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专题5.11 函数（重难点题型精讲）
1．匀速圆周运动的数学模型
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2).
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.
2．, A对函数的图象的影响
(1)对的图象的影响
函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当>0时)
或向右(当<0时)平移||个单位长度而得到(可简记为“左加右减”).
(2)对的图象的影响
函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或
伸长(当0<<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.
(3)对的图象的影响
函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)
或缩短(当0
(4)由函数的图象得到函数的图象
以上两种方法的图示如下：
3．函数的图象
类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种.
(1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到
在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象.
(2)“变换作图法”的途径有两种.
一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (>0,A>0)的图象，即：
二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可.
【题型1 “五点法”作函数的图象】
【方法点拨】
用“五点法”画函数 (x∈R)的简图，先作变量代换，令X=，再用方程思想由X取
来确定对应的x值，最后根据x,y的值描点、连线、扩展，画出函数的图象.
【例1】（2022·全国·高一课时练习）用五点法作函数的图象时，得到如下表格：
0
0 4 0 -4 0
则，，的值分别为（ ）
A．4，2， B．4，， C．4，2， D．4，，
【变式1-1】（2022·全国·高一课时练习）用“五点法”作在的图象时，应取的五点为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）某同学用“五点法”画函数在一个周期内的简图时，列表如下：
0
x
y 0 2 0 0
则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2021·浙江台州·高一期中）小明用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时列表并填入了部分数据，如下表：
0
x
0 2 0 0
请你根据已有信息推算A，的值依次为（ ）
A．2，2， B．2，2， C．2，， D．2，2，
【题型2 三角函数间图象的变换】
【方法点拨】
可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换.
【例2】（2022·宁夏·高三阶段练习（理））为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
B．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
C．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位
D．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位
【变式2-1】（2022·天津·高三阶段练习）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2022·山东青岛·高三期中）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个长度单位，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2022·安徽·高二开学考试）已知函数，先将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到的图象，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 与三角恒等变换有关的图象变换问题】
【方法点拨】
根据三角恒等变换的相关知识对所给解析式进行化简，利用图象变换规律进行变换即可.
【例3】（2022·广东广州·高三阶段练习）已知函数，将的图像先向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图像，若图像关于对称，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022·江西·高三阶段练习（文））已知函数，现给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递增
C．将函数的图像向左平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式为
D．将函数的图像向左平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式为
【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2022·天津·高三期中）已知函数，现给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的最大值为2
C．函数在上单调递增
D．将函数的图象向右平移个单位长度；所得图象对应的解析式为
【题型4 由部分图象求函数的解析式】
【方法点拨】
根据部分图象求出解析式中的A，，即可得解.
【例4】（2022·黑龙江·高三阶段练习）函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2022·广东佛山·高三期中）已知函数的图象如图所示，则的表达式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2022·四川·高三期中（理））已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．直线是函数的图象的一条对称轴
B．函数的图象的对称中心为，
C．函数在上单调递增
D．将函数的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象
【变式4-3】（2022·宁夏·高三阶段练习（理））函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．函数的解析式为
B．函数的单调递增区间为
C．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度
D．函数的图象关于点对称
【题型5 三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】
【方法点拨】
利用三角函数模型解决实际问题时，首先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型；
其次是寻找数据，建立函数解析式并解题；最后将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答.
【例5】（2022·全国·高一课时练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
（2）求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.
【变式5-1】（2022·陕西汉中·高一期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m，筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P装刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为．
(1)求A，m，φ，b的值；
(2)盛水简出水后至少经过多长时间就可以到达最高点？
【变式5-2】（2022·全国·高一课时练习）已知电流随时间t变化的关系式是.
(1)求电流i的周期 频率 振幅和初相;
(2)分别求时的电流.
【变式5-3】（2022·吉林·高一期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4，筒车转轮的中心O到水面的距离为2，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：），且此时点P距离水面的高度为h（单位：）（在水面下则h为负数）.
(1)求点P距离水面的高度为h关于时间为t的函数解析式；
(2)求点P第一次到达最高点需要的时间（单位：）.
【题型6 函数与三角恒等变换的综合应用】
【方法点拨】
对于给角求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用、
变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化.
