．养成分析运动变化的状态，研究对应关系的习惯，是提升数学素养，提高解题能力的有效途径．
高考题主要是大学教授命制的，他们对中学里的一些解题技巧不会太熟悉，更不会青睐，而是从学科整体价值的高度来命题，以考查基础知识、基本方法、基本思想等必备的数学知识．所以二轮复习不能仅限于题型、套路的训练，要引导学习回到“起点”，认识到“越是陌生的、难的，越是要用基础的东西”这一规律．
例5（08年13题）满足条件AB＝2，AC＝BC的三角形ABC的面积的最大值是 ▲ ．
四、优化记忆系统，提高运算能力，获得真正突破
在影响水平发挥的诸多因素中，我们不能忽视提取记忆和运算这两个基本环节．
无法正确地求解数学问题，常常不是所需的知识不具备，而是记忆系统中的相关知识没有被准确地提取，解答高考题更是如此，所需知识都是考试大纲规定并被反复强化过的．因此，我们通常认为，导致知识不能被提取的原因，从根本上说不是熟练程度的问题，而是数学能力的问题，但这样说似乎笼统、抽象了些，应该可以从记忆系统的角度来考虑，分析有利于提取的有效记忆，寻找实践层面上需要的、操作性强的结论和办法．
教育实践表明，数学能力强的学生能把推理或论证的模式记得很牢，而不是去强记一些具体的事实和具体的数据，不是机械记忆，而是对语义结构和对证明方案、基本思路的记忆．
数学知识的有效记忆不是“陈述性知识”的简单堆积，而是在深刻理解知识内在联系的基础上，对操作陈述性知识的方法、步骤——“程序性知识”（或称思维程序）的掌握．数学记忆力的本质在于对典型的推理和运算的模式的概括的记忆力．
数学知识的有效记忆取决于三个方面的要素，一是具有数学学科特点的记忆结构和记忆内容，记忆的不仅仅知识本身，还需掌握知识的内在联系，以及操作知识的思维程序，二是合适的提示线索，三是足够的记忆强度．
实现数学知识有效记忆的途径：1．在理解的基础上记忆，2．重视思维程序的归纳，3．注重多元联系，“数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，养成将一个对象以数字的、符号的、式子的、图形的形式表示的习惯，可以达到启发思维，开拓思路的目的”．如果对一个知识也能从多个角度去理解，揭示它在不同的领域的不同形式，那么提示线索就能更多，被激活的可能性就会增大．4．重视知识的概括，5．增加一些情节记忆，在知识的学习、记忆过程中，总伴随着一些情节记忆，学习过程中发生的一些事件和身心体验会长久清晰地保留的记忆之中．在回忆某个知识时，大脑中往往先呈现出相关的情节，一些与“印象深刻的事件”有关的知识总是容易唤醒，难以忘记．真正发挥情节记忆的提示作用在于其强度，在于调动学生的更多感觉系统参与到学习活动中来．教学中应注意动脑与动手相结合，学习与实践相结合，注意利用学生的生活经验，注意发挥图片、模型的作用，注意利用机智幽默的语言和“抖包袱”的方式来呈现知识；还可以利用设计陷井、经历“试误”等方式，让学生经历知识探究的艰难历程．达到全身心参与，增强记忆的目的．
尽管高考命题控制了运算难度，但运算能力差仍然是影响发挥的主要原因．
运算基本要求：运算能力是运算技能与思维能力的结合．运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程的思维能力，也包括实施运算中遇到障碍而调整运算．
运算能力的考查包括数的运算和图形的运算以及估算．数的运算包括数值的运算与式子的运算，以后者为主．
从形式上看，代数变形包括恒等变形和不等变形(放缩)．从能力要求上看，代数恒等变形包括有两上层次：化简整理；分解组合．
基本的代数运算包括：(1) 有理式的运算：去括号、去分母、合并同类项、提取公因式、配方、因式分解等；(2) 无理式的运算：分母有理化、分子有理化、乘方去根式等；(3) 指数、对数运算、运算法则、换底公式等；(4) 解方程(组)、解不等式．
运算能力差主要表现为：1．基本代数运算容易出错，2．对较复杂的代数式，只会用逐步抄写来变形．建议安排基本代数运算的专题，总结运算规律，提高熟练程度；养成对代数式进行观察、对比、分析、推理、联想等习惯，提高运算能力．
例6（期终20题）（3）令bn＝，若对任意n∈N*，都有bn＜bn＋1，求q的取值范围．
对于二轮复习，我们认为最重要的是，知道考什么？学生有什么？少什么？可能提升什么？那么我们就知道该干什么！就去干什么！
2009．2．7
课件30张PPT。研究考纲 针对学情 讲究实效 ——09届高三数学二轮复习建议江苏省高淳高级中学 陈 辉 高三二轮复习是夯实基础、提升解题能力和应试水平的关键阶段，我们认为，重点要做的是研究教学要求、考试说明及江苏命题的特点，把准学情和存在问题，制订明确目标，切实提高二轮复习教学的针对性和实效性．
一、把握考试要求，了解命题特点，实现合理选题
二、把准学生水平，找到存在问题，提高复习效率
四、优化记忆系统，提高运算能力，获得真正突破
