三角函数二轮复习建议
金陵中学 张松年
一、考试要求
与2008年的考纲比较，考点与能级要求基本没有变化．
内容
要求
A
B
C
1．基本初等函数Ⅱ(三角函数)、三角恒等变换
三角函数的有关概念
√
同角三角函数的基本关系式
√
正弦、余弦的诱导公式
√
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
√
函数的图象和性质
√
两角和(差)的正弦、余弦和正切
√
二倍角的正弦、余弦和正切
√
积化和差、和差化积、半角公式
√
2．解三角形
正弦定理、余弦定理及其应用
√
二、命题走向
近几年高考以基础知识、基本方法为主，降低了对三角恒等变形的考查要求，难度较小，位置靠前，重点突出．
三、考试要求
1．理解任意角的概念、弧度的意义．能正确地进行弧度与角度的换算．
2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．
3．了解周期函数与最小正周期的意义．了解奇函数、偶函数的意义．
4．掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式．
5．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
6．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)的函数的简图，理解A，ω的物理意义．
7．掌握正弦定理、余弦定理，并运用它们解决三角形中的计算、判定、证明问题．
四、复习目标：
1．清楚角与终边、三角函数的定义域、值域、符号、最值、奇偶性、单调性与周期性．
2．会求简单三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调区间及其周期．
3．会结合三角函数线、三角函数图像的的对称性，解决一些问题．
4．会用三角恒等变换公式化简三角函数式．
(1)三角函数同角关系，平方关系的运用中，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定角的范围，并进行定号”．
(2)三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限．
(3)三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数(常值)的变换，其核心是“角的变换”．
(4)角的变形主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．
(5)会求：sin15ｏ，cos15ｏ，sin75ｏ，cos75ｏ的值．
(6)三角式变形主要有：三角函数名互化(切化弦)、三角函数次数的降升(降次、升次)、运算结构的转化(和式与积式的互化)．解题时本着“三看”的基本原则来进行：“看角、看函数、看特征”，基本的技巧有：角的线性组合，公式变形使用，化切为弦，用倍角公式将高次降次．
注意：和(差)角的函数结构与符号特征；余弦倍角公式的三种形式选用；降次(升次)公式中的符号特征．“正余弦三个量sinx±cosx，sinx·cosx的内在联系”．
5．清楚三角形中的三角函数．
(1)内角和定理：三角形三角和为π，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三角形(三内角都是锐角(三内角的余弦值为正值(任两角和都是钝角(任意两边的平方和大于第三边的平方．
(2)正弦定理：＝＝＝2R(R为三角形外接圆的半径)．
注意：已知三角形两边及一角，若运用正弦定理解三角形，可能有两解．
(3)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝＝－1等，常选用余弦定理判定三角形的形状．
(4)面积公式：S＝aha＝absinC＝．
五、高考考点分析
高考中三角部分所占分值在20分左右，主要以填空题和解答题的形式出现．主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：
第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题．如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性、单调区间等．
第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用．如辅助角公式、切化弦等．
第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题．如分段函数值，求复合函数值域等．
六、基本题型与策略：
基本题型一：三角函数基础知识题，以考查三角函数的基本性质(符号、奇偶性、单调性、周期性、图像的对称性)为主．