【例6】（2022·福建·高三期中）已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，求函数的取值范围．
【变式6-1】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数.
(1)求函数在区间上的单调减区间；
(2)将函数图像向右移动个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有100个最大值，求的取值范围.
【变式6-2】（2022·宁夏高三阶段练习（文））已知函数．
(1)若，求的值；
(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的值域．
【变式6-3】（2022·江苏常州·高三期中）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于直线对称．
(1)求的值；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的值域．
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专题5.11 函数（重难点题型精讲）
1．匀速圆周运动的数学模型
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2).
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.
2．, A对函数的图象的影响
(1)对的图象的影响
函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当>0时)
或向右(当<0时)平移||个单位长度而得到(可简记为“左加右减”).
(2)对的图象的影响
函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或
伸长(当0<<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.
(3)对的图象的影响
函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)
或缩短(当0(4)由函数的图象得到函数的图象
以上两种方法的图示如下：
3．函数的图象
类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种.
(1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到
在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象.
(2)“变换作图法”的途径有两种.
一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (>0,A>0)的图象，即：
二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可.
【题型1 “五点法”作函数的图象】
【方法点拨】
用“五点法”画函数 (x∈R)的简图，先作变量代换，令X=，再用方程思想由X取
来确定对应的x值，最后根据x,y的值描点、连线、扩展，画出函数的图象.
【例1】（2022·全国·高一课时练习）用五点法作函数的图象时，得到如下表格：
0
0 4 0 -4 0
则，，的值分别为（ ）
A．4，2， B．4，， C．4，2， D．4，，
【解题思路】由表中数据求出、的值，利用周期公式可求的值，根据图象过，，即可求得的值．
【解答过程】解：由表中的最大值为4，最小值为，可得，
由，则，，
，图象过，，
， ，，解得，
，当时，．
故选：．
【变式1-1】（2022·全国·高一课时练习）用“五点法”作在的图象时，应取的五点为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】取内五个关键点，即分别令x＝0，，，π，2π即可．
【解答过程】∵，
∴周期T＝2π．
由“五点法”作图可知:
应描出的五个点的横坐标分别是x＝0，，π，，2π．代入解析式可得点的坐标分别为，∴B正确．
故选：B．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）某同学用“五点法”画函数在一个周期内的简图时，列表如下：
0
x
y 0 2 0 0
则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由表格中的五点，由正弦型函数的性质可得、、求参数，即可写出的解析式.
【解答过程】由表中数据知：且，则，
∴，即，又，可得.
∴.
故选：D.
【变式1-3】（2021·浙江台州·高一期中）小明用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时列表并填入了部分数据，如下表：
0
x
0 2 0 0
请你根据已有信息推算A，的值依次为（ ）
A．2，2， B．2，2， C．2，， D．2，2，
【解题思路】根据“五点法”中五点对应的值计算．
【解答过程】由已知，，
解得．
故选：D.
【题型2 三角函数间图象的变换】
【方法点拨】
可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换.
【例2】（2022·宁夏·高三阶段练习（理））为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
B．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
C．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位
D．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位
【解题思路】根据三角函数的函数变换规则，结合诱导公式，可得答案.
【解答过程】由函数，将横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，可得函数，
由，则将函数，向左平移个单位，可得，
故选：B.
【变式2-1】（2022·天津·高三阶段练习）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据三角函数图象的变换求得，再求结果即可.
【解答过程】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象；
再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象；
故.
故选：C.
【变式2-2】（2022·山东青岛·高三期中）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个长度单位，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据图象变换求解析式即可.
【解答过程】向左平移得到，然后横坐标缩短为原来的倍得到，所以.
故选：A.
【变式2-3】（2022·安徽·高二开学考试）已知函数，先将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到的图象，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用三角函数的伸缩变换和平移变换求解.
【解答过程】解：先将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，
再向左平移个单位长度，则，
故选：A．
【题型3 与三角恒等变换有关的图象变换问题】
【方法点拨】
根据三角恒等变换的相关知识对所给解析式进行化简，利用图象变换规律进行变换即可.