三、注意系统梳理，突出方法归纳，提升解题能力
一、把握考试要求，了解命题特点，实现合理选题复习资料的选择 ．
例题习题的选用 ．
注意收集全省各大市、名校的模拟题 ．
可以按章节、按题型、按难度等分类收集、分层使用 ．
注意控制整套练习的次数 ．
07、08两年的考题，中、低档题保持一定比例．
难题有竞赛味道 ．
最后两题中字母多、信息量大．
在考查创新意识，探究能力方面，没有设计新
概念、新运算的问题，没有答案开放型的问题．
我省的高考数学试题有一些明显的特点 从数和形的角度，提出具有数学特点的问题，
如充要性、存在性、不变形、唯一性等． 例1（08年20题）已 知 函 数 f1(x)＝ ，f2(x)＝
2· （x∈R，p1，p2为常数）．函数f(x)定义为：
对每个给定的实数x，f(x)＝
（1）求f(x)＝f1(x)对所有实数成立的充分必要条件
（用p1，p2表示）；例2（08年18题）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b（x∈R）的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C． （3）问圆C是否经过定点（其坐标与b无关）？证明你的结论．S1．选择适合学生基础和能力水平的例题、练习题，瞄
准学生的最大发展．
2．要有计划地帮助学生恢复记忆，提高反应速度．
3．注意学生练习、考试中暴露的各种问题，特别关注
不良的解题习惯，有针对性地加以解决．二、把准学生水平，找到存在问题，提高复习效率例3（期终13题）从等腰直角三角形纸片ABC上，按图示方式剪下两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为 ▲ ．例4（期终14题）已知函数f(x)＝x＋ 的定义域
为(0，＋∞)，若对任意x∈N*，都有f (x)≥f(3)，
则实数c的取值范围是 ▲ ．
解答填空题的特殊解法少，一般需通过推理和运算，要求学生理性思考，严谨推理，有利于夯实基础，也有利于解答大题．例5 (2005年全国Ⅰ理科15题)在△ABC中， O为
△ABC的外心，H为△ABC的垂心，
若 ， 则m＝ ▲ ．
例６ (2005年江苏18题)在△ABC 中， O为中
线AM上的一个动点，若AM＝2，则 ·
＋ 的最小值 ▲ ．
例6 (2005年天津16题)设f(x)是定义在R上的奇函
数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称，则
f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5) ＝ ▲ ． 提高试卷讲评课的质量：
统计分析考试数据，查找知识、思维、应试心理等方面存在的问题，分析教学中存在的不足，设计针对性的巩固练习．三、注意系统梳理，突出方法归纳，提升解题能力高考要求在知识的交汇点上设计试题．
学生大脑中形成清晰的知识网络和纵横联系，是提高反应速度，实现方法优化，增强考试信心的根本保证．“将书读薄”是经验共识，也是有效手段，不容怀疑，不能搁置．
总结归纳常规题型及相应的基本方法和策略．
对高考题中经常出现的一些设问方式（如求变量的值、求变量的取值范围、求最值，是否存在、恒成立，及涉及常用逻辑用词等），归纳相应的解答策略和书写规范． 注意培养一些基本的数学观念，如用运动变化观
点和对应观点来分析问题．
例7（期终18题）已知椭圆C： 的左顶点，
右焦点分别为A，F，右准线为l，N为l上一点，且在
轴x上方，直线AN与椭圆相交于点M．
（1）若AM＝MN，求证：AM⊥MF；
（2）过A，F，N三点的圆与y轴
交于P，Q两点，求PQ的最小值．
一般来说，在具体的数学问题中，通常要对数学对象进行定量计算或定性分析．
注意分析数学对象的变或不变状态．
注意研究数学对象之间对应关系．
弄清数学对象的状态和对应关系，有利于整体地把握问题，选择到合适的求解方案． 注意引导学生回到起点
例8（08年13题）满足条件AB＝2，AC＝ BC的△ABC的面积的最大值是 ▲ ．
例9 AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点，M，N是线段AB的三等分点，若OA ＝6，则 · ＝ ▲ ．四、优化记忆系统，提高运算能力，获得真正突破 在影响水平发挥的诸多因素中，我们不能忽视提取记忆和运算这两个基本环节．
现实有效记忆
狠抓基本运算
无法正确地求解数学问题，常常不是所需的知识不具备，而是记忆系统中的相关知识没有被准确地提取，解答高考题更是如此，所需知识都是考试大纲规定并被反复强化过的．因此，我们通常认为，导致知识不能被提取的原因，从根本上说不是熟练程度的问题，而是数学能力的问题，但这样说似乎笼统、抽象了些，应该可以从记忆系统的角度来考虑，分析有利于提取的有效记忆，寻找实践层面上需要的、操作性强的结论和办法． 教育实践表明，数学能力强的学生能把推理或论证的模式记得很牢，而不是去强记一些具体的事实和具体的数据，不是机械记忆，而是对语义结构和对证明方案、基本思路的记忆．