例1 计算：tan2010°＝___________．
说明：利用商数关系、正弦、余弦的诱导公式、商数关系化为tan30°，或直接利用正切函数的周期性化为tan30°．
例2 若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是___________象限．
说明：利用正弦的倍角公式化为cosθ＞0，sinθ＜0．
例3 设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则a，b，c的大小关系是____________．
说明：利用诱导公式化为a＝sin，b＝cos，c＝tan．
例4 (1)函数f(x)＝sin(πx－)－1的最小正周期为___________；
(2)若函数f(x)＝cos((x－)((＞0)的最小正周期为，则(＝____________．
说明：直接利用周期公式．课本只给出了函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，(＞0，0≤φ＜2π)的周期公式．
例5 函数f(x)＝sin(2x－)－1在区间[0，π]上的单调增区间为___________；
说明：将2x－看作一个变量t，求出t的范围，结合t＝2x－是x单调增函数，求y＝sint的单调增区间与t的值域的交集．
基本策略：(1)诱导公式的特点是“奇变偶不变，符号看象限”；判定一个角的位置，要用这个角的两个三角函数值的符号来判定；(3)比较几个三角函数值的大小，常常化为锐角的同名三角函数值比较大小，或化为同一个锐角的三角函数值比较大小，找一个中间量，如的三角函数值；(4)利用周期公式求函数的最小正周期时，要掌握掌握正弦、余弦、正切的周期；(5)要能熟练地写出正弦、余弦、正切函数的单调区间．
基本题型二：经过简单的三角恒等变形、化简后，求值、研究性质．
例6 计算：tan70ocos10o＋sin10otan70o－2cos40o＝________________．
说明：提取tan70o，利用辅助角公式．
例7 若sin(－α)＝，则cos(＋2α)＝___________．
说明：设－α＝β，则α＝－β，从而＋2α＝π－2β．利用倍角公式．
例8 函数f(x)＝sin(πx－)－1的奇偶性为___________；
说明：f(x)＝－cosx－1．
基本策略：(1)切化弦，和差公式的逆应用；(2)已知组合角的三角函数值，求另一个组合角的三角函数值，常常用对用已知值的角线性表示未知值的角；(3)对于与三角函数有关的函数奇偶性的判别，一般先化简，再结合正弦、余弦函数的奇偶性进行判别．
基本题型三：综合考查三角恒等变形和三角函数的基本性质．
例9 (1)已知tan(＋α)＝2，求的值．
(2)已知tan(＋α)＝．(Ⅰ)求tanα的值；(Ⅱ)求的值．
说明：(1)由tan(＋α)＝2，求出tanα＝，从而cosα＝3sinα．又cos2α＋sin2α＝1，得sin2α＝，从而2sinαcosα＋cos2α＝6sin2α＋9sin2α＝15sin2α＝．
例10 已知6sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝0，α∈[，π]，求sin(2α＋)的值．
说明：cosα＝2sinα或cosα＝－sinα．因为α∈[，π]，所以sinα＞0，cosα＞0，所以cosα＝2sinα．又cos2α＋sin2α＝1，得sin2α＝，从而sin(2α＋)＝sin2α＋cos2α＝sinαcosα＋(1－2sin2α)＝sin2α＋＝＋．
例11 函数f(x)＝sin2(x＋)－sin2(x－)的最小正周期是_______，奇偶性是______．
说明：f(x)＝sin2(x＋)－sin2(x－)＝cos2(x－)－sin2(x－)＝cos2(x－)＝－cos2x．
例12 求函数y＝sin4x＋2sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．
说明：先化简，y＝sin4x－cos4x＋2sinxcosx＝(sin2x－cos2x)(sin2x＋cos2x)＋2sinxcosx＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，在分别求最小正周期、最小值以及在[0，π]上的单调递增区间．
基本策略：(1)单角的“切”给出了“弦”的比例关系，是“明线”，而“弦”的平方关系是“暗线”，利用这两个关系，可以求出单角“弦”的平方，从而求出倍角的“弦”；(2)利用恒等变形，化为“一个角的一个三角函数的一次式y＝Asin(ωx＋φ)＋k((＞0，0≤φ＜2π)”是研究复杂三角函数式性质的基本方法．其中，对于函数f(x)＝sin(ωx＋φ)((＞0，0≤φ＜2π)的单调性，要用整体化的观点，将ωx＋φ看作是一个角的大小，结合y＝sinx的单调区间和ωx＋φ关于x的单调性进行判断．