【例3】（2022·广东广州·高三阶段练习）已知函数，将的图像先向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图像，若图像关于对称，则为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据辅助角公式将化简，利用图像变换得到的解析式，再由对称和的范围求得的值.
【解答过程】由已知.
将的图像先向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度.
得到.若图像关于对称，
则，所以.
故，又因为，所以.
故选：B.
【变式3-1】（2022·江西·高三阶段练习（文））已知函数，现给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递增
C．将函数的图像向左平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式为
D．将函数的图像向左平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式为
【解题思路】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项
【解答过程】解：
函数的最小正周期为,故A不正确；
，则，当时函数单调递减，即时函数单调递减，时函数单调递增，故B不正确；
将函数的图像向左平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式为，故C不正确；
将函数的图像向左平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式为，故D正确；
故选：D.
【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先利用三角恒等变换化简，得到，再根据平移和伸缩变换得到的解析式，利用整体法求解出单调递增区间.
【解答过程】，
则，
令，
解得：，
故选：A.
【变式3-3】（2022·天津·高三期中）已知函数，现给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的最大值为2
C．函数在上单调递增
D．将函数的图象向右平移个单位长度；所得图象对应的解析式为
【解题思路】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项
【解答过程】对于A和B， ，
所以的最小正周期为，的最大值为1，故A错误，B错误，
对于C，当时，，
因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，故C正确；
对于D，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式为，故D不正确，
故选：C.
【题型4 由部分图象求函数的解析式】
【方法点拨】
根据部分图象求出解析式中的A，，即可得解.
【例4】（2022·黑龙江·高三阶段练习）函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由函数图象得到、，即可求出，再根据函数过点及的取值范围，求出，即可得解.
【解答过程】解：由函数图象可得，，所以，又，解得，
所以，由函数过，所以，
所以，，所以，，
又，所以，
所以.
故选：B.
【变式4-1】（2022·广东佛山·高三期中）已知函数的图象如图所示，则的表达式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据振幅可确定根据周期可确定，进而根据最高点确定，代入中化简即可求解.
【解答过程】由图可知： ,
经过最高点，故,故，
所以．
故选：A．
【变式4-2】（2022·四川·高三期中（理））已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．直线是函数的图象的一条对称轴
B．函数的图象的对称中心为，
C．函数在上单调递增
D．将函数的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象
【解题思路】先根据函数图象，求出函数的解析式，然后根据三角函数的周期，对称轴，单调区间，奇偶性逐项进行检验即可求解.
【解答过程】由函数图象可知，，最小正周期为，所以.将点代入函数解析式中，得.又因为，所以，故.
对于A，令，，即，，令，则，故A错误；
对于B，令，则，，所以，，即函数的图象的对称中心为，，故B正确；
对于C，令，解得，
因为，所以函数在上单调递减，
在上单调递增，故C错误；
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，该函数不是偶函数，故D错误.
故选：.
【变式4-3】（2022·宁夏·高三阶段练习（理））函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．函数的解析式为
B．函数的单调递增区间为
C．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度
D．函数的图象关于点对称
【解题思路】由题意求出的解析式可判断A；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BD；由三角函数的平移变换可判断C.
【解答过程】对于A选项，不妨设，则，，
由，则，
两式相减得，所以①，
设函数的最小正周期为，因为，
所以，结合①，，
因为，所以，可得，
因为，所以，，所以，故A正确；
对于B，由，
解得：，故B正确；
对于C，将函数向右平移个单位得到，
向上平移一个单位长度可得，故C正确；
对于D，令，解得：，
函数的图象关于点对称，所以D不正确；
故选：D.
【题型5 三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】
【方法点拨】
利用三角函数模型解决实际问题时，首先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型；
其次是寻找数据，建立函数解析式并解题；最后将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答.
【例5】（2022·全国·高一课时练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
（2）求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.
【解题思路】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心Q为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，座舱转动的角速度约为，计算得到答案.
（2）将数据代入解析式计算得到答案.
（3）计算，，相减得到
，计算最值得到答案.
【解答过程】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心Q为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，
设时，游客甲位于点，以OP为终边的角为；
根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约为，
由题意可得，.
（2）当时，.
所以游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5m.
（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则.
经过tmin后甲距离地面的高度为，
点B相对于点A始终落后，
此时乙距离地面的高度为.