数学知识的有效记忆不是“陈述性知识”的简单堆积，而是在深刻理解知识内在联系的基础上，对操作陈述性知识的方法、步骤——“程序性知识”（或称思维程序）的掌握．数学记忆力的本质在于对典型的推理和运算的模式的概括的记忆力． 记忆提取的心理过程
信息加工理论认为，学习的过程是信息加工的过程，包括贮存信息和使用信息．提取信息大体有两种方式，一是“自动的过程”，外来信息直接激活记忆系统中的相关信息，而不受意识的控制；二是“审视的过程”，外来信息无法激活相关信息，只能在意识支配下，按照一定的规则检索记忆系统．但值得注意的是，自动过程也可能激活类似的无用信息，审视过程所用的“规则”即是思维程序，而思维程序本身也有能否激活的问题． 数学知识的有效记忆取决于三个方面的要素，一是具有数学学科特点的记忆结构和记忆内容，记忆的不仅仅知识本身，还需掌握知识的内在联系，以及操作知识的思维程序，二是合适的提示线索，三是足够的记忆强度．
有效的记忆过程
学习的过程中会涌现大量的信息，其中相当一部分不能进入长期记忆，一时记住的也可能忘记或难以提取，因此，把握三个要素，实现有效记忆，需要有效的记忆过程．信息加工理论认为，学习中涌现的信息只有经过进一步加工的才能保留在长期记忆之中，这种加工称为“编码”，主要有两种策略：维持性复述和精致性复述．前者是通过不断重复来现实，而后者是以某种方式来转换信息，方法有：(1)改变信息，以便把它与已贮存的信息联系起来；(2)用另一种符号来替代；(3)增加些其他信息以便回忆．也就是说，有效的记忆过程应注重知识的联系，揭示知识的不同表现形式，增加提示的线索和记忆强度．这些策略与有效记忆的三个要素是基本一致的．
实现数学知识有效记忆的途径：
1．在理解的基础上记忆．
2．重视思维程序的归纳．
3．注重多元联系，“数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，养成将一个对象以数字的、符号的、式子的、图形的形式表示的习惯，可以达到启发思维，开拓思路的目的”．如果对一个知识也能从多个角度去理解，揭示它在不同的领域的不同形式，那么提示线索就能更多，被激活的可能性就会增大．
4．重视知识的概括． 5．增加一些情节记忆
在知识的学习、记忆过程中，总伴随着一些情节记忆，学习过程中发生的一些事件和身心体验会长久清晰地保留的记忆之中．在回忆某个知识时，大脑中往往先呈现出相关的情节，一些与“印象深刻的事件”有关的知识总是容易唤醒，难以忘记．真正发挥情节记忆的提示作用在于其强度，在于调动学生的更多感觉系统参与到学习活动中来．
教学中应注意动脑与动手相结合，学习与实践相结合，注意利用学生的生活经验，注意发挥图片、模型的作用，注意利用机智幽默的语言和“抖包袱”的方式来呈现知识；还可以利用设计陷井、经历“试误”等方式，让学生经历知识探究的艰难历程．达到全身心参与，增强记忆的目的． 运算基本要求：运算能力是运算技能与思维能力的结合．运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程的思维能力，也包括实施运算中遇到障碍而调整运算．
运算能力的考查：包括数的运算和图形的运算以及估算．数的运算包括数值的运算与式子的运算，以后者为主．
从形式上看，代数变形包括恒等变形和不等变形(放缩)．
从能力要求上看，代数恒等变形包括有两上层次：化简整理；分解组合．基本的代数运算包括：(1) 有理式的运算：去括号、去分母、合并同类项、提取公因式、配方、因式分解等；(2) 无理式的运算：分母有理化、分子有理化、乘方去根式等；(3) 指数、对数运算、运算法则、换底公式等；(4) 解方程(组)、解不等式．
代数运算能力差主要表现为：1．基本代数运算容易出错，2．对较复杂的代数式，只会用逐步抄写来变形．
建议安排基本代数运算的专题，总结运算规律，提高熟练程度；养成对代数式进行观察、对比、分析、推理、联想等习惯，做到先想后算，提高运算能力． 例6（期终20题）（3）q＞0，令bn＝ ，若对任意
n∈N*，都有bn＜bn＋1，求q的取值范围．
可以得到的结论有：
an+1＝an＋2 qn－1.
q ＝1时， an＝2n －1；容易得到：bn＜bn＋1一定成立．
q ≠1时， an＝ ，
bn＝ ． bn+1＝ ．
bn＋1－ bn＝？
有的学生通分后分子展开出15项，逐步抄写中不断出错．
bn＝ ＝
∴ bn＋1－ bn＝
＝
将an＝ 代入整理，得
bn＋1－ bn＝ ． 结束语我们认为最重要的是：
知道：考什么？
学生有什么？缺什么？
可能提升什么？
就知道：我们该干什么！
那么：我们就去干什么！
谢谢！