基本题型四：三角函数的图像变换与解析式．
例13 把函数y＝sinx，x∈R的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是_____．
说明：sinx→sin(x＋)→sin(x＋)．
例14 将函数y＝sin(2x＋)的图象按向量a＝(m，0)(其中|m|≤π)平移后所得的图象关于点(－，0)中心对称，则m＝____________．
说明：y＝sin(2x＋)→y＝sin[2(x－m)＋]＝sin(2x＋－2m)．令2×(－)＋－2m＝kπ，k∈Z，得m＝(－k)π，k∈Z．由于|m|≤π，所以k＝0，从而m＝．
方法二：函数y＝sin(2x＋)的周期是π，图象的一个对称中心为(－，0)，从而m＝．
例15 若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)((＞0，0≤φ＜2π)的图象(部分)如图所示，则ω＝_________，φ＝_________．
说明：方法一 由图知T＝4×[－(－)]＝2π，所以ω＝1，从而＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ－，k∈Z．因为0≤φ＜2π，所以φ＝．
方法二 由图知T＝4×[－(－)]＝2π，所以ω＝1，所以f(x)的图像可以看作是sinx的图像向右移了个单位，即向左移了个单位，．因为0≤φ＜2π，所以φ＝．
基本策略：根据函数的图像先确定振幅A，再确定周期T．利用周期求出角速度ω，最后利用峰(谷)点的坐标求出φ的值．一般不用平衡点(零点)来确定．三角函数图像的变换，每一次变换前，应先将“已知”函数一般化，写成f(x)的形式，再分别按照f(x)→f(x－a)，f(x)→f(ωx)，f(x)→f(x)＋k，f(x)→Af(x)的变化特征写出变换后的函数解析式．
基本题型五：三角形中的三角函数与正弦定理、余弦定理的应用．
例16 (1)在ΔABC中，“A＞30o”是“sinA＞”的___________条件．
(2)在ΔABC中，已知BC＝12，A＝60o，B＝45o，则AC＝___________．
说明：(1)必要不充分条件；(2)利用正弦定理，先求出AC，再利用正弦定理或余弦定理求出．
例17 设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB－bcosA＝c．
(Ⅰ)求tanAcotB的值；(Ⅱ)求tan(A－B)的最大值．
说明：利用正弦定理转化为三角函数的等式．
例18 (08上海)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120o的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）．
说明
例19 (07海南·宁夏)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得CD＝s，(BCD＝α，(CDB＝β，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB．
说明 先在△BCD中求出BC，再在△ABC中求出AB．
基本策略：条件中给出了三角形中的边角关系，应利用正弦定理或余弦定理将条件统一到边或统一到角．在三角应用题中，应根据已知条件构造确定的三角形，构造的依据是全等三角形的条件．
基本题型六：三角知识与向量、数列、不等式等知识的综合应用．
例20 已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(cosx，－sinx)，且x∈[0，]．
(Ⅰ)求a·b及|a＋b|；(Ⅱ)若f(()＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．
说明 (Ⅰ)a·b＝cosxcosx－sinxsinx＝cos2x，x∈[0，]．
因为a＋b＝(cosx＋cosx，sinx－sinx)，所以
|a＋b|＝＝＝2|cosx|＝2cosx，x∈[0，]．
(Ⅱ)f(()＝a·b－2λ|a＋b|＝cos2x－4λcosx＝2cos2x－4λcosx－1＝2(cosx－λ)2－2λ2－1．
因为x∈[0，]，所以cosx∈[0，1]，以下分类讨论．
基本策略：先根据向量的运算建立目标函数，转化为三角函数式，或基本初等函数Ⅰ对三角函数的复合函数，综合利用恒等变形、变量代换、基本不等式、导数等知识解决问题．
基本题型七：三角函数性质的一般化．
例21 已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0，6)内解的个数的最小值是________________．