则甲、乙距离地面的高度差
，
利用，
可得，.
当，即（或228）时，h的最大值为.
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m.
【变式5-1】（2022·陕西汉中·高一期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m，筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P装刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为．
(1)求A，m，φ，b的值；
(2)盛水简出水后至少经过多长时间就可以到达最高点？
【解题思路】（1）由题可得，结合条件可得，，即得；
（2）由函数最大值为，可得，即，取得答案；
【解答过程】（1）
由题易知，解得，．
由题知，得，
∴，
∴，，
∴．
∴，，，．
（2）
由，得，
∴，，即，．
∴当时，盛水筒出水后第一次到达最高点，此时,
即盛水简出水后至少经过就可以到达最高点.
【变式5-2】（2022·全国·高一课时练习）已知电流随时间t变化的关系式是.
(1)求电流i的周期 频率 振幅和初相;
(2)分别求时的电流.
【解题思路】（1）由三角函数的，和的意义进行求解即可．
（2）代入函数解析式求值即可.
【解答过程】解：（1）
，，
所以函数的周期，频率，振幅，初期.
（2）当时,;
当时,;
当时,;
当时,;
当时,.
【变式5-3】（2022·吉林·高一期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4，筒车转轮的中心O到水面的距离为2，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：），且此时点P距离水面的高度为h（单位：）（在水面下则h为负数）.
(1)求点P距离水面的高度为h关于时间为t的函数解析式；
(2)求点P第一次到达最高点需要的时间（单位：）.
【解题思路】（1）根据题意，建立函数关系式；
（2）直接解方程即可求解.
【解答过程】（1）
盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t，则以Ox为始边，OP为终边的角为，故P点的纵坐标为，
则点离水面的高度，（t≥0).
（2）
令，得，得，，
得，，
因为点P第一次到达最高点，所以，
所以.
【题型6 函数与三角恒等变换的综合应用】
【方法点拨】
对于给角求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用、
变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化.
【例6】（2022·福建·高三期中）已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，求函数的取值范围．
【解题思路】（1）利用三角恒等变换得到，整体法求解函数的单调递减区间；
（2）根据伸缩变换和平移变换得到，根据，得到，结合正弦函数图象求解出值域.
【解答过程】（1），
令，则，
所以函数的单调递减区间为：．
（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数的图象，再将图象向左平移个单位，
得到的图象，
因为，所以，
所以的值域为．
【变式6-1】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数.
(1)求函数在区间上的单调减区间；
(2)将函数图像向右移动个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有100个最大值，求的取值范围.
【解题思路】（1）先化简，再利用正弦函数的性质即可得到答案；
（2）先利用题意的图象变换得到，再根据的性质得到不等式即可求解
【解答过程】（1）依题意可得
，
当时，，则由得，
即在上单调递减，
所以函数在区间上的单调递减区间是；
（2）由（1）知，，将函数图像向右移动个单位所得函数为，
于是得，
因为，，又在轴右侧的第50个最大值点为，在轴左侧的第50个最大值点为，
故，解得，所以.
所以的取值范围.
【变式6-2】（2022·宁夏高三阶段练习（文））已知函数．
(1)若，求的值；
(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的值域．
【解题思路】（1）利用二倍角公式、两角差的正弦展开式进行化简可得，再计算可得答案；
（2）利用平移可得函数的解析式，根据的范围可得答案.
【解答过程】（1），
由，得，即，
故或，，
即或，，又∵∴；
（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数图象的解析式为，，
，
所以函数在上的值域为．
【变式6-3】（2022·江苏常州·高三期中）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于直线对称．
(1)求的值；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的值域．
【解题思路】整理函数为正弦型函数，再根据对称性得取值情况，结合最小正周期的范围，转化为的取值范围，结合可得的值；
根据三角函数的图象变换得函数的解析式，再根据自变量的取值范围得函数的值域.
【解答过程】（1）解：，
所以．
因为函数图象关于直线对称，所以，，
所以，，因为函数的最小正周期T满足，
所以，解得，所以．
（2）解：由（1）得，，所以
则．
因为，所以，
，，
在上的值域为．
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