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专题5.12 函数（重难点题型检测）
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021·广东揭阳·高一期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x
0 5 0
根据表格中的数据，函数的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2022·四川泸州·一模（理））为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．先横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度
B．先横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度
C．先横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度
D．先横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位长度
3．（3分）（2022·广西·高三阶段练习（文））将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2023·全国·模拟预测（理））已知函数与函数的部分图象如图所示，且函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到，则（ ）
A． B．1 C． D．
5．（3分）（2022·江西·高三阶段练习（理））函数（且）在一个周期内的图像如图所示，将函数图像上的点的横坐标伸长为原来的3倍，再向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2022·四川省高三阶段练习（理））已知：函数，则下列说法错误的是（ ）
A．将的图像向右平移个单位长度得的图像
B．在上的值域为
C．若，则，
D．的图像关于点对称
7．（3分）（2022·湖北·高一期中）如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分转圈，筒车的轴心距离水面的高度为，设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若从盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为，则其中A，，，的值分别为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
8．（3分）（2022·天津市高三阶段练习）已知函数，给出下列结论：
①函数的最小正周期为；
②是函数图像的一个对称中心；
③是函数图像的一条对称轴；
④将函数的图像向左平移个单位长度，即可得到函数的图像．
其中所有正确的结论的序号是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①③
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高一课时练习）下列四种变换方式中能将函数的图象变为函数的图象的是（ ）
A．向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
B．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍
C．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度
D．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
10．（4分）（2022·山东·高三期中）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．图象的一条对称轴方程是
C．图象的对称中心是，
D．函数是偶函数
11．（4分）（2022·湖南·高三阶段练习）已知函数，且的最小正周期为.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ）
A．的值为1
B．的单调递增区间为
C．时，的最大值为3
D．时，的最小值为
12．（4分）（2023·全国·高三专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A．点P再次进入水中时用时30秒
B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点
C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米
D．点P第二次到达距水面米时用时25秒
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·福建·高三阶段练习）将函数,图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图像向左平行移动个单位长度，则得到的图像的解析式为 .
14．（4分）（2022·北京市高三期中）如图为函数的部分图象，则 .
15．（4分）（2022·湖南高一期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图）．假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M距离水面的高度H（单位：米）与转动时间t（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动40秒后，盛水筒M与水面距离为 米．
16．（4分）（2023·全国·高三专题练习）把的图象向右平移个单位，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长为原来的2倍．得到函数的图象，若对成立．
①的一个单调递减区间为；
②的图象向右平移个单位得到的函数是一个偶函数，则m的最小值为；
③的对称中心为；
④若关于x的方程在区间上有两个不相等的实根，则n的取值范围为．
其中，判断正确的序号是 ．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021·全国·高一课时练习）将函数向右平移个单位得到函数
（I）求的解析式；
（II）用“五点法”做出函数在一个周期内的函数图像.
18．（6分）（2022·青海·高三期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x
0 5 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
19．（8分）（2021·全国·高一专题练习）已知函数
（1）求的值；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，求实数的最小值；
（3）若时，的最小值为，求的最大值
20．（8分）（2022·重庆·高一阶段练习）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式及对称中心坐标；
（2）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，最后将图象向上平移1个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间和最值.
21．（8分）（2022·湖北·高一期中）天门是一座宜居的城市，城区内北湖公园 陆羽公园 东湖公园是人们休闲娱乐的绝佳去处，尤其是东湖公园的摩天轮，更是让人流连忘返.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图所示，摩天轮匀速转动一周需要24分钟，其中心距离地面55米，半径为50米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱.
(1)游客坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)当摩天轮座舱不低于地面高度80米时，游客可以观赏到全园景色.求游客在摩天轮转动一周过程中可观赏到全园景色有多长的时间.
22．（8分）（2022·北京市模拟预测）已知函数()，再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间．
条件①：的最大值为2；条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
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专题5.12 函数（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021·广东揭阳·高一期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x
0 5 0
根据表格中的数据，函数的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据函数最值，可求得A值，根据周期公式，可求得值，代入特殊点，可求得值，即可得答案.