说明 因为f(2)＝0( f(2－3)＝0( f(1)＝0，所以f(x)＝0在区间(0，3)内至少有2个解，在区间(0，6)内至少有4个解．
例22 已知f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0，6)内解的个数的最小值是________________．
说明 由f(2)＝0( f(5)＝0．由f(x)是奇函数(f(0)＝0(f(3)＝f(0)＝0，
又f(4)＝f(1)＝f(1－3)＝f(－2)＝－f(2)＝0，f(1.5)＝f(1.5－3)＝f(－1.5)＝－f(1.5)，
所以 f(1.5)＝0，f(4.5)＝f(1.5)＝0，综上，1，2，3，4，5，1.5，4.5都是f(x)＝0的解．
基本策略：以三角函数为模型，抽象出：如果一个定义在R上的函数f(x)满足f(a－x)＝±f(a＋x)，且f(b－x)＝±f(b＋x)，其中a≠b，那么这个函数一定是周期函数．
七、复习重点：
1．三角公式：诱导公式、两角和与差的公式、二倍角公式．
2．三角函数的图象和性质：对称性、单调性、周期性和图象的变换．
3．解三角形：以三角形为载体，求三角函数的值，求三角形的内角或边，综合运用三角、平面向量、数列及函数、导数等知识．
八、二轮复习建议
在复习过程中，应注重
1．三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性等性质以及图像的对称性．
2．三角知识的操作性，落实化简、求值、解三角形等重点内容的程式化操作．
3．三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系．
4．三角知识的形象性，体现数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法．
5．本单元二轮专题和课时建议：
专题
内容说明
课时
第一课时
三角函数的图像与性质
角的概念的推广，三角函数值的符号，三角函数的奇偶性、单调性、周期性、图像的对称性与变换
2
第二课时
三角恒等变形与求值
诱导公式，两角和与差的三角函数，倍角、积化和差、和差化积、半角公式
2
第三课时
三角中的问题与三角函数的综合应用
正余弦定理的应用，三角知识与向量、数列、不等式等知识的综合应用．
2
课件27张PPT。高三数学二轮复习 三角函数教学建议金陵中学张松年一、考试要求 考点与能级要求基本没有变化． 二、命题走向 以基础知识，基本方法为主，
降低对三角恒等变形的考查要求，
难度较小，
位置靠前，
重点突出． 三、考试要求1．理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算．
2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式．
3．了解周期函数与最小正周期的意义;了解奇函数、偶函数的意义．
4．掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式．
5．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
6．了解正(余)弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)的函数的简图，理解A，ω的物理意义．
7．掌握正弦定理、余弦定理，并运用它们解决三角形中的计算、判定、证明问题． 四、复习目标：1．清楚角与终边、三角函数的定义域、值域、符号、最值、奇偶性、单调性与周期性．
2．会求简单三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调区间及其周期．
3．会结合三角函数线、三角函数图像的对称性，解决一些问题．
4．会用三角恒等变换公式化简三角函数式．
5．熟练运用三角形中的三角函数． 五、高考考点层次分析 高考中三角部分所占分值在20分左右，主要以填空题和解答题的形式出现．主要考察内容按综合难度分，有以下三个层次：
第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题．如判断函数值的符号，求定角的三角函数值，求函数的周期，判断函数的奇偶性、单调区间等．
第二层次：三角公式变形中的某些常用技巧的运用．如辅助角公式、切化弦等．
第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题．如求分段函数值，复合函数值域等．六、基本题型与策略 基本题型一：三角函数基础知识题，以考查三角函数的基本性质(符号、奇偶性、单调性、周期性、图像的对称性)为主．
基本题型二：考查经过简单的三角恒等变形、化简后，求值、研究性质．
基本题型三：综合考查三角恒等变形和三角函数的基本性质．
基本题型四：考查三角函数的图像变换与解析式．
基本题型五：考查三角形中的三角函数与正弦定理、余弦定理的应用．