【解答过程】由题意得最大值为5，最小值为-5，所以A=5，
，解得，解得，
又，解得，
所以的解析式可以是
故选：A.
2．（3分）（2022·四川泸州·一模（理））为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．先横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度
B．先横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度
C．先横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度
D．先横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位长度
【解题思路】根据三角函数图象的变换，结合函数解析式，即可直接判断和选择.
【解答过程】将的图象上所有的点先横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，
再向左平移个单位长度得到的图象.
故选：B.
3．（3分）（2022·广西·高三阶段练习（文））将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据三角函数图象的变换，求得平移后函数的解析式，再求其对称轴即可.
【解答过程】将函数的图象向右平移个单位长度后得到
的图象，
令，解得，
所有选项中，只有当时，满足题意.
故选：A.
4．（3分）（2023·全国·模拟预测（理））已知函数与函数的部分图象如图所示，且函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到，则（ ）
A． B．1 C． D．
【解题思路】根据函数平移，利用图象上已知条件求函数解析式，求函数值，可得答案.
【解答过程】由题意可知，将函数图象上的点向右平移个单位长度，
可得的图象与轴负半轴的第一个交点为，
因为的图象与轴正半轴的第一个交点为，
所以，得，则，
又，所以，由知，，
则，，故.
故选：C.
5．（3分）（2022·江西·高三阶段练习（理））函数（且）在一个周期内的图像如图所示，将函数图像上的点的横坐标伸长为原来的3倍，再向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据函数图像可知周期，利用周期可求，最后带点即可求出，根据图像的平移变换得出.
【解答过程】解：由图像可知，则，
由，得，则，
点在函数图像上，
，
，
，则，
函数解析式为，
将函数图像上的点的横坐标伸长为原来的3倍，再向左平移个单位长度，得，
故选：A.
6．（3分）（2022·四川省高三阶段练习（理））已知：函数，则下列说法错误的是（ ）
A．将的图像向右平移个单位长度得的图像
B．在上的值域为
C．若，则，
D．的图像关于点对称
【解题思路】对函数化简变形得，再利用正弦函数的图像与性质依次判断选项即可.
【解答过程】化简
对于A，将的图像向右平移个单位长度得，故A正确；
对于B，，，，故B正确；
对于C，的最小正周期为，故，则，，故C错误；
对于D，，故的图像关于点对称，故D正确；
故选：C.
7．（3分）（2022·湖北·高一期中）如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分转圈，筒车的轴心距离水面的高度为，设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若从盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为，则其中A，，，的值分别为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【解题思路】根据，可构造方程组求得；根据最小正周期可求得；根据时，可求得.
【解答过程】由题意知：，，
，解得：；
筒车每分钟转圈，函数的最小正周期，；
当时，，即，又，；
综上所述：，，，.
故选：D.
8．（3分）（2022·天津市高三阶段练习）已知函数，给出下列结论：
①函数的最小正周期为；
②是函数图像的一个对称中心；
③是函数图像的一条对称轴；
④将函数的图像向左平移个单位长度，即可得到函数的图像．
其中所有正确的结论的序号是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①③
【解题思路】先得到函数，再利用正弦函数的性质判断.
【解答过程】解：，
，故①正确，
因为 ，所以函数的一个对称中心为 ，故②错误，
因为 ，所以是函数图像的一条对称轴，故③正确；
将函数的图像向左平移个单位长度，即可得到函数的图像，故④正确.
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高一课时练习）下列四种变换方式中能将函数的图象变为函数的图象的是（ ）
A．向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
B．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍
C．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度
D．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
【解题思路】根据三角函数图象平移规律和周期变换逐项判断可得答案.
【解答过程】，
对于A，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到的图象，故A正确；
对于B，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，故B错误；
对于C，将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，得到的图象，再向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；
对于D，将函数的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，再向左平移个单位长度，得到的图象，故D错误．
故选：AC．
10．（4分）（2022·山东·高三期中）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．图象的一条对称轴方程是
C．图象的对称中心是，
D．函数是偶函数
【解题思路】首先根据题意得到，再根据三角函数的性质和平移变换依次判断选项即可得到答案.
【解答过程】由函数的图象知：
，所以；即，解得，所以，
因为，所以，，
即，，因为，所以，.
对选项A，因为，故A错误.
对选项B，，故B正确．
对选项C，令，k∈Z，解得，，
所以的对称中心是，，故C错误．
对选项D，设，
则的定义域为R，，
所以为偶函数，故D正确.
故选：BD.
11．（4分）（2022·湖南·高三阶段练习）已知函数，且的最小正周期为.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ）
A．的值为1
B．的单调递增区间为
C．时，的最大值为3
D．时，的最小值为
【解题思路】利用三角恒等变换化简解析式，根据的最小正周期求得，根据三角函数图象变换求得.结合三角函数单调区间、最值等知识确定正确答案.
【解答过程】，
由于的最小正周期为，所以，，A选项正确.
，
所以的单调递增区间是，B选项错误.
函数的图象向右平移个单位长度后得到.
由于，
所以，
所以时，的最大值为，最小值为，C正确，D错误.
故选：AC.
12．（4分）（2023·全国·高三专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A．点P再次进入水中时用时30秒
B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点
C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米
D．点P第二次到达距水面米时用时25秒
【解题思路】以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点P距离水面的高度，逐一分析各选项即可求解.
【解答过程】解：由题意，角速度弧度/秒，
又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A错误；
当水轮转动50秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确；
以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，设点P距离水面的高度，
由，所以，
又角速度弧度/秒，时，，所以，，
所以点P距离水面的高度，当水轮转动150秒时，将代入，得，点P距离水面2米，故C正确；
将代入中，得，或，即，或 ．
所以点P第二次到达距水面米时用时25秒，故D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·福建·高三阶段练习）将函数,图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图像向左平行移动个单位长度，则得到的图像的解析式为 .
【解题思路】首先化简函数，再根据图像变化规律求函数的解析式.
【解答过程】，图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得函数，再将图像上的点向左平移个单位，得函数.
故答案为：.
14．（4分）（2022·北京市高三期中）如图为函数的部分图象，则 .
【解题思路】根据图象得到，，，从而求得，然后再利用函数图象过点可求出，即可求出.
【解答过程】由题中的图象知，，，
所以，，
因为图象过点，
所以，
解得，
，，
函数解析式为.
故答案为：.
15．（4分）（2022·湖南高一期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图）．假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M距离水面的高度H（单位：米）与转动时间t（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动40秒后，盛水筒M与水面距离为 米．
【解题思路】由题意得，求出的值，从而可求出函数关系式，进而将代入函数中可求得结果
【解答过程】因为时，盛水筒M与水面距离为2.25米，
所以，即，
又，则，
所以，
当时，，
故答案为：．
16．（4分）（2023·全国·高三专题练习）把的图象向右平移个单位，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长为原来的2倍．得到函数的图象，若对成立．
①的一个单调递减区间为；
②的图象向右平移个单位得到的函数是一个偶函数，则m的最小值为；
③的对称中心为；
④若关于x的方程在区间上有两个不相等的实根，则n的取值范围为．
其中，判断正确的序号是 ①③④ ．
【解题思路】根据平移得，由和的范围解得，再根据的范围和的单调性可判断①；求出向右平移个单位的解析式，利用诱导公式和的范围可判断②；求出的对称中心可判断③；令，转化为在上有两个不相等的实根，根据二次函数根的分布可判断④.
【解答过程】根据题意得，函数经过平移伸缩变换后的解析式为：，
，解得，，
，
当 时，在上单调递减，①正确；
的图象向右平移个单位得到的函数是是一个偶函数，
则，②错误；
令，所以的对称中心为，
故③正确；
，，所以，
令，则关于x的方程在区间上有两个不相等的实根等价于在上有两个不相等的实根，
设，则函数与轴有两个交点，函数对称轴为，实数满足 ，解得：，所以④正确.