基本题型六：考查三角知识与向量、数列、不等式等知识的综合应用．
基本题型七：三角函数性质的一般化．基本题型一：三角函数基础知识题，以考查三角函数的基本性质(符号、奇偶性、单调性、周期性、图像的对称性)为主． 基本策略：(1)求定角的三角函数值，常用诱导公式化为锐角的三角函数值，特点是“奇变偶不变，符号看象限”；(2)判定一个角的位置，要用这个角的两个三角函数值的符号来判定；(3)比较几个三角函数值的大小，常常化为锐角的同名三角函数值比较大小，或化为同一个锐角的三角函数值比较大小，找一个中间量，如的三角函数值；(4)利用周期公式求函数的最小正周期时，要掌握掌握正弦、余弦、正切的周期；(5)要能熟练地写出正弦、余弦、正切函数的单调区间． 基本题型二：经过简单的三角恒等变形、化简后，求值、研究性质． 基本策略：(1)切化弦、和差公式的逆应用；(2)已知组合角的三角函数值，求另一个组合角的三角函数值，常常用对用已知值的角线性表示未知值的角；(3)对于与三角函数有关的函数奇偶性的判别，一般先化简，再结合正弦、余弦函数的奇偶性进行判别． 基本题型三：综合考查三角恒等变形和三角函数的基本性质 ． 基本策略：(1)单角的“切”给出了“弦”的比例关系，是“明线”，而“弦”的平方关系是“暗线”，利用这两个关系，可以求出单角“弦”的平方，从而求出倍角的“弦”；(2)利用恒等变形，化为“一个角的一个三角函数的一次式y＝Asin(ωx＋φ)＋k(?＞0，0≤φ＜2π)”是研究复杂三角函数式性质的基本方法．其中，对于函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(?＞0，0≤φ＜2π)的单调性，要用整体化的观点，将ωx＋φ看作是一个角的大小，结合y＝sinx的单调区间和ωx＋φ关于x的单调性进行判断． 基本题型四：三角函数的图像变换与解析式 ． 基本策略：根据函数的图像先确定振幅A，再确定周期T．利用周期求出角速度ω，最后利用峰(谷)点的坐标求出φ的值．一般不用平衡点(零点)来确定．三角函数图像的变换，每一次变换前，应先将“已知”函数一般化，写成f(x)的形式，再分别按照f(x)→f(x－a)，f(x)→f(ωx)，f(x)→f(x)＋k，f(x)→Af(x)的变化特征写出变换后的函数解析式． 基本题型五：三角形中的三角函数与正弦、余弦定理的应用．基本策略：条件中给出了三角形中的边角关系，应利用正弦定理或余弦定理将条件统一到边或统一到角．在三角应用题中，应根据已知条件构造确定的三角形，构造的依据是三角形全等的条件．基本题型六：三角知识与向量、数列、不等式等知识的综合应用．基本策略：先根据向量的运算建立目标函数，转化为三角函数式，或基本初等函数Ⅰ对三角函数的复合函数，综合利用恒等变形、变量代换、基本不等式、导数等知识解决问题．基本题型七：三角函数性质的一般化 ．例21 已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0，6)内解的个数的最小值是________．
说明 因为f(2)＝0? f(2－3)＝0? f(1)＝0，所以f(x)＝0在区间(0，3)内至少有2个解，在区间(0，6)内至少有4个解．
例22 已知f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0，6)内解的个数的最小值是________．
说明 由f(2)＝0? f(5)＝0．由f(x)是奇函数?f(0)＝0?f(3)＝f(0)＝0．又f(4)＝f(1)＝f(1－3)＝f(－2)＝－f(2)＝0，f(1.5)＝f(1.5－3)＝f(－1.5)＝－f(1.5)，所以 f(1.5)＝0，f(4.5)＝f(1.5)＝0，综上，1，2，3，4，5，1.5，4.5都是f(x)＝0的解．基本策略：以三角函数为模型，抽象出：如果一个定义在R上的函数f(x)满足f(a－x)＝±f(a＋x)，且f(b－x)＝±f(b＋x)，其中a≠b，那么这个函数一定是周期函数．七、复习重点1．三角公式：诱导公式、两角和与差的公式、二倍角公式．
2．三角函数的图象和性质：对称性、单调性、周期性和图象的变换．
3．解三角形：以三角形为载体，求三角函数的值，求三角形的内角或边，综合运用三角、平面向量、数列及函数、导数等知识． 八、二轮复习建议在复习过程中，应注重
1．三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性等性质以及图像的对称性．
2．三角知识的操作性，落实化简、求值、解三角形等重点内容的程式化操作．
3．三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系．
4．三角知识的形象性，体现数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法．5．本单元二轮专题和课时建议：谢谢！