故答案为：①③④.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021·全国·高一课时练习）将函数向右平移个单位得到函数
（I）求的解析式；
（II）用“五点法”做出函数在一个周期内的函数图像.
【解题思路】（I）由平移变换得函数解析式；
（II）由分别等于求得相应的值，得函数值，可列表，然后描点，连线得图象．
【解答过程】（I）由题意；
（II）列表：
0 1 0 0
描点连线：
18．（6分）（2022·青海·高三期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x
0 5 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
【解题思路】（1）由三角函数性质求解，
（2）由三角函数图象变换得解析式，再由对称性列式求解，
【解答过程】（1）根据表中已知数据，得，则，．
数据补全如下表：
0
x
0 5 0 0
且函数表达式为．
（2）由（1）知，
得．
因为函数图象的对称中心为．
令，解得．
由于函数的图象关于点中心对称，令，
解得．由可知，当时，取得最小值．
19．（8分）（2021·全国·高一专题练习）已知函数
（1）求的值；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，求实数的最小值；
（3）若时，的最小值为，求的最大值
【解题思路】先对函数解析式化简，
（1）直接代入求解；
（2）利用图形变换和诱导公式求出m的最小值；
（3）利用正弦型函数的定义域和值域，即可求出的最大值.
【解答过程】
.
（1）；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到，与重合，
所以，由m>0,所以当k=0时，；
（3）当时，时，
因为的最小值为，所以可以取到，即，
所以，即的最大值为.
20．（8分）（2022·重庆·高一阶段练习）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式及对称中心坐标；
（2）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，最后将图象向上平移1个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间和最值.
【解题思路】（1）根据最大值可得，根据周期得，根据最高点得，从而可得解析式；根据余弦函数的对称中心可得的对称中心；
（2）根据图象变换的结论可得的解析式，根据余弦函数的递增区间可得在上的单调减区间，根据余弦函数的图象可得在上的最值.
【解答过程】（1）由所给图象知：；，，，，
∴，把点代入得：，
即，，又∵，∴，
∴；
由，，得，，
所以的对称中心为，.
（2）易知.
化简得，
当时，由，，得，所以的单调递减区间是：；
当时，，当，即时，有最大值，最大值为，当，即时，有最小值，最小值为.
21．（8分）（2022·湖北·高一期中）天门是一座宜居的城市，城区内北湖公园 陆羽公园 东湖公园是人们休闲娱乐的绝佳去处，尤其是东湖公园的摩天轮，更是让人流连忘返.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图所示，摩天轮匀速转动一周需要24分钟，其中心距离地面55米，半径为50米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱.
(1)游客坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)当摩天轮座舱不低于地面高度80米时，游客可以观赏到全园景色.求游客在摩天轮转动一周过程中可观赏到全园景色有多长的时间.
【解题思路】（1）画出简图建立数学模型，根据圆周运动的特点写出满足的函数关系式即可；
（2）根据题意建立不等式，求解不等式得出结果.
【解答过程】如图设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系.
（1）设时，游客上座舱时位于点，
根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为，由题意可得
，.
（2）时，满足题意.
解得，，
令，解得
又因为，故，则.
所以
游客在摩天轮转动一周过程中可观赏到全园景色的时间为8分钟.
22．（8分）（2022·北京市模拟预测）已知函数()，再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间．
条件①：的最大值为2；条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解题思路】（1）选择①：利用三角恒等变换化简函数解析式，进而根据最值求得的值；选择②：代入直接求解即可；
（2）根据三角函数伸缩平移变换可得函数解析式，进而求得其单调递增区间.
【解答过程】解：（1）选择①：因为
所以，其中，
所以，又因为，所以．
选择②：，所以．
（①不写不扣分，②每个值计算正确各给一分）
（2）因为，
所以，
则，，
，，
所以函数的单调增区间为.
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